Влияние линейно-вязкого сопротивления на вынужденные колебания

В случае гармонического возбуждения при учете сил сопротивления дифференциальное уравнение имеет вид

(81)

при .

Полностью с учетом начальных условий колебательный процесс описывается системой соотношений

(82)

где - угол фазового отставания силы от смещения , подчиняющийся условию

.

Из (82) видно, что при любых числах и , т.е. при любых начальных условиях, решение с течением времени приближается к виду

. (83)

Вводя, как в предыдущем параграфе, понятие коэффициента динамичности , получим для первого типа возбуждения (постоянная амплитуда вынуждающей силы) выражение

. (84)

Для возбуждений второго типа соответствующие коэффициенты будут связаны прежними зависимостями:

; .

Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики для этого случая (графики зависимостей и ) приведены на рис.33.

 

Заметим, что с ростом сопротивления максимальные значения амплитуд вынужденных колебаний уменьшаются, а при значениях коэффициент динамичности монотонно убывает. Хотя максимумы коэффициентов динамичности несколько смещены влево относительно резонансной частоты , такие смещения настолько малы, что принято считать максимальными (резонансными) значения Эту величину в некоторых источниках называют добротностью механической системы; чем она больше, тем больше резонансные амплитуды.

Отметим, что величина сдвига фаз между вынуждающим воздействием и смещением механической системы имеет различные значения при различных частотах вынуждающего воздействия и коэффициентах сопротивления среды (без учета сопротивления до резонанса сдвиг фаз отсутствовал, после резонанса он был равен ).

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какие типы возбуждения колебаний Вам известны?

2. Как выглядит уравнение вынужденных колебаний при гармоническом силовом возбуждении без учета сопротивления?

3. Как выглядят амплитудно–частотная и фазово–частотная характеристики при гармоническом силовом возбуждении без учета сопротивления?

4. Как влияет линейно – вязкое сопротивление на амплитудно – частотную характеристику механической системы при гармоническом силовом возбуждении?

5. Как выглядит уравнение вынужденных колебаний при гармоническом кинематическом возбуждении без учета сопротивления?

6. Как выглядят амплитудно–частотная и фазово–частотная характеристики при гармоническом кинематическом возбуждении без учета сопротивления?

7. Как изменяется амплитуда вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающего воздействия и собственной частоты?

8. Расскажите о явлении биения.

9. Как решается задача о колебаниях линейной механической системы при полигармоническом воздействии?

10. Каковы пути решения задачи о колебаниях линейной механической системы при периодическом воздействии?

11. Решите следующие задачи из [2]:

 

 

Лекция 8

Свободные колебания системы с двумя степенями свободы

Свободные колебания

Рассмотрим линейную изначально либо линеаризованную произвольную консервативную систему с голономными и стационарными связями, имеющую две степени свободы. Положение системы будем определять обобщенными координатами и , отсчитываемыми от положения устойчивого равновесия.

Для такой системы кинетическая энергия имеет вид (55), потенциальная – (56). Воспользовавшись, например, уравнениями Лагранжа второго рода, можно получить систему дифференциальных уравнений вида

Принимая во внимание, что перепишем уравнения в виде

(85)

Будем искать их решение в форме

(86)

где - неизвестные постоянные.

Продифференцируем искомые выражения для обобщенных координат по времени дважды, подставим их в (85). Для удовлетворения этих равенств при любых , должны быть равны нулю коэффициенты при , т.е.

. (87)

Система линейных уравнений относительно и имеет решение, отличное от нуля, в случае равенства нулю ее определителя

Раскрывая определитель, получим уравнение относительно

(88)

Уравнение (88) называется уравнением частот или вековым уравнением. Оба корня этого уравнения вещественны и положительны. Извлечем из них корни и воспользуемся только положительными значениями и , которые называются частотами главных колебаний. Теперь вид (86) будет

.

Между числами есть связь. Установим ее, используя любое из уравнений (87), например, первое. Тогда

; . (89)

Каждому значению частоты и отвечают соответствующие значения и . Вычислив их, найдем

. (90)

Коэффициенты и имеют простой физический смысл – они показывают, во сколько раз амплитуда соответствующего главного колебания в одной из обобщенных координат больше (или меньше) амплитуды другой.

Теперь решение (86) примет вид

. (91)

В этом решении частоты , и коэффициенты , - известные числа (они рассчитываются по инерционно – жесткостным характеристикам механической системы), а - постоянные интегрирования, которые следует определить из задаваемых начальных условий.

В заключении отметим, что методы получения и интегрирования дифференциальных уравнений для линейных механических систем с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия без всяких изменений могут быть распространены на линейные механические системы с большим числом степеней свободы.

ПРИМЕР 23. Для двойного математического маятника из примера 12 получить линейную модель и найти частоты ее главных колебаний.

РЕШЕНИЕ.

Для получения линейной модели воспользуемся выражениями для кинетической и потенциальной энергий, полученными при решении примера 12:

;

Для анализа малых колебаний заменим синусы и косинусы в выражениях энергий на члены не выше второго порядка малости в их разложений в степенной ряд Маклорена, т.е. . Тогда, после отбрасывания слагаемых высшего порядка малости по сравнению с остальными, получим:

;

.

Для получения математической модели малых колебаний воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода.

Вычислим соответствующие производные:

.

Составим уравнения Лагранжа для линеаризованной системы:

.

Приведем полученную систему линейных дифференциальных уравнений к виду (85):

.

Тогда уравнение частот (81) будет

.

Для окончательного решения целесообразно задать числовые значения соответствующих величин либо достаточно простые соотношения между ними.

Так, для частного случая , уравнение примет вид

.

Из него достаточно просто найти частоты главных колебаний

.

Воспользовавшись формулами (89) вычислим коэффициенты форм главных колебаний

.

Анализ знаков в выражениях для обобщенных координат (91) показывает, что в рассмотренной задаче фазы главных колебаний для первой обобщенной координаты совпадают (стержни математических маятников двигаются в одну сторону), а для второй находятся в противофазе (стержни двигаются в противоположных направлениях).

 

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какова структура системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих свободные колебания механической системы с несколькими степенями свободы?

2. В каком виде ищется решение этой системы уравнений?

3. Какова структура уравнения для расчета собственных частот механической системы с двумя (с тремя) степенями свободы?

4. Что представляют собой главные колебания механической системы?

5. От каких характеристик зависят частоты главных колебаний?

6. Что характеризуют коэффициенты форм главных колебаний ?

7. От каких характеристик механической системы они зависят?

8. Как найти амплитуды и начальные фазы главных колебаний?

9. Решите следующие задачи из [2]:

 

Лекция 9

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: