Количественные показатели безотказности.

 

Наиболее важные показатели надежности невосстанавливаемых объектов – показатели безотказности, к которым относятся:

– вероятность безотказной работы;

– плотность распределения отказов;

– интенсивность отказов;

– средняя наработка до отказа.

Показатели надежности представляются в двух формах (определениях):

– статистическая (выборочные оценки);

– вероятностная.

Статистические определения (выборочные оценки) показателей получаются по результатам испытаний на надежность.

Допустим, что в ходе испытаний какого-то числа однотипных объектов получено конечное число интересующего нас параметра – наработки до отказа. Полученные числа представляют собой выборку некоего объема из общей «генеральной совокупности», имеющей неограниченный объем данных о наработке до отказа объекта.

Количественные показатели, определенные для «генеральной совокупности», являются истинными (вероятностными) показателями, поскольку объективно характеризуют случайную величину – наработку до отказа.

Показатели, определенные для выборки, и, позволяющие сделать какие-то выводы о случайной величине, являются выборочными (статистическими) оценками. Очевидно, что при достаточно большом числе испытаний (большой выборке) оценки приближаются к вероятностным показателям.

Вероятностная форма представления показателей удобна при аналитических расчетах, а статистическая – при экспериментальном исследовании надежности.

Примем следующую схему испытаний для оценки надежности.

Пусть на испытания поставлено N одинаковых серийных объектов. Условия испытаний идентичны, а испытания каждого из объектов проводятся до его отказа.

Введем следующие обозначения:

T = {0, t₁, … t_N } = {t} – случайная величина наработки объекта до отказа;

N(t) – число объектов, работоспособных к моменту наработки t;

n(t) – число объектов, отказавших к моменту наработки t;

Δ n(t, t + Δ t) – число объектов, отказавших в интервале наработки [t, t + Δ t];

Δ t – длительность интервала наработки.

Вероятность безотказной работы (ВБР)

Статистическая оценка ВБР (эмпирическая функция надежности) определяется отношением числа N(t) объектов, безотказно проработавших до момента наработки t, к числу объектов, исправных к началу испытаний (t = 0) ‑ к общему числу объектов N.

(1)

Оценку ВБР можно рассматривать как показатель доли работоспособных объектов к моменту наработки t.

Поскольку N(t) = N - n(t), то ВБР:

(2)

где Q(t) = n(t)/ N – оценка вероятности отказа (ВО).

В статистическом определении оценка ВО представляет эмпирическую функцию распределения отказов.

Так как события, заключающиеся в наступлении или не наступлении отказа к моменту наработки t, являются противоположными, то:

 

(3)

 

Вполне очевидно, что ВБР является убывающей, а ВО – возрастающей функцией наработки. Действительно ‑ в момент начала испытаний t = 0 число работоспособных объектов равно общему их числу N(t) = N(0) = N, а число отказавших ‑ n(t) = n(0) = 0, поэтому , а .

При наработке t → ∞ все объекты, поставленные на испытания, откажут, т. е. N(∞ ) = 0, а n(∞ ) = N, поэтому , а .

Вероятностное определение ВБР

 

P(t) = P{T ≤ t} (4)

 

Таким образом, ВБР есть вероятность того, что случайная величина наработки до отказа T окажется не меньше некоторой заданной наработки t.

Очевидно, что ВО будет являться функцией распределения случайной величины T и представляет из себя вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:

 

Q(t) = P{T < t} (5)

 

Графики ВБР и ВО приведены на рис. 2.

В пределе, с ростом числа N (увеличение выборки) испытываемых объектов, P(t) и Q(t) сходятся по вероятности (приближаются по значениям) к P(t) и Q(t).

Сходимость по вероятности представляется следующим образом:

 

(6)

Рис. 2. Графики ВБР и ВО

 

Практический интерес представляет определение ВБР в интервале наработки [t, t + Δ t], при условии, что объект безотказно проработал до начала t интервала. Определим эту вероятность, используя теорему умножения вероятностей, и выделив следующие события:

A = {безотказная работа объекта до момента t};

B = {безотказная работа объекта в интервале Δ t};

C = A·B = {безотказная работа объекта до момента t + Δ t}.

Очевидно P(C) = P(A·B) = P(A)·P(B| A), поскольку события A и B будут зависимыми.

Условная вероятность P(B| A) представляет ВБР P(t, t + Δ t) в интервале [t, t + Δ t], поэтому:

 

P(B| A) = P(t, t + Δ t) = P(C)/ P(A) = P(t + Δ t)/ P(t) ( 7)

 

ВО в интервале наработки [t, t + Δ t], с учетом (7), равна:

 

Q(t, t + Δ t) = 1 - P(t, t + Δ t) = [P(t) - P(t + Δ t)] / P(t) ( 8)

Плотность распределения отказов (ПРО)

Статистическая оценка ПРО определяется отношением числа объектов n (t, t + Δ t), вышедших из строя в интервале наработки [t, t + Δ t] к произведению общего числа объектов N на длительность интервала наработки Δ t.

 

(9)

Поскольку Δ n ( t, t + Δ t ) = n ( t + Δ t ) - n(t), где n( t + Δ t ) – число объектов, отказавших к моменту наработки t + Δ t, то оценку ПРО можно представить:

 

(10)

 

где Q (t, t +Δ t) – оценка ВО в интервале наработки, т. е. приращение ВО за Δ t.

Оценка ПРО представляет «частоту» отказов, т.е. число отказов за единицу наработки, отнесенное к первоначальному числу объектов.

Вероятностное определение ПРО следует из (10) при стремлении интервала наработки Δ t → t₀ и увеличения объема выборки N → ∞:

 

(11)

 

ПРО по существу является плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины T наработки объекта до отказа.

Поскольку Q(t) является неубывающей функцией своего аргумента, то f(t)≥ 0.

Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 3.

 

Рис.3. Статистическая оценка ПРО

 

Как видно из рис. 3, ПРО f(t) характеризует частоту отказов (или приведенную ВО), с которой распределяются конкретные значения наработок всех N объектов (t₁ , …, t_N ), составляющие случайную величину наработки T до отказа объекта данного типа. Допустим, в результате испытаний установлено, что значение наработки t_i присуще наибольшему числу объектов. О чем свидетельствует максимальная величина f(t_i). Напротив, большая наработка t_j была зафиксирована только у нескольких объектов, поэтому и частота f(t_j) появления такой наработки на общем фоне будет малой.

Отложим на оси абсцисс некоторую наработку t и бесконечно малый интервал наработки шириной dt, примыкающий к t. Тогда вероятность попадания случайной величины наработки T на элементарный участок шириной dt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна:

 

( 12)

 

где f(t)dt – элемент ВО объекта в интервале [t, t + dt] (геометрически это площадь заштрихованного прямоугольника, опирающегося на отрезок dt). Аналогично вероятность попадания наработки T в интервал [t_k , t_m ] равна:

, (13)

что геометрически интерпретируется площадью под кривой f(t), опирающейся на участок [t_k , t_m ].

ВО и ВБР можно выразить в функции ПРО.

Поскольку Q(t) = P{T < t}, то используя выражение (13), получим:

(14)

расширение интервала слева до нуля вызвано тем, что T не может быть отрицательной. Т. к. P(t) = P{T t}, то:

(15)

Очевидно, что Q(t) представляет собой площадь под кривой f(t) слева от t, а P(t) – площадь под f(t) справа от t. Поскольку все, полученные при испытаниях значения наработок лежат под кривой f(t), то:

(16)

Интенсивность отказов (ИО)

Статистическая оценка ИО определяется

 

(17)

 

отношением числа объектов n(t, t + t), отказавших в интервале наработки [t, t + t] к произведению числа N(t) работоспособных объектов в момент t на длительность интервала наработки t.

Сравнивая (9) и (17) можно отметить, что ИО несколько полнее характеризует надежность объекта на момент наработки t, т. к. показывает частоту отказов, отнесенную к фактически работоспособному числу объектов на момент наработки t.

Вероятностное определение ИО получим, умножив и поделив правую часть выражения (17) на N:

С учетом (10), оценку ИО (t) можно представить:

 

откуда при стремлении и получаем:

 

(18)

 

Возможные виды изменения ИО (t) приведены на рис. 4.

Рис. 4. Виды изменения ИО

 

Уравнения связи показателей надежности.

 

1. Уравнение связи показателей надежности.

Используя выражение для интенсивности отказов , запишем:

dP(t) /dt = - (t)·P(t).

 

Разделяя переменные (умножив обе части на dt / P(t)), получим:

 

dP(t) / P(t) = - (t) dt.

 

Интегрируя от 0 до t и принимая во внимание, что при t = 0 ВБР объекта P(0) = 1, получаем:

откуда уравнение связи основных показателей надежности имеет вид:

(25)

Величина (t) dt – есть вероятность того, что элемент, безотказно проработавший в интервале наработки [0, t], откажет в интервале [t, t + dt].

Уравнение связи показывает, что все показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и (t) равноправны в том смысле, что зная один из них, можно определить другие.

123456Следующая ⇒

Поделиться: