Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо

сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Так как векторы вращаются

с одинаковой угловой скоростью то разность фаз между ними остается

постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза соответственно задаются соотношениями

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направле­нии и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз

1) (m=О, 1, 2, ...), тогда т. е. амплитуда результиру­ющего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) (т = 0, 1, 2, ...), тогда т. е. амплитуда резуль­тирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гар­монических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В ре­зультате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющей­ся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны причем Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний

были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе найдем

Результирующее колебание (144.3) можно рассматривать как гармоническое с частотой амплитуда которого изменяется по следующему периодическому закону:

Частота изменения в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

Период биений

Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график медленно меня­ющейся по уравнению (144.4) амплитуды.

Определение частоты тона (звука определенной высоты (см. § 158)) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические колебания можно представить в виде супер-

позиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амп­литудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте

(144.5)

Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гар­монического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье*. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами

..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложно­го периодического колебания.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой час­тоты происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем

где — разность фаз обоих колебаний, A и В — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из

*Ж. Фурье (1768—1830) — французский ученый.

выражений (145.1) параметра Записывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении на х/А и на , получим после

несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относите­льно координатных осей произвольно:

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: