Силовое поле. Потенциальная энергия.

Будем называть силовым полем область пространства, в каждой геометрической точке которого на помещенную в него материальную точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени [1].

Таким образом, в силовом поле должны быть известны три функции – проекции силы на оси координат. Например, для декартовой системы это

.

Силовое поле называется нестационарным, если проекции силы в явном виде зависят от времени; если проекции силы от времени не зависят, то поле стационарное и

. (26)

Ниже ограничимся рассмотрением только стационарных силовых полей. Среди них важное место занимают поля, у которых работа сил, приложенных к материальной точке, не зависит от вида траектории и закона движения по ней; величина работы определяется только начальным и конечным положениями точки в пространстве.

Силовое поле называется консервативным, если существует такая функция координат , называемая потенциальной энергией, что проекции силы могут быть представлены через нее следующим образом:

. (27)

Покажем, что для консервативных сил работа зависит только от начального и конечного положений точки и не зависит от вида траектории и закона движения по ней.

Заметим, что элементарная работа консервативных сил равна полному дифференциалу потенциальной энергии, взятому с обратным знаком:

(28)

Тогда, пользуясь формулой для вычисления работы, получим

. (29)

Под знаком интеграла по кривой от точки 1 до точки 2 стоит полный дифференциал от функции , поэтому выражение для работы принимает вид

. (30)

Как видно из формул (27), (28) и (30), потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого. Этим обстоятельством можно воспользоваться, назначив в некоторой точке нулевое значение потенциальной энергии. Выбрав, например, в качестве такой точки начало координат, получим

. (31)

В этом случае потенциальная энергия в данной точке равна работе, производимой силами поля при перемещении точки из заданного положения в начало координат.

В некоторых источниках независимость работы от вида траектории принимают за определение консервативности силового поля. С доказательством тождественности обоих утверждений можно ознакомиться, например, в [1].

Независимость работы от вида траектории определяет еще одно свойство консервативности поля: - работа по любому замкнутому контуру в консервативном силовом поле равна нулю (см.(30)).

По определению, силовое поле консервативно, если справедливы формулы (1.13). Отсюда вытекают простые критерии консервативности силового поля. Дифференцируя (27), получим

и т.д.

Используя свойство независимости смешанных производных от порядка дифференцирования, окончательно имеем

. (32)

Условия (32) вытекают из консервативности силового поля и являются необходимыми.

Покажем, как вычисляется потенциальная энергия для некоторых часто встречающихся силовых полей.

Потенциальная энергия поля силы тяжести. Совмещая плоскость с горизонтальной плоскостью, для проекций силы тяжести будем иметь .

Нетрудно проверить, что условия (32) выполняются. Используя (31), получим

. (33)

Потенциальная энергия поля центральных сил. Центральной будем называть силу , которая в любой точке пространства направлена по прямой, соединяющей рассматриваемую точку с точкой, называемой центром; при этом модуль силы зависит только от расстояния между точкой и центром.

Если центр выбрать в начале координат, то , где - радиус-вектор точки.

Учитывая, что , а проекции силы на оси декартовой координатной системы есть

,

можно, выполнив проверку условий консервативности (32) для центральной силы, убедиться в их выполнимости.

Теперь получим выражение для потенциальной энергии, полагая, что точка переходит из произвольного положения в некоторое фиксированное . Тогда

(34)

В частности, когда центральной силой является гравитационная сила, выражение для потенциальной энергии примет вид

, где - постоянная тяготения, - массы притягивающихся материальных точек, - расстояние между ними. При выводе за была принята бесконечно удаленная точка.

Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружины. Примем за фиксированную точку , в которой равна нулю потенциальная энергия, положение конца недеформированной пружины. Пусть длина пружины в недеформированном состоянии равна , а в положении равна . Тогда . Знак « - » означает, что направление радиуса - вектора точки и восстанавливающей силы пружины (силы упругости) противоположны. Подставив выражение силы в (34), получим

,

или , где - модуль приращения длины пружины.

Из полученных формул следует, что работа восстанавливающей силы пружины при перемещении ее конца из положения в положение равна

. (35)

Обобщенные силы

Наряду с введенными ранее понятиями обобщенных координат, обобщенных скоростей и ускорений, введем понятие обобщенных сил.

Рассмотрим систему из материальных точек, на которую действуют внешние силы ; . Вычислим работу внешних сил на возможных перемещениях ( ) как

. (36)

Определим из (1.2) возможное перемещение , введя независимые обобщенные координаты . Поскольку связи, наложенные на систему, голономны,

имеем ; . (37)

Подставив (37) в (36), получим

.

Изменив порядок суммирования по индексам и , будем иметь

. (38)

Величины

(39)

называют обобщенными силами, соответствующими возможным перемещениям ;

при выводе учтено разложение векторов и на оси неподвижной декартовой координатной системы.

Подставляя (39) в (38), получим

. (40)

В случае, когда возможные перемещения независимы, можно сообщить системе только одно возможное перемещение , полагая остальные равными нулю, т.е. . Далее следует вычислить всех действующих сил на возможных перемещениях точек их приложения . Выразив последние через (используя уравнения связей), вынесем его за скобки. Выражение в скобках и будет обобщенной силой, соответствующей возможному перемещению механической системы, т.е.:

. (41)

Последовательно вычисляя работу на каждом из независимых возможных перемещений , можно определить соответствующие им обобщенные силы .

Заметим, во-первых, что размерность обобщенной силы, определяемой из (41), может быть любой. Например, при выборе в качестве обобщенной координаты угла поворота, обобщенная сила имеет размерность момента силы. Во-вторых, согласно (39), обобщенную силу формируют силы, приложенные в различных точках механической системы. Оба отмеченных обстоятельства подчеркивают удачность предложенного названия.

Для вычисления обобщенных сил в консервативных системах следует проекции сил (27) внести в уравнения (39). Тогда

. (42)

При выводе учтено, что первоначально выражение для потенциальной энергии было записано через декартовы координаты точек механической системы, которые позже были записаны через выбранные обобщенные координаты.

ПРИМЕР 9. Выбрать обобщенные координаты и определить обобщенные силы для двойного математического маятника, изображенного на рис.12.

 

РЕШЕНИЕ. Положение двойного маятника можно определить двумя углами и , которые и примем за обобщенные координаты (система имеет две степени свободы). Отсчет углов происходит от вертикальных линий (поскольку направление вертикалей не изменяется, выбранные координаты называются абсолютными).

Сначала воспользуемся подходом, использующим формулу (39).

Составим выражения для действующих сил и радиусов - векторов точек их приложения, выразив последние через выбранные обобщенные координаты:

;

; .

Для нашего случая формула (1.9) будет иметь вид

;

Взяв соответствующие производные и выполнив действия формального характера, получим

; .

Теперь воспользуемся подходом, использующим формулу (41).

Для определения обобщенной силы , соответствующей первой обобщенной координате , дадим механической системе возможное перемещение , оставляя вторую обобщенную координату без изменения, т.е. . Составим сумму работ сил и на заданном возможном перемещении: . Вертикальные смещения и точек приложения сил, вызванные изменением угла (при сохранении неизменным угла ), найдутся из соотношений . Подставляя эти значения в выражение для работы на возможном перемещении, получим

.

Откуда .

Для нахождения обобщенной силы , соответствующей обобщенной координате , придадим углу приращение , но угол оставим без изменения, т.е. .

Для работы силы на заданном возможном перемещении получим выражение

.

Тогда обобщенная сила будет

.

Для реализации третьего подхода составим выражение для потенциальной энергии и найдем обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам и .

Для этого вычислим работу сил и при перемещении системы из отклоненного положения в горизонтальное (принятое за положение с нулевой потенциальной энергией):

.

Выполнив дифференцирование (1.22), получим

;

.

Естественно, что найденные разными приемами обобщенные силы одинаковы.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: