Работа силы упругости равна половине произведения жесткости упругого элемента на разность квадратов начальной и конечной деформации.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Определение: кинетической энергией точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости: . Пусть точка М перемещается из положения М₀ в положение М₁ (рис. 19) под действием системы сил .

 

 

Воспользуемся основным уравнением динамики в проекции на касательную: , или

.

Учитывая, что , получим

, или

. (29)

Но - элементарная работа силы F_k, а - кинетическая энергия точки. С учетом этого формула (29) примет вид:

или, разделив на dt

. (30)

Формула (30), это и есть теорема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии точки равна сумме мощностей сил, действующих на нее.

Проинтегрировав выражение (29) в пределах перемещения точки, получим теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

 

. (31)

 

Изменение кинетической энергии точки на некотором перемещении равно сумме работ сил, приложенных к ней, на том же перемещении.

Внешние и внутренние силы

Внутренними называются силы, действующие между точками, входящими в рассматриваемую систему. Они обозначаются .

Внешними называются силы, действующие между точками системы и телами не входящими в нее. Они обозначаются . Например, для системы, состоящей из стола и тела, лежащего на нем, внутренними являются сила давления тела на стол и сила реакции стола на тело. Внешними для данной системы тел являются силы тяжести тела и стола, а также сила реакции пола на стол.

Согласно закону равенства действия и противодействия сумма внутренних сил, а также сумма моментов внутренних сил системы относительно произвольного центра равны нулю:

(32)

Следует иметь в виду, что несмотря на свойства внутренних сил (32), система точек под их действием может и не находиться в равновесии, т.к. эти силы приложены к различным точкам системы.

 

Масса системы, центр масс, момент инерции системы

Точек относительно оси

Массой системы точек называется скалярная величина, равная сумме масс всех точек системы: .

Координаты центра масс системы (обозначается т. С) находятся по формулам, аналогичным формулам для определения координат центра тяжести:

, (33)

где m_k и – соответственно масса и радиус вектор точки с номером k; а – масса системы и радиус - вектор центра масс. Формула (33) векторная, координаты центра масс определяются по аналогичным формулам:

 

(33′ )

 

Моментом инерции системы относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений масс точек на квадрат расстояния от точек до оси (рис. 20):

. (34)

 

Момент инерции однородного стержня

Найдем момент инерции однородного стержня длиной 2l относительно оси z, проходящей через его центр масс (рис. 21).

 

Пусть γ – линейная плотность стержня (масса единицы его длины, кг/м). Выделим на расстоянии х от оси Сz элементарный отрезок длиной dx. Момент инерции этого элементарного отрезка относительно оси

Сz: .

Но , тогда . Проинтегрировав это выражение, получаем

.

Но γ ∙ 2l = m – масса стержня.

Окончательно момент инерции однородного стержня длиной 2l относительно центральной оси

.

 

Момент инерции однородного кольца

Найдем момент инерции однородного кольца относительно оси Сz, , проходящей через его центр масс (рис. 22).

Пусть γ – поверхностная плотность кольца (масса единицы его площади), кг/м². Выделим на расстоянии r от оси Сz элементарное кольцо толщиной dr. Момент инерции этого элементарного кольца относительно оси Сz: .

Но , тогда .

 

 

 

Проинтегрировав это выражение, получаем

 

Но – масса кольца.

Окончательно момент инерции однородного кольца относительно центральной оси

. (35)

Для однородного диска радиуса R (R₀=0) из (35) имеем: .

В случае, когда масса распределена по ободу, R₀ = R и .

 

Теорема Гюйгенса

Для системы точек, показанной на рис. 23, момент инерции относительно оси Оz можно найти по формуле (34).

Выберем ось Ox так, что бы она проходила через центр масс системы (т. С). Пусть расстояние между осями z и z ОС = d. Свяжем с т. С новую систему координат Сx₁y₁z₁. Очевидно, что координаты точек в системах Oxyz и Сx₁y₁z₁ связаны между собой соотношениями

x_k = x_1k+d, y_k = y_1k, z_k = z_1k, .

 

 

 

Тогда .

Но ; (см. (33′ )), . С учетом этого

. (36)

Формула (36) связывает моменты инерции относительно параллельных осей и выражает теорему Гюйгенса: момент инерции системы точек относительно произвольной оси, параллельной центральной, складывается из центрального момента инерции и произведения массы системы на квадрат расстояния между осями.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: