Замена системы упругих элементов одним – эквивалентным

Упругий элемент называется эквивалентным данной системе упругих элементов, если под действием одной и той же силы перемещения ее точки приложения совпадают.

а) Параллельное соединение упругих элементов с жесткостями с₁ и с₂ изображено на рис. 4 слева.

 

 

В положении равновесия сила F уравновешивается двумя силами F_у1 = с₁ Δ и F_у2 = с₂ Δ.

 

F = F_у1 + F_у2 = с₁ Δ + с₂ Δ = Δ (с₁ + с₂). (13)

У эквивалентного данной системе упругого элемента (рис. 4 справа) с жесткостью с_Э сила F уравновешивается одной силой

F = F_у = с_Э Δ. (14)

Приравняв правые части формул (13) и (14), получим: с_Э = с₁ + с₂.

Из этой формулы видно, что в случае параллельного соединения упругих элементов жесткость эквивалентного упругого элемента больше жесткости любого из них.

б) Последовательное соединение упругих элементов с жесткостями с₁ и с₂ изображено на рис. 5 слева.

 

Каждый из упругих элементов под действием силы F получит деформацию растяжения Δ ₁ = F/ с₁ и Δ ₂ = F/ с₂. Деформация эквивалентного упругого элемента под действием силы F равна Δ = F/с_Э. Жесткость эквивалентного упругого элемента найдем из условия равенства деформаций: Δ = Δ ₁ + Δ ₂, тогда F/ с_Э = F/ с₁ + F/ с₂. После несложных преобразований найдем

 

(15)

Из (15) видно, что в случае последовательного соединения упругих элементов жесткость эквивалентного упругого элемента меньше жесткости любого из них.

 

Затухающие колебания

в реальных условиях материальная точка, совершающая колебания, испытывает сопротивление движению, поэтому кроме восстанавливающей силы на нее действует сила сопротивления среды, направленная в сторону противоположную движению материальной точки (рис. 6).

 

Сопротивление воздуха при малых скоростях движения пропорционально первой степени скорости: . Выбрав начало координат в положении равновесия –т. О, запишем основное уравнение динамики в проекции на ось x: или . Отсюда получим

(16)

– это уравнение описывает движение точки под действием восстанавливающей силы с учетом сопротивления среды. Здесь обозначено , . Найдем корни характеристического уравнения , соответствующего уравнению (16):

. (17)

Если (случай малого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, и решение уравнения (16) имеет вид:

. (18)

В решении (18) обозначено: .

Взяв производную по времени от (18), и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С₁ и С₂.

Решение (18) можно записать в виде: . (19)

График функции (19) показан на рис. 7.

 

Из графика видно, что движение точки в этом случае носит колебательный характер. При этом максимальные отклонения точки от положения равновесия с течением времени убывают по экспоненте. Такие колебания называются затухающими. Функция (19) не является периодической, тем не менее, периодом колебаний в этом случае называют промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями точки от положения равновесия в одну сторону. Его можно найти по формуле

, (20)

где T – период соответствующих свободных колебаний. Из формулы (20) видно, что . Скорость убывания амплитуды колебаний характеризует коэффициент, называемый декрементом колебаний: . Этот коэффициент показывает, во сколько раз уменьшается максимальное отклонение точки от положения равновесия за один период.

 

13. Случай апериодического движения (n > k)

Если (случай большого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения (17) являются действительными и отрицательными. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:

 

. (21)

 

Взяв производную по времени от (21) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С₁ и С₂.

Сценарии развития событий в этом случае показаны на рис. 8.

 

 

Из графиков видно, что движение точки в этом случае носит не колебательный характер и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия: _.

При этом кривая – 1 соответствует случаю, когда ; кривая 2 соответствует случаю, когда ; кривая 3 соответствует случаю, когда . Во всех трех примерах принято, что x₀ > 0.

14. Случай апериодического движения (n = k)

Если (это также случай большого сопротивления среды), то корень характеристического уравнения (17) , то есть является кратным, действительным и отрицательным. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:

. (22)

Взяв производную по времени от (22) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С₁ и С₂. В этом случае, найдя предел по правилу Лопиталя, получим

.

Следовательно, и в этом случае движение точки носит неколебательный характер, и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия. Сценарии развития событий в этом случае такие же, как и на рис. 8.

 

Вынужденные колебания точки

Рассмотрим движение точки (рис. 9) под действием восстанавливающей и некоторой периодической силы: F = F₀∙ sin(ω t), сопротивление среды не учитываем.

 

 

Колебания точки под действием этих сил называются вынужденными. Уравнение движения точки в этом случае имеет вид:

Разделив на массу и обозначив , получим уравнение вынужденных колебаний точки без учета сопротивления среды:

(23)

Уравнение (23) является неоднородным. Его общее решение x = x₁+ x₂, где: - общее решение соответствующего однородного уравнения; x₂ – частное решение уравнения (23). Частное решение ищем в виде Подставив это решение в уравнение (23), найдем А амплитуду вынужденных колебаний:

 

.

Общее решение уравнения (23):

. (24)

 

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ можно найти из начальных условий:

при . Коэффициент - называется коэффициентом динамичности (рис. 10) и показывает, во сколько раз амплитуда

 

вынужденных колебаний больше статического смещения точки под действием силы F₀.

 

Резонанс

Резонансом называется явление, возникающее в случае, когда частота свободных колебаний – k, совпадает с частотой возмущающей силы – ω. В этом случае коэффициент динамичности – η = , и функция (24) уже не является решением уравнения (23), так как амплитуда вынужденных колебаний равна бесконечности. Уравнение движения точки в этом случае имеет вид (p = k = ω ):

(25)

Наибольший интерес представляет частное решение уравнения (25), соответствующее вынужденным колебаниям, поскольку свободные колебания быстро затухают, даже при наличии малого сопротивления среды. Частное решение уравнения (25) ищем в виде . Взяв от x₂ вторую производную по времени, найдем . подставив и в (25), получим:

.

Два последних слагаемых в левой части равенства взаимно уничтожаются. Тогда, приравняв коэффициенты при , находим . В результате частное решение уравнения (25), описывающее вынужденные колебания при резонансе, примет вид . График этой функции показан на рис. 11.

 

Из рисунка видно, что амплитуда колебаний точки при резонансе нарастает с течением времени. Поэтому если рабочая частота выше собственной частоты колебаний, то стараются достичь ее как можно быстрее, чтобы при переходе через резонансную частоту не успели развиться, слишком большие колебания.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: