Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1) .В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, а), а знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колебание является

гармоническим колебанием с частотой со и амплитудой совершающимся

вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол В данном

случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;

2) В данном случае уравнение примет вид

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 206). Кроме того, если А = В, то эллипс (145.4) вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризо­ванными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпен-

дикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу*. Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной ).

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

(механических и электромагнитных) и его решение.

Автоколебания

Рассмотрим свободные затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение

__________________

*Ж. Лиссажу (1822—1880) — французский физик.

в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омичес­ких потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обыч­но рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в кото­рых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур» индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентич­ными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изуче­нию колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде

где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, =const — коэффициент затухания, —циклическая частота свободных незатуха­ющих колебаний той же колебательной системы, т. е. при =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде

где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и под­становки их в (146.1) получим

Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели­чиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:

(если > 0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение

типа (142.1) =0, решением которого является функция

(см. (140.1)). Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий

где

— амплитуда затухающих колебаний, а — начальная амплитуда. Зависимость

(146.5) показана на рис. 208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени в течение которого амплитуда затухающих

колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 208). Тогда период затуха­ющих колебаний с учетом формулы (146.4) равен

Если А (t) и А (t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

— логарифмическим декрементом затухания; — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — по­стоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

(так как затухание мало то Т принято равным ).

Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний

совершаемых системой за время релаксации.

Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).

____________________________________________________________________________

 

 

 

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маят­ника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= —kx , сила трения пропорциональна скорости, т. е.

 

где r— коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные напра­вления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу (см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих коле­баний маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания маятника подчиняются закону

где частота (см. (146.4)).

Добротность пружинного маятника, согласно (146.8) и (146.10), 2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Диф­ференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при ) имеет вид (см. (143.2))

Учитывая выражение (143.4) и принимая коэффициент затухания

дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравнению (146.1) виде

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания заряда совершаются по закону

с частотой, согласно (146.4),

меньшей собственной частоты контура (см. (143.4)). При R=0 формула (146.13)

переходит в (143.4).

Логарифмический декремент затухания определяется формулой (146.7), а доброт-

ность колебательного контура (см. (146.8))

(146.14)

В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний растет и при обращается в бесконечность, т. е. движение

перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптоти­чески приближается к нулю, когда Процесс не будет колебательным. Он называ­ется апериодическим.

Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колеба­ния незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые авто­колебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний опре­деляются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний (см. § 147), происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энер­гии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опуска­ющегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей.

Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т. д.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: