Классификация элементов данного множества.

I.Разбиение множества на классы при помощи одного или нескольких свойств .

1. При помощи одного свойства множество разбивается на две группы:

а) первый класс – элементы, обладают этим свойством;

б) второй класс – элементы не обладают этим свойством.

При этом основания(признаки) для классификации могут быть разными.

2. При помощи двух свойств множество разбивается

а) на 3 класса двумя способами: например,

а.1.) Х – множество натуральных чисел;

свойство 1: быть кратным 3,

свойство 2: быть кратным 6.

Решение: – числа, кратные 6; – числа, кратные 3, но не кратные 6;

– числа, не кратные 6 и не кратные 3( не кратные 3).

а.2.) Х множество треугольников;

свойство 1: быть прямоугольным;

свойство 2: быть тупоугольным.

Решение: – треугольники, прямоугольные; – треугольники, тупоугольные; – треугольники не прямоугольные и не тупоугольные.

б) на 4 класса: например,

Х – множество натуральных чисел;

Свойство 1: быть кратным 3;

Свойство 2: быть кратным 5.

Решение: – числа, кратные 3 и 5; – числа, кратные 3, но не кратные 5;

– числа, кратные 5 и не кратные 3; – числа не кратные 3 и не кратные 5.

II.Разбиение множества на классы, которые называют классами эквивалентности.

Определение: Отношение хRу на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствамирефлексивности, симметричности и транзитивности.

Отношение эквивалентности разбивает множество на классы, которые называют классами эквивалентности.

Принцип разбиения на классы при помощи отношения эквивалентности очень важен.

Во-первых, элементы одного класса –взаимозаменяемы;

Во-вторых, свойства, присущие какому-то классу можно изучать по одному какому-то представителю этого класса.

В-третьих, разбиение на классы эквивалентности используется для введения новых понятий.

Например.

Рассмотрим отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3» на множестве Х= }. Оно разбивает множество на попарно непересекающиеся подмножества == }, == == }, объединение которых равно Х.

В данном случае разбиение на классы эквивалентности используется для введения нового понятия «быть кратным трём».

Вопрос № 16.

Декартово произведение множеств. Нахождение числа элементов в декартовом произведении двух множеств.

Определение 1.Декартовым произведениеммножеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Определение 2.Декартовым произведением множеств , …, называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству , вторая – множеству , …, n –я – множеству .

Свойства операции нахождения декартова произведения множеств: 1. Свойством коммутативности не обладает;

2 . Свойством ассоциативности тоже не обладает;

3. Она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любым множеств А, В, С выполняются равенства:

(А В) С=(А С) (В С); (А\В) С=(А С)\(В С)

Декартово произведение множеств - можно изображать на координатной плоскости.

Декартовым произведением множеств - будет являться множество точек плоскости (х; у), первая координата которых х .

Изображение декартова произведения на координатной плоскости.

Рассмотрим все возможные случаи:

1) ;

2) ;

3) − 2 отрезка, параллельных оси Ох;

4) - прямоугольник.

В математике рассматривают декартово произведение трёх, четырёх и вообще nмножеств.

Нахождение элементов декартова произведения конечных множеств используется при решении комбинаторных задач:

Например.

№ 1.У Маши 4 блузки и 3 юбки. Сколько различных комплектов одежды она может составить?

Решение.

Способом перебора, строя дерево возможных вариантов.

Блузки: б к с ж

/ | \ / | \ / | \ / | \

Юбки ч к б ч к б ч к б ч к б

Ответ: 12 комплектов.

Способом перебора, с помощью таблицы.

Блузки б б б к к к с с с ж ж ж

Юбки ч к б ч к б ч к б ч к б

Ответ: 12 комплектов.

№ 2. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3?

Решение: Способом перебора.

Ответ: полученные числа: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

Число элементов в декартовом произведении конечных множеств.

n(А В) = n(А) n(В)

Вопрос № 17.

Понятие бинарного отношения на множестве. Способы задания отношений; их свойства. Отношение эквивалентности.

Отношение порядка.

В математике изучают связи между элементами одного множества. Называют их отношениями. Отношения многообразны:

· между понятиями — это отношения рода и вида, части и целого;

· между предложениями — отношения следования и равносильности;

· между числами — «больше», «меньше», «равно», «больше на...», «больше в...», «следует» и др.

Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинарными; отношения между тремя элементами — тернарными; отношения между п элементами — n -арными.

Все названные выше отношения являются бинарными. Примером тернарного отношения может служить отношение между точками прямой — «точка х лежит между точками у и z ».

Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В начальном курсе математики рассматриваются в основном бинарные отношения. Определение.Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х хХ.

Условимся отношения обозначать буквами R, S, Т, Р и др. Если R - отношения на множестве Х, то, согласно определению, хRу є Х× Х.

С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества Х× Х, то оно определяет на множестве Х некоторое отношение R. Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записывать так: (х, у) є R или х R у. Последняя запись читается: «Элемент х находится в отношении R с элементом у».

Отношение можно задать :

1)с помощью характеристического свойства;

2)с помощью графа;

3) с помощью таблицы;

4) перечислением пар;

5) с помощью графика.

Для отношения xRy можно задать и ему обратное .

Понятием отношения, обратного данному отношению, часто пользуются при начальном обучении математике.

Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори? » — ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори? » Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».

Свойства отношений:

рефлективность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 Следующая ⇒
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-05-05; Просмотров: 1852; Нарушение авторского права страницы