Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуж­дающая сила

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде

Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

(147.3) Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению

(147.4)

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с, называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференци­альному уравнению

(147.5)

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физичес­кой природы ( в случае механических колебаний равно в случае электромагнит­ных — ).

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного урав­нения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплекс-

ную величину

(147.6) Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных в уравнение

(147.6), получаем

(147.7)

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что Учитывая это, из

уравнения (147.7) найдем величину и умножим ее числитель и знаменатель на

Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:

где

 

 

 

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.S), равна

(147.10)

где А и задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид

(147.11)

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения

(147.12)

(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являют­ся гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от

Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что (см. (143.4)) и (см. (146.11)):

(147.13)

Продифференцировав по t, найдем силу тока в контуре при устано-

вившихся колебаниях:

 

где

 

Выражение (147.14) может быть записано в виде

 

где — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)).

В соответствии с выражением (147.13)

 

Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения если

и опережает напряжение если

Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной диаграм­мы. Это сделано в § 149 для переменных токов.

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний

(механических и электромагнитных).

Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты Меха­нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту — частоту, при которой амплитуда А сме­щения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкорен­ное выражение по и приравняв его нулю, получим условие, определяющее

Это равенство выполняется при у которых только лишь положи-

тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к ча­стоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При значение

практически совпадает с собственной частотой колебательной системы. Подста­вляя (148.1) в формулу (147.8), получим

На рис. 210 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от часто­ты при различных значениях Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше тем

выше и правее лежит максимум данной кривой. Если то все кривые (см. также

(147.8)) достигают одного итого же, отличного от нуля, предельного значения

которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний в случае электромагнитных — Если , то все кривые

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: