|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Часть 3Стр 1 из 12Следующая ⇒
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Часть 3 КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
Утверждено советом университета В качестве учебного пособия Санкт-Петербург ОГЛАВЛЕНИЕ
Лекции 1. Метод кинетостатики. Динамические реакции на оси вращающегося тела
Лекция 2. Введение в аналитическую механику. Принцип возможных перемещений.
Лекция 3. Общее уравнение динамики. Обобщенные силы и способы их нахождения
Лекция 4. Уравнения Лагранжа второго рода
Лекция 5. Колебания линейной механической системы около положения устойчивого равновесия
Лекция 6. Свободные колебания системы с одной степенью свободы. Учет линейно-вязкого сопротивления.
Лекция 7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
Лекция 8. Свободные колебания системы с двумя степенями свободы.
Лекция 9. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы
10. ПРИЛОЖЕНИЯ
10.1. Элементарная теория гироскопов
10.2. Элементарная теория удара
11. Список литературы Лекция 1 Статическая и динамическая балансировка ротора Ротором будем называть твердое тело, имеющего неподвижную ось вращения. Очевидно, что равенство нулю проекций на оси
Решая систему (8) относительно координат центра масс, получим:
т.е. центр масс ротора должен располагаться на оси вращения. Решая систему (9) относительно центробежных моментов инерции, получим:
т.е. ось вращения ротора Объединение решений приводит к выводу: дополнительные динамические реакции отсутствуют, если ось вращения является главной центральной осью инерции ротора. Условия (10) позволяют произвести балансировку любого ротора. Эта задача сводится к определению величин уравновешивающих масс и координат точек их расположения. Поскольку искомые величины не должны зависеть от кинематических характеристик вращательного движения тела, для ротора будем рассматривать только его равномерное вращение ( Статическая неуравновешенность свойственна ротору, главная центральная ось Заметим, что статическая неуравновешенность ротора может быть обнаружена и без приведения ротора во вращение; при этом ротор сам стремиться повернуться под действием момента силы веса. Именно это обстоятельство и определило название рассмотренной неуравновешенности. Моментная неуравновешенность ротора имеет место в случае, когда его центр масс С находится в точке пересечения главной центральной оси с осью вращения ( Динамическая неуравновешенность является совокупностью двух предыдущих. Очевидно, что она устраняется не менее чем двумя корректирующими массами. Следовательно, при ликвидации любого типа неуравновешенности главная центральная ось ротора совмещается с осью вращения. В этом случае ротор называется полностью сбалансированным. В [5] вопросы балансировки роторов освещены более подробно.
Вопросы и задачи для самоконтроля 1. Сформулируйте метод кинетостатики. 2. Какие способы вычисления главного вектора сил инерции механической системы вам известны? 3. Напишите формулу для вычисления главного момента сил инерции механической системы. 4. Чему равен главный момент сил инерции для твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси? 5. Напишите формулы для вычисления главного вектора и главного момента сил инерции для однородного диска, катящегося без проскальзывания, если за полюс взят его центр. 6. Как найти динамические реакции, возникающие на оси вращающегося ротора? 7. Что называют статической балансировкой ротора и как она выполняется? 8. Что называют моментной балансировкой ротора и как она выполняется? 9. Что называют динамической балансировкой ротора и как она выполняется? 10. Сформулируйте условия, при которых динамические реакции в подшипниках вращающегося ротора будут отсутствовать. 11. Решите следующие задачи из [2]: 41.17; 41.19; 41.23; 42.4; 42.13.
Лекция 2 Вопросы и задачи для самоконтроля 1. Дайте определение удерживающих, стационарных и голономных связей. 2. Какие из них описываются уравнениями, а какие – неравенствами? 3. Уравнения каких связей содержат время в явном виде? 4. Как называются связи, из уравнений которых не удается исключить производные по обобщенным координатам? 5. Какие связи называют идеальными? Приведите примеры. 6. Механическая система состоит из трубки и двух масс, находящихся внутри нее, как это показано на рисунке. Массы соединены с трубкой и между собой пружинами. Трубка вращается в плоскости страницы с заданной угловой скоростью
7. Дайте определение возможного перемещения элемента механической системы. Сравните элементарное и возможные перемещения точки механической системы для случаев наложения стационарной и нестационарной связей. 8. Какие координаты рекомендуется принимать в качестве обобщенных и почему? 9. Чем отличаются условия равновесия механической системы и условия ее покоя? Как формулируются условия равновесия механической системы с идеальными связями? 10. Какое число независимых уравнений равновесия можно составить для механической системы с 11. Решите следующие задачи из [2]: 46.6, 46.9, 46.11, 46.24, 46.20.
Лекция 3 Общее уравнение динамики Метод кинетостатики, обсужденный ранее, позволяет обобщить принцип возможных перемещений на случай движения любой механической системы. Рассмотрим несвободную механическую систему из
где Определим из (22) равнодействующую реакций связей
Сообщим точкам системы возможные перемещения Уравнение (25), называемое общим уравнением динамики, является математической записью принципа Даламбера-Лагранжа: при движении механической системы, подчиненной идеальным связям, сумма работ активных сил и сил инерции на возможных перемещениях точек системы равна нулю. Название обусловлено тем, что из (25) можно вывести уравнения равновесия и общие теоремы механики. В том случае, когда возможные перемещения точек механической системы можно выразить через независимые возможные перемещения (на механическую систему наложены геометрические связи), принцип Даламбера – Лагранжа может быть применен для каждого из этих перемещений. Очевидно, что в силу этой независимости количество выражений, аналогичных (25), будет равно числу степеней свободы механической системы. Уравнение (25) справедливо и для систем с неидеальными связями. В этом случае следует включить силы реакций неидеальных связей в число задаваемых сил; эти силы должны быть рассчитаны предварительно каким-либо образом (например, используя уравнение равновесия, как это было сделано при решении примера 6, либо – общие теоремы механики, как это сделано ниже при решении примера??? из лекции 5; возможно и экспериментальное получение этих реакций). ПРИМЕР 7. Механическая система (см. рис.10), состоящая из двух соосных (насаженных неподвижно на единую ось) блоков, груза, прикрепленного к неподвижному основанию пружиной и однородного колеса, расположенного на наклонной плоскости и связанного с неподвижным основанием демпфером, приводится в движение из положения статического равновесия. Зная жесткость пружины
РЕШЕНИЕ. На рис.10 изображена механическая система, внешние силы, на нее действующие, а так же силы и момент сил инерции. Дадим системе возможное перемещение. Составим выражение суммы работ всех этих усилий на соответствующих возможных перемещениях и приравняем его к нулю. Тогда где упругости пружины, где Замечание: осевой момент инерции однородного колеса Запишем уравнения кинематических связей, полагая нити нерастяжимыми, а проскальзывание между колесом и наклонной плоскостью отсутствующим. Тогда:
В силу голономности и стационарности связей системы,
Из выражения для суммы работ вынесем
Для получения решения уравнения необходимо задать начальные условия. Замечания: - если есть необходимость получить дифференциальное уравнение движения другого тела системы следует воспользоваться уравнениями кинематических связей; - алгоритм получения дифференциального уравнения не отличается от алгоритма получения уравнения равновесия; наличие сил, зависящих от кинематических характеристик, обуславливает различие структур этих уравнений. ПРИМЕР 8 (задача 48.26 из [2]). Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы
РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая механическая система отличается от системы, рассмотренной в примере 6, индексами масс грузов. Она обладает двумя степенями свободы. Выберем в качестве независимых обобщенных координат горизонтальное перемещение Уравнение связей для рассматриваемой задачи было получено в примере 6:
В этом случае возможные перемещения (а так же ускорения) относятся между собой как соответствующие скорости, т.е.
Добавим к внешним силам, действующим на механическую систему, силы инерции
Дадим системе возможное перемещение, обусловленное изменением обобщенной координаты При этом у системы остается как бы только одна степень свободы. Составим выражение для суммы работ всех сил на возможных перемещениях точек их приложения и приравняем ее к нулю:
При
Выражение в круглых скобках есть первое дифференциальное уравнение движения механической системы, соответствующее возможному перемещению по первой обобщенной координате:
Дадим системе возможное перемещение, обусловленное изменением обобщенной координаты Составим сумму работ всех сил на возможных перемещениях точек системы и приравняем ее к нулю:
При С учетом этого выражение для работы на втором возможном перемещении будет
Выражение в круглых скобках есть второе дифференциальное уравнение движения механической системы, соответствующее возможному перемещению по второй обобщенной координате:
Сложим полученные дифференциальные уравнения и результат разделим на 2. Тогда
Анализ полученного выражения показывает, что груз К движется вниз при Замечание: в случае движения системы с несколькими степенями свободы придется составить соответствующее число дифференциальных уравнений; в общем случае будет получена замкнутая система связанных дифференциальных уравнений второго порядка. Алгоритм получения каждого из уравнений остается прежним.
Обобщенные силы Наряду с введенными ранее понятиями обобщенных координат, обобщенных скоростей и ускорений, введем понятие обобщенных сил. Рассмотрим систему из
Определим из (1.2) возможное перемещение
Подставив (37) в (36), получим
Изменив порядок суммирования по индексам
Величины
называют обобщенными силами, соответствующими возможным перемещениям при выводе учтено разложение векторов Подставляя (39) в (38), получим
В случае, когда возможные перемещения
Последовательно вычисляя работу на каждом из независимых возможных перемещений Заметим, во-первых, что размерность обобщенной силы, определяемой из (41), может быть любой. Например, при выборе в качестве обобщенной координаты угла поворота, обобщенная сила имеет размерность момента силы. Во-вторых, согласно (39), обобщенную силу формируют силы, приложенные в различных точках механической системы. Оба отмеченных обстоятельства подчеркивают удачность предложенного названия. Для вычисления обобщенных сил в консервативных системах следует проекции сил (27) внести в уравнения (39). Тогда
При выводе учтено, что первоначально выражение для потенциальной энергии было записано через декартовы координаты точек механической системы, которые позже были записаны через выбранные обобщенные координаты. ПРИМЕР 9. Выбрать обобщенные координаты и определить обобщенные силы для двойного математического маятника, изображенного на рис.12.
РЕШЕНИЕ. Положение двойного маятника можно определить двумя углами Сначала воспользуемся подходом, использующим формулу (39). Составим выражения для действующих сил и радиусов - векторов точек их приложения, выразив последние через выбранные обобщенные координаты:
Для нашего случая формула (1.9) будет иметь вид
Взяв соответствующие производные и выполнив действия формального характера, получим
Теперь воспользуемся подходом, использующим формулу (41). Для определения обобщенной силы
Откуда Для нахождения обобщенной силы Для работы силы
Тогда обобщенная сила будет
Для реализации третьего подхода составим выражение для потенциальной энергии и найдем обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам Для этого вычислим работу сил
Выполнив дифференцирование (1.22), получим
Естественно, что найденные разными приемами обобщенные силы одинаковы.
Вопросы и задачи для самоконтроля 1. Запишите общее уравнение динамики для механической системы. 2. Сколько независимых уравнений можно записать для механической системы с геометрическими связями, если она обладает 3. Работа каких сил не учитывается в общем уравнении динамики для механической системы с идеальными геометрическими связями? 4. Какое силовое поле называется консервативным? 5. По какому критерию можно убедиться в его консервативности? 6. Как вычисляется работа сил в консервативном силовом поле? 7. Как составить выражение для потенциальной энергии консервативной механической системы? 8. Зависит ли работа силы, приложенной к точке консервативной механической системы, от вида траектории точки и закона движения по ней? 9. Запишите формулы для вычисления обобщенных сил для неконсервативной механической системы. 10. Запишите формулу для вычисления обобщенных сил для консервативной механической системы. 11. Какой может быть размерность обобщенной силы? 12. Почему такие силы называют обобщенными? 13. Что можно сказать о величине обобщенных сил в случае равновесия механической системы? 14. Как вычислить обобщенные силы, если известно выражение для потенциальной энергии механической системы? 15. Сколько обобщенных сил следует приравнять к нулю в случае равновесия механической системы с двумя степенями свободы? 16. Получите выражения для обобщенных сил в следующих задачах из [2]: 48.27, 48.29, 48.35, 48.40. 17. Решите следующие задачи из [2]: 47.1, 47.12, 47.15, 47.16, 47.17.
Лекция 4 Вывод уравнений Рассмотрим механическую систему из n материальных точек
Преобразуем оставшиеся слагаемые
Выражение в скобках представим так
где Таким образом, общее уравнение динамики с учетом (48), (46) и (16) можно представить в виде
Поскольку
Мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно ПРИМЕР 10. Используя Уравнения Лагранжа второго рода, составить дифференциальное уравнение движения первого груза механической системы из примера 7. РЕШЕНИЕ. На рис.13 изображена механическая система с действующими на нее внешними силами.
Выберем за обобщенную координату линейное перемещение первого груза. Уравнения кинематических связей останутся прежними:
Составим выражение для кинетической энергии механической системы:
При записи учтено, что мгновенный центр скоростей диска, катящегося без скольжения, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью. Вынесем за скобки квадрат обобщенной скорости
При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородного диска Частная производная от кинетической энергии по обобщенной координате будет равна нулю, так как полученное выражение от обобщенной координаты не зависит. Частная производная от кинетической энергии по обобщенной скорости будет
Для вычисления обобщенной силы дадим системе возможное перемещение. Составим сумму работ всех внешних сил на соответствующих возможных перемещениях и вынесем возможное перемещение по обобщенной координате
Выражение в квадратных скобках и есть обобщенная сила для возможного перемещения по выбранной обобщенной координате. После подстановки в (49) выражений для частных производных и обобщенной силы, а так же учета условия равновесия (см. пример 17 из лекции 6), окончательно имеем Полученное уравнение совпадает с результатом решения примера 7. ПРИМЕР 11 (задача 48.26 из [2]). Решим задачу из примера 8 (см. рисунок 14), используя уравнения Лагранжа второго рода. РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая механическая система обладает двумя степенями свободы. Выберем, как и при решении примера 8, в качестве независимых обобщенных координат горизонтальное перемещение
Уравнение кинематической связи были получены при решении примера 6:
Составим выражение для кинетической энергии системы
и возьмем соответствующие производные:
Выражения для обобщенных сил были получены при решении примера 6. Изменив индексы масс, (так как в задачах 46.21 и 48.26 из [5] они не совпадают) имеем:
Теперь составим систему из двух дифференциальных уравнений второго порядка
Сложим полученные уравнения и учтем результат дифференцирования уравнения кинематических связей
Очевидно, что груз К будет двигаться вниз, если числитель полученного выражения положителен, т.е. при
Вопросы и задачи для самоконтроля 1. Какую размерность могут иметь обобщенные координаты и обобщенные силы? 2. Сколько способов вычисления обобщенных сил вам известно? 3. Может ли выражение для кинетической энергии механической системы содержать обобщенные координаты? 4. Запишите уравнения Лагранжа второго рода для консервативных и неконсервативных механических систем. 5. Что такое кинетический потенциал и как записываются уравнения Лагранжа второго рода через эту характеристику? 6. Какие обобщенные координаты являются циклическими? Что такое циклический интеграл? 7. Достаточно ли составления уравнений Лагранжа второго рода и начальных условий для решения задачи о движении механической системы с неидеальными связями? Какие пути нахождения величин реакций неидеальных связей могут быть использованы? |
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 1024; Нарушение авторского права страницы
и 
связанной с ротором координатной системы дополнительных опорных реакций подшипников будет иметь место при равенстве нулю соответствующих проекций главного вектора и главного момента сил инерции. Тогда при любых значениях угловой скорости 
и углового ускорения 
должны удовлетворяться две системы однородных уравнений: 
(8)
. (9)
(10.а)
; (10.б)
должна быть его главной осью инерции.
).
которого параллельна оси вращения 
). В таком случае дополнительные динамические опорные реакции образуют пару сил, которая вращается вместе с ротором. Поскольку пару сил можно уравновесить только другой парой, устранение моментной неуравновешенности осуществляется не менее чем двумя корректирующими массами.
. Определите число степеней свободы механической системы. Какие связи наложены на ее элементы? 
степенями свободы? 
материальных точек 
( 
), подчиненную идеальным связям. Согласно принципу Даламбера – Лагранжа, если к материальным точкам механической системы добавить их силы инерции, можно считать, что система сил уравновешена, то есть
; 
- равнодействующая активных сил, приложенных к 
-ой точке системы, 
- равнодействующая реакций связей, а 
- сила инерции.
. (23)
, умножим обе части уравнения (23) на 
. (24) Тогда 
или 
. (25)
, веса грузов, радиусы блоков, осевой момент инерции блока 
, составить дифференциальное уравнение движения груза.
, 
, 
и 
-силы и момент сил инерции, приложенные к соответствующим телам, 
- сила вязкого сопротивления демпфера, 
- сила
- удлинение пружины в положении статического равновесия механической системы.
.
.
.
за скобки, выражение в скобках приравняем к нулю. Соотношения между ускорением груза, ускорением и угловым ускорением колеса и угловым ускорением блоков аналогичны приведенным выше (они получаются дифференцированием по времени уравнений кинематических связей). Выразим теперь кинематические характеристики в уравнении для суммы работ через скорость и ускорение груза. После несложных преобразований и учета условия статического равновесия (см. решение примера 17 из лекции 6), получим дифференциальное уравнение колебаний системы около положения статического равновесия при наличии линейно-вязкого сопротивления: 
.
, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз E массы 
(см. рис.11). Коэффициент трения скольжения груза E о горизонтальную плоскость 
. При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь.
.
, 
.
(см. рис.11); отсутствие в данном примере моментов сил инерции обусловлено неподвижностью блоков В и D, а так же безмассовостью блока С.
.
.
возможное перемещение 
. Силу трения рассчитаем предварительно как 
и отнесем к активным силам. С учетом этого выражение для работы на возможном перемещении 
будет
.
.
.
.
возможное перемещение 
.
.
.
.
.
; 
. Вычислим работу внешних сил на возможных перемещениях 
. (36)
. Поскольку связи, наложенные на систему, голономны, 
имеем 
; 
. (37)
.
, будем иметь
. (38)
(39)
; 
и 
на оси неподвижной декартовой координатной системы.
. (40)
, полагая остальные равными нулю, т.е. 
. Далее следует вычислить 
всех действующих сил на возможных перемещениях точек их приложения 
. Выразив последние через 
. (41)
.
. (42)
и 
, которые и примем за обобщенные координаты (система имеет две степени свободы). Отсчет углов происходит от вертикальных линий (поскольку направление вертикалей не изменяется, выбранные координаты называются абсолютными).
; 
; 
.
; 
; 
.
, соответствующей первой обобщенной координате 
, оставляя вторую обобщенную координату 
. Составим сумму работ сил 
и 
на заданном возможном перемещении: 
. Вертикальные смещения 
и 
точек приложения сил, вызванные изменением угла 
. Подставляя эти значения в выражение для работы на возможном перемещении, получим
.
, соответствующей обобщенной координате 
, но угол 
.
на заданном возможном перемещении получим выражение
.
и 
.
; 
.
идеальными голономными связями. Ее положение в пространстве определим независимыми обобщенными координатами 
( 
), число которых соответствует числу степеней свободы 
. (46)
. (47)
, (48)
- кинетическая энергия системы, 
- 
ая обобщенная скорость.
.
; 
, определяющих закон движения механической системы. Число уравнений равно числу степеней свободы; форма их записи не зависит от конкретного выбора обобщенных координат; они не содержат реакций идеальных голономных связей. Уравнения (49) называются уравнениями Лагранжа второго рода.
или 
; 
или 
; 
или 
.
.
.
. Производная по времени от частной производной кинетической энергии по обобщенной скорости будет
.
за скобки: 
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
; 
.
.