Влияние нулей передаточной функции на качество переходного процесса

 

Корни знаменателя называются корнями характеристического уравнения или полюсами передаточной функции. Корни числителя называются нулями передаточной функции. Чтобы исследовать САУ на устойчивость и на качество управления необходимо определить нули и полюса передаточной функции. Перед исследованием нужно проверить: . Если , то их нужно сократить, и они не будут влиять ни на качество, ни на устойчивость.

Рассмотрим частный случай, когда передаточная функция системы имеет вид:

,

где - ноль передаточной функции.

- переходный процесс y(t) состоит из двух составляющих, при этом:

Графически это означает, что:

Если просуммировать y₁(t) и y₂(t), то получим верхний график y(t).

Т.о. нули передаточной функции не увеличивают время переходного процесса, а вносят колебательность в переходный процесс. Нули передаточной функции не влияют на устойчивость системы, поэтому при синтезе линейных САУ, отвечающих максимальному быстродействию, можно не рассматривать нули передаточной функции.

Рассмотрим случай, когда ноль передаточной функции совпадает с полюсом.

Будем считать, что , это означает следующее:

Если l_i была величина положительная и единственная, то полюс p_i скомпенсировал данный корень и САУ будет устойчивой. Т.о., компенсация нулей передаточной функции и полюсов передаточной функции может быть использована в построении корректирующих устройств САУ.

С точки зрения переходного процесса, наилучшей считается САУ, у которой все корни характеристического уравнения приблизительно равны , где i=1, 2, 3…n. Перерегулирование при этом составляет . - min из всех возможных.

Диаграмма Вышнеградского

 

Влияние распределения корней на характер переходного процесса и на устой­чивость хорошо иллюстрирует диаграмма, построенная И.А. Вышнеградским для нормированного характеристиче­ского уравнения третьего порядка

.

Область устойчивости в плоскости параметров А₁ и А₂ состоит из трех областей, соответствующих различному распределению корней. Область I, ограниченная линией abc, соответствует трем действительным (и не равным друг другу) корням и апериодическому переходному процессу. Область II, ограниченная линией abd, соответствует паре комплексных корней и одному действительному корню, причем действительный корень ближе к мнимой оси, чем комплексные. Переходный процесс в этом случае монотонный. В области III, заключенной между границей устойчивости и линией abc, также пара комплексных корней и один действительный, но к мнимой оси ближе расположены комплексные корни. Переходный процесс колебательный.

На диаграмме показано также распределение корней для разграничительных линий. В точке b, в которой А₁=А₂=3, все три корня действительные и равные друг другу.

Частотные методы базируются на прямом и обратном преобразовании Фурье.

Если f(t) – функция периодическая, то для нее применимо:

Будем рассматривать:

Y(t)=h(t); x(t)=1(t)

, - вещественная характеристика.

 

Интегральный метод оценки показателей качества

 

Рассмотрим кривую переходного процесса 1 и установившееся значение 2.

Будем считать, что 1 – переходный процесс реальной системы; 2 – переходный процесс идеальной системы.

Тогда отличие реальной системы от идеальной определяется площадью S, и если взять критерий – является функцией

то можно определить показатели качества реальной системы в сравнении с идеальной.

Определенный интеграл J называется интегральной оценкой переходного процесса. В зависимости от вида функции f различают:

v Линейную интегральную оценку;

v Квадратичную интегральную оценку;

v Апериодическую интегральную оценку.

 

Линейная интегральная оценка

Она определяется следующим образом:

,

при этом: чем меньше обл. S, тем лучше будут все переходные процессы.

Метод Кулебакина

.

Рассмотрим следующую передаточную функцию:

.

В качестве входного сигнала x(t) рассмотрим ступенчатое воздействие r(t).

,

тогда , а .

Интегральная схема будет выглядеть так:

Если рассматривать минимум этой функции, то он будет достигаться при выполнении равенства

это идеальный переходный процесс (площадь S – min).

Т.о. выбирая коэффициенты передаточной функции в соответствии с равенством (*), можно достичь заданных показателей качества, но линейная интегральная оценка применяется только для монотонных (апериодических) переходных процессов.

Для колебательных процессов применяется квадратичная интегральная оценка, которая определяется по формуле:

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: