Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости.

Пусть поток реальной жидкости, обладающей вязкостью, движется в русле, ограниченном неподвижными стенками. При этом вследствие трения между слоями жидкости существенно возрастает неравномерность распределения скоростей по сечению потока (рисунок 3.5), а также возникают потери энергии на трение при перемещении жидкости от одного сечения к другому. Кроме того, движение вязкой жидкости часто сопровождается вращением частиц, вихреобразованием и перемешиванием, что тоже требует затрат энергии. Поэтому удельная энергия движущейся вязкой жидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а постепенно расходуется на преодоления сопротивлений, и, следовательно, уменьшается вдоль потока.

Получим уравнение Бернулли для потока реальной жидкости, основываясь на том, что оно является законом сохранения энергии для движущейся жидкости. Вывод этого уравнения проведем в два этапа. На первом этапе учтем неравномерность распределения скоростей по сечению потока, а на втором учтем и потери энергии.

При выводе будем считать, что в пределах выбранных сечений гидростатический напор остается постоянным:

. (3.7)

Это справедливо для сечений с параллельно струйным течением жидкости, т. е. когда эти сечения являются плоскими. Поэтому уравнение, которое будет получено ниже, может использоваться только для плоских или близких к ним сечений.

На первом этапе определим формулу для вычисления мощности N потока реальной жидкости в его сечении. Вычисление этого параметра затруднено тем, что из-за перераспределения скоростей (см. рисунок 3.5), разные слои жидкости несут различное количество энергии. Для определения мощности N в сечении (например, в сечении 1— 1 на рисунке 3.5) выберем струйку жидкости бесконечно малой поперечной площади dS, в пределах которой скорость жидкости будем считать постоянной, равной υ. Тогда полный напор (или полная удельная энергия) в сечении струйки

. (3.8)

Мощность струйки dN всечении площадью dS равнапроизведению удельной энергии Н и веса жидкости, которую проносит поток через это сечение в единицу времени, т.е. элементарного весового расхода dQG. Тогда с учетом (3.6) и (3.1) получим математическую зависимость для мощности струйки:

. (3.9)

Мощность всего потока в сечении найдем, просуммировав мощности всех элементарных струек, т. е. вычислив интеграл по площади S от выражения (3.9):

.

После математических преобразований зависимость для мощности потока реальной жидкости принимает следующий вид:

, (3.10)

где α – безразмерный коэффициент, определяемый по формуле

. (3.11)

Этот коэффициент, называемый коэффициентом Кориолиса, учитывает неравномерность распределения скорости жидкости в сечении реального потока. Если числитель и знаменатель в формуле (3.11) умножить на ρ /2, то станет очевидно, что коэффициент α есть отношение действительной кинетической энергии реального потока в данном сечении к кинетической энергии того же потока в том же сечении, но посчитанной по средней скорости жидкости в данном сечении. В этом заключается физический смысл коэффициента Кориолиса.

Алгебраическое выражение, ограниченное скобками в (3.10), принято называть средним значением полного напора в сечении реального потока, т.е.

. (3.12)

Средний напор Нср широко используется в практических расчетах, так как является важнейшим параметром, характеризующим механическую энергию (или мощность) потока реальной жидкости. Для подтверждения этого решим уравнение (3.10) относительно Hср с учетом (3.12). Тогда получим

. (3.13)

Из анализа зависимости (3.13) следует, что при постоянном расходе Q средний напор Hср пропорционален мощности N и в пределах данного потока однозначно определяет эту мощность. Поэтому средний напор Hср, вычисляемый с учетом неравномерности распределения скоростей в сечении по формуле (3.12), в дальнейшем будем использовать в качестве основного параметра, характеризующего механическую энергию потока реальной жидкости.

Учтем теперь потери энергии, возникающие при движении жидкости. В реальных потоках из-за этих потерь среднее значение полного напора в конечном сечении всегда меньше, чем в начальном сечении, т.е. H ср1 > H ср2. Поэтому при записи уравнения баланса энергий (средних напоров) в его правую часть добавляют слагаемое , учитывающее потери удельной энергии. Тогда уравнение баланса принимает вид

,

или с учетом (3.12)

, (3.14)

Уравнение (3.14) носит название уравнения Бернулли для потока реальной жидкости.

Сравним уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости (3.6) и уравнение для потока реальной жидкости (3.14). Из этого сравнения следует, что в последнем уравнении дополнительно присутствуют α и .

При равномерном распределении скоростей по сечению потока α = 1 (поток идеальной жидкости). В потоках реальной жидкости коэффициент Кориолиса в большинстве случаев лежит в пределах 1 < α < 2.

Суммарная потеря полного напора на участке между начальным и конечным сечениями складываются из суммы потерь удельной энергии во всех гидравлических сопротивлениях, расположенных на рассматриваемом участке потока. В гидравлике эти потери энергии принято делить на две группы: местные потери и потери на трение по длине.

Местные потери hм - это потери в так называемых местных гидравлических сопротивлениях, к которым относятся поворот, сужение или расширение потока, а также различные гидравлические устройства (вентили, жиклеры и т.д.). Потери в большинстве этих сопротивлений вызваны вихреобразованием. Как показывает практика, они пропорциональны квадрату скорости жидкости, а для оценки их величины используется формула Вейсбаха

, (3.15)

где ζ — безразмерный коэффициент, определяющий потери в данном местном сопротивлении;

υ ср — средняя скорость в трубопроводе, в котором установлено местное сопротивление.

Второй вид гидравлических потерь - потери на трение по длине hтр — это потери, которые имеют место в длинных прямых трубах постоянного сечения. Потери на трение по длине вызваны как внутренним трением в жидкости, так и трением о стенки трубы. Эти потери пропорциональны длине трубы l и обратно пропорциональны ее диаметру d. Они имеют достаточно сложную зависимость от средней скорости жидкости (это будет рассмотрено позднее), но во всех случаях для их оценки может быть использована универсальная для гидравлики формула Дарси

, (3.16)

где λ — безразмерный коэффициент потерь на трение по длине, который принято называть коэффициентом Дарси.

Следует отметить, что определение потерь энергии при расчете гидравлических систем является одной из наиболее важных проблем гидравлики.

 

При решении различных практических вопросов приходится иметь дело не с элементарными струйками, а с потоком реальной жидкости конечных размеров. В этом случае уравнение Бернулли может быть получено путем суммирования элементарных струек.

Рассмотрим движение жидкости в канале переменного сечения при следующих допущениях:

1. Поток движущейся жидкости установившийся, т.е. , и подчиняется основному закону гидростатики: .

2. Затраты энергии на преодоление сопротивлений движению вязкой жидкости учитываются между сечениями потока величиной (рис.2.13).

3. Кинетическая энергия определяется через среднюю скорость потока:

 

,

 

где – число струек;

– скорость в любой струйке.

 

4. Жидкость несжимаема .

 

Умножив все члены уравнения для элементарной струйки с учетом потерь энергии на , получим:

 

 

Суммируя по площади живого сечения, имеем:

 

. (2.28)

 

Рассмотрим каждый член уравнения отдельно.

Выражения

и

представляют собой кинетическую энергию всей массы жидкости, протекающей в единицу времени через поперечные сечения 1-1 и 2-2.

 

Однако

 

и .

 

Объясняется это тем, что есть арифметическая сумма произведений расходов отдельных элементарных струек на квадраты их действительных скоростей .

Произведение – суммарный расход потока:

,

 

умноженный на среднюю скорость потока:

 

,

 

где – число струек.

Подобная замена требует корректировки кинетической энергии потока в выражении . Эта корректировка представляет собой отношение действительной кинетической энергии жидкости, протекающей через поперечное сечение потока в единицу времени, к кинетической энергии, которая имела бы место при том же расходе, если бы скорость жидкости во всех струйках была бы одинаковой и равнялась средней скорости, т.е. вводится коэффициент

 

– коэффициент Кориолиса.

С учетом того, что и , получим

 

.

 

Обычно коэффициент Кориолиса определяется опытным путем на основании измерений скорости в различных точках исследуемого потока. Коэффициент всегда больше единицы.

Для так называемого ламинарного режима движения жидкости в цилиндрической трубе коэффициент , а для турбулентного .

Таким образом,

 

(2.29а)

(2.29б)

 

Рассмотрим выражение второго члена уравнения (2.28), представляющего собой потенциальную энергию потока:

 

. (2.30)

 

Третий член уравнения (2.28) представляет собой сумму работ сил сопротивления.

Подразумевая под осредненное значение потерь удельной энергии, получим

 

. (2.31)

 

Подставляя выражения (2.29) и (2.31) в уравнение (2.28), получим:

 

 

Сокращая на , после преобразования имеем:

 

или

 

, (2.32)

 

где – потери напора, м.

В общем виде уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости принимает форму

 

, (2.33)

 

где – подразумеваемая средняя скорость потока.

При практических расчетах часто принимают , тем самым пренебрегают неравномерностью распределения скоростей.

Рассмотрим геометрический смысл уравнения Бернулли для потока жидкости, обладающей вязкостью (рис.2.14).

 

Рис.2.14

 

Сумма в каждом сечении является пьезометрическим напором .

Линия, соединяющая отметки показаний пьезометров, называется пьезометрической линией.

Величина называется скоростным напором .

Сумма пьезометрического и скоростного напоров называется гидродинамическим, или полным напором, который можно выразить зависимостью

 

.

 

Линия, соединяющая отметки гидродинамических напоров вдоль движения, называется напорной линией, а ее уклон – гидравлическим уклоном .

Величина в уравнении Бернулли представляет потери напора. Если потери напора отнести к единице длины потока, то получим гидравлический уклон.

В горизонтальных напорных трубках потери напора возникают при уменьшении давления:

 

–пьезометрический уклон;

–гидравлический уклон.

 

Представленное выше уравнение Бернулли является уравнением Бернулли, записанное в форме удельной энергии, где:

и – удельная энергия положения в сечениях 1-1 и 2-2 потока;

и – удельная энергия давления в этих сечениях;

и – удельная кинетическая энергия.

На практике при выполнении инженерных расчетов обычно применяют две другие формы представления уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли в форме напоров можно получить, если разделить уравнение в форме удельной энергии на g, обозначив .

.

(2.50)

Каждый член этого выражения имеет размерность длины и может быть представлен некоторой высотой (напором) (см. рис. 2.39).

Здесь и – высота положения или геометрический напор (расстояние от плоскости сравнения до центра сечения потока);

и – пьезометрическая высота или пьезометрический напор (высота поднятия жидкости в пьезометрической трубке под действием давления);

и – скоростной напор (разность показаний трубки Пито и пьезометрической трубки).

Сумма трех высот и – полный напор потока жидкости.

Рис. 2.39. Опытная демонстрация уравнения Бернулли в форме напоров

Разность полных напоров двух живых сечений потока – потеря напора между этими сечениями

.

(2.51)

С помощью уравнения Бернулли в форме напоров можно найти высотные отметки жидкостей, которые могут быть достигнуты в данной трубопроводной системе. Это уравнение широко используется при проектировании и гидравлических расчетах водопроводов.

Уравнение Бернулли в форме давлений получаем, если уравнение Бернулли в форме удельной энергии умножим на плотность ρ.

(2.52)

Здесь каждый член имеет размерность давления:

и – гравитационное давление, т. е. давление, создаваемое силой тяжести;

и – статическое давление;

и – динамическое давление;

– потери давления на преодоление сил трения и местные сопротивления.

Вывод: при увеличении скорости движения потока давление на этом участке падает и, наоборот – при уменьшении скорости давление увеличивается.

Уравнение Бернулли в форме давлений применяется для расчета систем вентиляции, газовых стояков внутри зданий и т.д.

При трансформации закономерности Бернулли для идеальной жидкости к уравнению потока реальной жидкости требуется принимать во внимание неравномерность разделения скоростей по сечению потока и потери энергии жидкости на внутреннее трение, что объясняется вязкостью жидкости.

В реальной жидкости вязкость формирует сопротивление движению жидкости. Это вызывает появление дополнительных потерь напора (энергии потока).

Распределение скоростей элементарных струек в потоке обычно величины не определенные, для этого в уравнение Бернулли добавляют поправочный коэффициент α.

Коэффициент α принято называть коэффициентом кинетической энергии или коэффициентом Кориолиса. Он характеризует неравномерное распределение скоростей в живом сечении потока, и равняется соотношению кинетической энергии, рассчитанной по реальным скоростям сечения, к той же энергии, вычисленной по средней скорости в этом же сечении потока. Следовательно, указанный коэффициент применяется для преобразования результатов расчетов по средней скорости в соответствие с реальными скоростями.

При турбулентном типе (со значительным перемешиванием, выравнивающим скорости на всех участках потока ) кинетическая энергия практически равна полученной через среднюю скорость. Среднее значение коэффициента α берем на промежутке 1, 05 – 1, 11.

При ламинарном типе (перемешивание отсутствует) неравномерность поля скоростей достаточно велика и кинетическая энергия в 2 раза больше, чем вычисленная по средней скорости, α = 2.

Формула Бернулли для двух сечений потока реальной жидкости записывают так:

 

.

 

Закономерность Бернулли для потока реальной жидкости с физической точки зрения демонстрирует уравнение энергетического баланса. Теряемая энергия трансформируется в тепловую.

Гидродинамическое подобие.

Полученное в предыдущем параграфе число Рейнольдса имеет большое значение в гидравлике, а также в аэродинамике, так как является одним из основных критериев гидродинамического подо­бия. Гидродинамическое подобие — это подобие потоков несжимаемой жидкости, включающее в себя подобие геометрическое, кине­матическое и динамическое.

Геометрическое подобие, как известно из геометрии, означает пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. В гидравлике под геометрическим подоби­ем мы будем понимать подобие тех поверхностей, которые ограни­чивают потоки жидкостей, т. е. подобие русел.

Кинематическое подобие — это подобие линий тока и пропорциональность сходственных скоростей. Очевидно, что для кинематического подобия потоков требуется геометрическое подо­бие русел.

Динамическое подобие означает пропорциональность сил, действующих на сходственные элементы кинематически подоб­ных потоков и равенство углов, характеризующих направление этих сил.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: