Общее уравнение динамики. Обобщенные силы и способы их нахождения

Общее уравнение динамики

Метод кинетостатики, обсужденный ранее, позволяет обобщить принцип возможных перемещений на случай движения любой механической системы.

Рассмотрим несвободную механическую систему из материальных точек ( ), подчиненную идеальным связям. Согласно принципу Даламбера – Лагранжа, если к материальным точкам механической системы добавить их силы инерции, можно считать, что система сил уравновешена, то есть

; , (22)

где - равнодействующая активных сил, приложенных к -ой точке системы, - равнодействующая реакций связей, а - сила инерции.

Определим из (22) равнодействующую реакций связей

. (23)

Сообщим точкам системы возможные перемещения , умножим обе части уравнения (23) на и просуммируем левые и правые части по индексу . Поскольку связи идеальные, то . (24) Тогда или . (25)

Уравнение (25), называемое общим уравнением динамики, является математической записью принципа Даламбера-Лагранжа: при движении механической системы, подчиненной идеальным связям, сумма работ активных сил и сил инерции на возможных перемещениях точек системы равна нулю. Название обусловлено тем, что из (25) можно вывести уравнения равновесия и общие теоремы механики.

В том случае, когда возможные перемещения точек механической системы можно выразить через независимые возможные перемещения (на механическую систему наложены геометрические связи), принцип Даламбера – Лагранжа может быть применен для каждого из этих перемещений. Очевидно, что в силу этой независимости количество выражений, аналогичных (25), будет равно числу степеней свободы механической системы.

Уравнение (25) справедливо и для систем с неидеальными связями. В этом случае следует включить силы реакций неидеальных связей в число задаваемых сил; эти силы должны быть рассчитаны предварительно каким-либо образом (например, используя уравнение равновесия, как это было сделано при решении примера 6, либо – общие теоремы механики, как это сделано ниже при решении примера??? из лекции 5; возможно и экспериментальное получение этих реакций).

ПРИМЕР 7. Механическая система (см. рис.10), состоящая из двух соосных (насаженных неподвижно на единую ось) блоков, груза, прикрепленного к неподвижному основанию пружиной и однородного колеса, расположенного на наклонной плоскости и связанного с неподвижным основанием демпфером, приводится в движение из положения статического равновесия. Зная жесткость пружины , веса грузов, радиусы блоков, осевой момент инерции блока , составить дифференциальное уравнение движения груза.

 

РЕШЕНИЕ. На рис.10 изображена механическая система, внешние силы, на нее действующие, а так же силы и момент сил инерции.

Дадим системе возможное перемещение. Составим выражение суммы работ всех этих усилий на соответствующих возможных перемещениях и приравняем его к нулю. Тогда

где , , и -силы и момент сил инерции, приложенные к соответствующим телам, - сила вязкого сопротивления демпфера, - сила

упругости пружины, где - удлинение пружины в положении статического равновесия механической системы.

Замечание: осевой момент инерции однородного колеса .

Запишем уравнения кинематических связей, полагая нити нерастяжимыми, а проскальзывание между колесом и наклонной плоскостью отсутствующим. Тогда:

.

В силу голономности и стационарности связей системы,

.

Из выражения для суммы работ вынесем за скобки, выражение в скобках приравняем к нулю. Соотношения между ускорением груза, ускорением и угловым ускорением колеса и угловым ускорением блоков аналогичны приведенным выше (они получаются дифференцированием по времени уравнений кинематических связей). Выразим теперь кинематические характеристики в уравнении для суммы работ через скорость и ускорение груза. После несложных преобразований и учета условия статического равновесия (см. решение примера 17 из лекции 6), получим дифференциальное уравнение колебаний системы около положения статического равновесия при наличии линейно-вязкого сопротивления:

.

Для получения решения уравнения необходимо задать начальные условия.

Замечания: - если есть необходимость получить дифференциальное уравнение движения другого тела системы следует воспользоваться уравнениями кинематических связей;

- алгоритм получения дифференциального уравнения не отличается от алгоритма получения уравнения равновесия; наличие сил, зависящих от кинематических характеристик, обуславливает различие структур этих уравнений.

ПРИМЕР 8 (задача 48.26 из [2]). Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы , огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз E массы . К оси подвижного блока C подвешен груз К массы (см. рис.11). Коэффициент трения скольжения груза E о горизонтальную плоскость . При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь.

 

РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая механическая система отличается от системы, рассмотренной в примере 6, индексами масс грузов. Она обладает двумя степенями свободы. Выберем в качестве независимых обобщенных координат горизонтальное перемещение груза Е и вертикальный подъем груза А. Тогда, в силу нерастяжимости нити, опускание по вертикали центра блока С (и груза К) будет зависеть от выбранных обобщенных координат.

Уравнение связей для рассматриваемой задачи было получено в примере 6:

.

В этом случае возможные перемещения (а так же ускорения) относятся между собой как соответствующие скорости, т.е.

, .

Добавим к внешним силам, действующим на механическую систему, силы инерции

(см. рис.11); отсутствие в данном примере моментов сил инерции обусловлено неподвижностью блоков В и D, а так же безмассовостью блока С.

 

Дадим системе возможное перемещение, обусловленное изменением обобщенной координаты , оставив при этом другую обобщенную координату без изменения, т.е. .

При этом у системы остается как бы только одна степень свободы. Составим выражение для суммы работ всех сил на возможных перемещениях точек их приложения и приравняем ее к нулю:

.

При возможное перемещение . Силу трения рассчитаем предварительно как и отнесем к активным силам. С учетом этого выражение для работы на возможном перемещении будет

.

Выражение в круглых скобках есть первое дифференциальное уравнение движения механической системы, соответствующее возможному перемещению по первой обобщенной координате:

.

Дадим системе возможное перемещение, обусловленное изменением обобщенной координаты ; при этом другую координату оставим без изменения, т.е. .

Составим сумму работ всех сил на возможных перемещениях точек системы и приравняем ее к нулю:

.

При возможное перемещение .

С учетом этого выражение для работы на втором возможном перемещении будет

.

Выражение в круглых скобках есть второе дифференциальное уравнение движения механической системы, соответствующее возможному перемещению по второй обобщенной координате:

.

Сложим полученные дифференциальные уравнения и результат разделим на 2. Тогда

.

Анализ полученного выражения показывает, что груз К движется вниз при .

Замечание: в случае движения системы с несколькими степенями свободы придется составить соответствующее число дифференциальных уравнений; в общем случае будет получена замкнутая система связанных дифференциальных уравнений второго порядка. Алгоритм получения каждого из уравнений остается прежним.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: