Условия равновесия механической системы в обобщенных координатах и силах

Условие (20) можно записать в обобщенных координатах и силах. Для этого в (20) подставим (40), тогда

(43)

где - обобщенная сила.

Если возможные перемещения ( ) выбраны независимыми (их число соответствует числу степеней свободы механической системы), то для выполнения равенства (43) необходимо, чтобы все коэффициенты при независимых возможных перемещениях по отдельности равнялись нулю:

. (44)

Для консервативной системы это условие соответствует экстремуму потенциальной энергии в положении равновесия системы:

; . (45)

Итак, в случае равновесия несвободной механической системы, подчиненной идеальным удерживающим связям, все обобщенные силы должны равняться нулю.

Если вновь обратиться к примерам 4 – 6 из второй лекции, то приравниваемые к нулю выражения в круглых скобках и есть обобщенные силы, соответствующие вынесенным за эти скобки возможным перемещениям.

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Запишите общее уравнение динамики для механической системы.

2. Сколько независимых уравнений можно записать для механической системы с геометрическими связями, если она обладает степенями свободы?

3. Работа каких сил не учитывается в общем уравнении динамики для механической системы с идеальными геометрическими связями?

4. Какое силовое поле называется консервативным?

5. По какому критерию можно убедиться в его консервативности?

6. Как вычисляется работа сил в консервативном силовом поле?

7. Как составить выражение для потенциальной энергии консервативной механической системы?

8. Зависит ли работа силы, приложенной к точке консервативной механической системы, от вида траектории точки и закона движения по ней?

9. Запишите формулы для вычисления обобщенных сил для неконсервативной механической системы.

10. Запишите формулу для вычисления обобщенных сил для консервативной механической системы.

11. Какой может быть размерность обобщенной силы?

12. Почему такие силы называют обобщенными?

13. Что можно сказать о величине обобщенных сил в случае равновесия механической системы?

14. Как вычислить обобщенные силы, если известно выражение для потенциальной энергии механической системы?

15. Сколько обобщенных сил следует приравнять к нулю в случае равновесия механической системы с двумя степенями свободы?

16. Получите выражения для обобщенных сил в следующих задачах из [2]: 48.27, 48.29, 48.35, 48.40.

17. Решите следующие задачи из [2]: 47.1, 47.12, 47.15, 47.16, 47.17.

 

 

Лекция 4

Уравнение Лагранжа второго рода

Вывод уравнений

Рассмотрим механическую систему из n материальных точек ( ), ограниченную идеальными голономными связями. Ее положение в пространстве определим независимыми обобщенными координатами ( ), число которых соответствует числу степеней свободы механической системы. Обратимся к общему уравнению динамики (25) и запишем его в обобщенных координатах. Работа активных сил на возможных перемещениях, согласно (38) и (40), будет

. (46)

Преобразуем оставшиеся слагаемые

. (47)

Выражение в скобках представим так

, (48)

где - кинетическая энергия системы, - ая обобщенная скорость.

Таким образом, общее уравнение динамики с учетом (48), (46) и (16) можно представить в виде

.

Поскольку независимы, равенство выполняется, когда

; . (49)

Мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций , определяющих закон движения механической системы. Число уравнений равно числу степеней свободы; форма их записи не зависит от конкретного выбора обобщенных координат; они не содержат реакций идеальных голономных связей. Уравнения (49) называются уравнениями Лагранжа второго рода.

ПРИМЕР 10. Используя Уравнения Лагранжа второго рода, составить дифференциальное уравнение движения первого груза механической системы из примера 7.

РЕШЕНИЕ. На рис.13 изображена механическая система с действующими на нее внешними силами.

Выберем за обобщенную координату линейное перемещение первого груза. Уравнения кинематических связей останутся прежними:

или ;

или ;

или .

Составим выражение для кинетической энергии механической системы:

.

При записи учтено, что мгновенный центр скоростей диска, катящегося без скольжения, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью.

Вынесем за скобки квадрат обобщенной скорости

.

При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородного диска .

Частная производная от кинетической энергии по обобщенной координате будет равна нулю, так как полученное выражение от обобщенной координаты не зависит.

Частная производная от кинетической энергии по обобщенной скорости будет

. Производная по времени от частной производной кинетической энергии по обобщенной скорости будет

.

Для вычисления обобщенной силы дадим системе возможное перемещение. Составим сумму работ всех внешних сил на соответствующих возможных перемещениях и вынесем возможное перемещение по обобщенной координате за скобки:

Выражение в квадратных скобках и есть обобщенная сила для возможного перемещения по выбранной обобщенной координате.

После подстановки в (49) выражений для частных производных и обобщенной силы, а так же учета условия равновесия (см. пример 17 из лекции 6), окончательно имеем

Полученное уравнение совпадает с результатом решения примера 7.

ПРИМЕР 11 (задача 48.26 из [2]). Решим задачу из примера 8 (см. рисунок 14), используя уравнения Лагранжа второго рода.

РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая механическая система обладает двумя степенями свободы. Выберем, как и при решении примера 8, в качестве независимых обобщенных координат горизонтальное перемещение груза А и вертикальный подъем груза В. Тогда, в силу нерастяжимости нити, опускание по вертикали центра блока Д (и груза К) будет зависеть от выбранных обобщенных координат.

 

Уравнение кинематической связи были получены при решении примера 6:

.

Составим выражение для кинетической энергии системы

и возьмем соответствующие производные:

; ;

; ;

;

Выражения для обобщенных сил были получены при решении примера 6. Изменив индексы масс, (так как в задачах 46.21 и 48.26 из [5] они не совпадают) имеем:

;

.

Теперь составим систему из двух дифференциальных уравнений второго порядка

;

.

Сложим полученные уравнения и учтем результат дифференцирования уравнения кинематических связей . Окончательно получим

.

Очевидно, что груз К будет двигаться вниз, если числитель полученного выражения положителен, т.е. при .

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: