Теорема об изменении количества движения точки

теорема об изменении количества движения точки векторная, ее можно записать в проекциях на оси координат:

;

;

.

Теорема об изменении момента количества движения точки

Моментом количества движения точки относительно т. О, называется вектор , равный векторному произведению радиус-вектора, проведенного

из т. О в рассматриваемую точку на вектор ее количества движения (рис.13).

.

Понятие момента количества движения точки вводится по аналогии c понятием момента силы:

,

т.е. модуль момента количества движения точки можно найти по формуле: , где h – плечо. Направление вектора определяется по правилу векторного произведения. Геометрически момент количества движения точки равен удвоенной площади ∆ ОАВ.

Теорема: Производная по времени от момента количества движения точки относительно центра О равна сумме моментов сил, действующих на неё, относительно того же центра.

. (27)

Доказательство: .

Но , а по теореме об изменении количества движения , тогда .

Учитывая, что векторное произведение двух параллельных векторов равно нулю: , а , получим:

,

что и требовалось доказать.

Теорема об изменении момента количества движения точки векторная, поэтому её можно записать в проекциях на оси координат:

; ; .

Элементарная работа силы. Работа силы

На конечном перемещении. Мощность

Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении (рис. 14) равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

A = F∙ s∙ cosα .

Если сила, действующая на точку, является переменной или её перемещение является криволинейным (рис. 15), то в этом случае вводится понятие элементарной работы силы dA, которой называется работа силы на бесконечно малом перемещении. Поскольку бесконечно малое перемещение можно считать прямолинейным, а силу на этом перемещении постоянной, то

. Соответственно элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения: . Если раскрыть скалярное произведение, то получим

. (28)

Учитывая, что направление вектора в пределе совпадает с направлением вектора , а , получим еще одну формулу: .

Работа силы на конечном перемещении М₀М₁ равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы:

.

Геометрически работа силы равна площади криволинейной трапеции (рис. 16).

Средней мощностью силы называется отношение работы силы к промежутку времени, за который она совершена: . Мощностью силы в данный момент называется отношение элементарной работы к бесконечно малому промежутку времени: , т.е. мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость. Работа измеряется в джоулях, а мощность в ваттах. 1 Дж = 1 Н∙ м. 1Вт = 1 Дж/с.

Работа силы тяжести

Пусть точка переместилась из положения М₀ в положение М₁, как показано на рис.17. Силу тяжести на этом перемещении считаем постоянной.

Это можно сделать, если перемещение происходит вблизи поверхности земли. Для определения работы силы тяжести воспользуемся формулой (28).

Из рис. 17 видно, что: F_x = F_y = 0, а F_z = - G, тогда

Окончательно

Работа силы тяжести тела равна произведению силы тяжести на высоту . при этом работа положительна, если тело опускается вниз, и отрицательна, если тело поднимается. Работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой перемещается точка, а зависит лишь от её начального и конечного положения. Работа силы тяжести на замкнутом перемещении равна нулю.

Работа силы упругости

Определим работу силы упругости на перемещении груза М из положения М₀ в положение М₁ (рис. 18). Силу упругости считаем пропорциональной деформации упругого элемента с жесткостью с, (Н/м). В этом случае силу упругости можно найти по формуле: F_упр= сx, где x – деформация упругого элемента в рассматриваемом положении, которая равна координате х груза М.

Для определения работы силы тяжести воспользуемся формулой (28).

.

Из рис.18 видно, что: F_x = -F_yпр = -сх, а F_у = F_z = 0, тогда