Особенности применения уравнений Лагранжа второго рода для систем с неудерживающими связями

Ели связи, наложенные на механическую систему неудерживающие, может иметь место ситуация, когда связь в некоторый момент перестает действовать (либо наоборот – накладывается). Силовые схемы на этапах движения с действующей связью и без нее, различны и, как следствие, различны на этих этапах дифференциальные уравнения, описывающие движение механической системы. Характерным примером является спуск с горы лыжника, который может оторваться от поверхности горы вследствие резкого изменения ее профиля (трамплин) либо достаточно высокой скорости на выпуклости. В последнем случае точка отрыва от связи (начало этапа полета) определяется равенством нулю силы нормального давления лыжника. Конечные положение и скорость на этапе скольжения есть начальные положение и скорость для этапа полета.

Точкой окончания этапа полета является точка пересечения траектории полета и профиля поверхности горы. Если в этой точке касательные к траектории движения и к профилю поверхности окажутся достаточно близкими, лыжник приземлится «мягко» (иногда говорят, что он хорошо «вписался»), если нет – будет иметь место механический удар.

Таким образом, решение задачи о движении механической системы с неудерживающими связями может представлять собой ряд этапов, для каждого из которых составляется своя силовая схема и выводятся свои дифференциальные уравнения; при этом конечные кинематические характеристики предыдущего этапа являются начальными для последующего. На протяжении рассматриваемого этапа осуществляется контроль величины параметра, определяющего переход к следующему этапу движения, на котором либо какие–то связи прекращают действовать либо начинают действовать дополнительные связи. Сказанное проиллюстрируем примером.

ПРИМЕР 15 (пример из [1], п.19.4). Стержень АВ скользит без трения по сторонам прямого угла (рис. 18).

До тех пор, пока стержень опирается на стороны угла, связи не нарушены и уравнение движения стержня может быть получено из уравнения движения линейки эллипсографа при , т.е.

. Это уравнение может быть представлено в виде

и проинтегрировано при начальных условиях , (движение наклоненного стержня из состояния покоя).

Тогда первый интеграл будет .

Однако сразу использовать эти уравнения нельзя, так как не известно, произойдет или нет отрыв стержня от вертикальной стенки. Если отрыв может иметь место, то надо определить угол , соответствующий этому моменту. Очевидно, что сила нормального давления на стену в момент отрыва должна стать равной нулю, то есть

.

Выразим и из дифференциального уравнения движения и его первого интеграла и подставим в выражение для силы нормального давления. Тогда

,

Отсюда . Таким образом, полученное уравнение Лагранжа определяет движение не при всех , как это было в случае удерживающих связей, а только если .

С момента отрыва точки А от вертикальной стены стержень будет иметь не одну, а две степени свободы (по предположению движение происходит в вертикальной плоскости). Если нас интересует дальнейшее движение стержня, то, как уже говорилось выше, для второго этапа движения следует изобразить стержень АВ с действующими на него силами (см. рис.18 при отсутствии реакции ), получить каким-либо методом дифференциальные уравнения движения стержня и проинтегрировать их. При этом начальными условиями для второго этапа будут найденный угол , при котором происходит отрыв точки А стержня от вертикальной стены, и угловая скорость , которой обладал стержень в этот момент времени.

Следует отметить, что единообразие в составлении уравнений Лагранжа, с одной стороны являясь его достоинством, с другой стороны не позволяет, в некоторых случаях, произвести анализ действия сил, и, как следствие, поведения механической системы, что для инженера оказывается серьезным недостатком. Избежать этого позволяет комбинирование уравнений Лагранжа с общими теоремами механики (как это было сделано выше).

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какую размерность могут иметь обобщенные координаты и обобщенные силы?

2. Сколько способов вычисления обобщенных сил вам известно?

3. Может ли выражение для кинетической энергии механической системы содержать обобщенные координаты?

4. Запишите уравнения Лагранжа второго рода для консервативных и неконсервативных механических систем.

5. Что такое кинетический потенциал и как записываются уравнения Лагранжа второго рода через эту характеристику?

6. Какие обобщенные координаты являются циклическими? Что такое циклический интеграл?

7. Достаточно ли составления уравнений Лагранжа второго рода и начальных условий для решения задачи о движении механической системы с неидеальными связями? Какие пути нахождения величин реакций неидеальных связей могут быть использованы?

8. В чем особенность задач о движении механической системы с неудерживающими связями? Чем обусловлено разделение движения на этапы? Что можно сказать о схеме сил, действующих на этапе? Как связать положение и скорость точки механической системы для предыдущего и последующего этапов движения?

9. Решите следующие задачи из [2]: 48.27, 48.29, 48.35, 48.40, 48.46.

 

Лекция 5

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: