Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение

 

При логарифмически нормальном распределении нормально распределенным является логарифм (lg t) случайной величины T, а не сама эта величина.

Логарифмически нормальное распределение во многом более точно, чем нормальное описывает наработку до отказа тех объектов, у которых отказ возникает вследствие усталости, например, подшипников качения, электронных ламп и пр.

Если величина lg t имеет нормальное распределение с параметрами: МО U и СКО V, то величина T считается логарифмически нормально распределенной с ПРО, описываемой:

Параметры U и V по результатам испытаний принимаются:

где U и V- оценки параметров U и V.

Показатели надежности можно рассчитать по приведенным в лекции 6 выражениям, пользуясь табулированными функциями f(x) и, соответственно, F(x) и Ф(x) для нормального распределения при x = (lg t - U) / V.

Графики изменения показателей надежности при логарифмически нормальном распределении приведены на рис. 21.

Числовые характеристики наработки до отказа:

- средняя наработка (МО наработки) до отказа:

 

- дисперсия наработки до отказа:

Рис. 21

Гамма–распределение

 

Случайная величина наработки до отказа T имеет гамма-распределение с параметрами (масштабный параметр) и (параметр формы), где , > 0, причем – целое число, если ее ПРО описывается выражением:

 

 

Гамма-распределение наиболее хорошо описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону.

При больших гамма-распределение сходится к нормальному распределению с параметрами: a = · , b = · ².

Графики изменения показателей надежности при гамма-распределении приведены на рис. 22.

Числовые характеристики наработки до отказа:

- средняя наработка (МО наработки) до отказа

T₀ = / ,

- дисперсия наработки до отказа

D = D{T} = / ².

Рис. 22

Помимо рассмотренных законов распределения, в качестве моделей надежности объектов могут использоваться и другие, например: распределение Вейбулла, хорошо описывающее наработку объектов до отказа по усталостным разрушениям, распределение Релея, распределение Эрланга и т. п.

 

5.Контрольные задания и примеры.

Задача 1. «Использование закономерностей случайных процессов изменения технического состояния оборудования при расчете показателей ТЭА»

1.1. Определить вероятность отказа детали при исходных данных, приведенных в табл. 1.1. Распределение наработки детали до отказа подчиняется нормальному закону распределения.

Таблица 1.1

Номер варианта	Интервал наработки	Математическое ожидание тl (тх) (среднее значение )	Среднее квадратическое отклонение
тыс. часов
	0 – 60
	60 – 120
	0 – 80
	80 – 125
	0 – 75
	75 – 140
	0 – 85
	70 – 130
	0 – 90
	90 – 150
	0-140
	50-160
	0-60
	80-150
	85-160
	0-100
	45-140
	20-160
	10-160
	35-170
	0-90
	25-180
	35-165
	55-190
	65-200

 

Пример 1-1

Определить вероятность первой замены (отказа) детали при работе оборудования одного класса с начала эксплуатации до наработки 70000 часов. Распределение наработки до первого отказа подчиняется нормальному закону с параметрами: часов., часов.

Решение

Используя понятие нормированной функции, определим нормированное отклонение:

.

Тогда P(x) = Ф(z) = Ф(– 0, 83).

Из таблицы приложения 1 находим Ф(–0, 83) 0, 20.

Ответ

Таким образом, примерно 20 % оборудования потребует замены деталей при наработке с начала эксплуатации до 70000 часов.

Пример 1-2

Определить вероятность отказа той же детали (ПРИМЕР 1–1) в интервале наработки от х₁ = 70000 часов до х₂ = 125000 часов.

Решение

z₁ = – 0, 83; z₂ = (125000 – 95000)/30000 = 1.

По таблице приложения 1 находим:

Ф(– 0, 83) = 0, 20; Ф(1) = 0, 84.

Таким образом, в интервале наработки от 70000 часов до 125000 часов вероятность отказа детали составляет Ф(z₂) – Ф(z₁) = 0, 64.

Ответ

Т.е. у 64 единиц оборудования в этом интервале наработки произойдёт отказ детали и потребуется её замена или ремонт.

1.2. На основе закономерностей процессов восстановления определить возможное число замен детали при наработке оборудования х (тыс. часов) и исходных данных, приведенных в табл. 1.2.

Рассмотреть два случая:

1) вероятность (пример 1-3),

2) вероятность (табл. 1.2, пример 1-4)

Таблица 1.2

№ варианта	наработка оборудования, х	Наработка до первой замены,	Среднее квадратическое отклонение,	Коэффициент восстановления ресурса,	Вероятность,
тыс. часов
				0, 5	0, 80
				0, 6	0, 85
				0, 7	0, 90
				0, 5	0, 95
				0, 6	0, 80
				0, 7	0, 85
				0, 5	0, 90
				0, 6	0, 95
				0, 7	0, 80
				0, 6	0, 90
				0, 5	д
				0, 7
				0, 6
				0, 7
				0, 5
				0, 5
				0, 6
				0, 5
				0, 7
				0, 6
				0, 5
				0, 7
				0, 7
				0, 6
				0, 5

 

Пример 1-3

Наработка до первой замены детали оборудования тыс. часов, среднее квадратическое отклонение тыс. часов, коэффициент восстановления ресурса .

Определить возможное число замен детали при наработке оборудования 150 тыс. часов.

 

Решение

Для расчётов используем формулу

,

последовательно определяя Q₁, Q₂, Q₃ и т.д., используя таблицу приложения 1:

;

;

Q₃(150) = 0, 995;

Q₄(150) = 0, 69;

Q₅(150) = 0, 136;

Q₆(150) = 0, 007.

Ввиду того, что Q₆ мало, последующие расчёты для Q₇ и других можно не производить.

Таким образом, к наработке 150 тыс. часов возможное число замен данной детали составит

.

Ответ

Если использовать формулу:

,

получим следующую оценку ведущей функции параметра потока отказов при наработке оборудования х = 150 тыс. часов:

.

Ответ

Таким образом, к наработке х = 150 тыс. часовв среднем по этой формуле возможно от 3, 3 до 4, 3 отказов детали.

 

Пример 1-4

Наработка до первой замены детали оборудования тыс. часов, среднее квадратическое отклонение тыс. часов, коэффициент восстановления ресурса . Определить с достоверностью необходимое число деталей на наработку оборудования 150 тыс. часов.

Решение

Так как условия задачи требуют обеспечения деталями с вероятностью 90 %, то необходимо определить верхнюю границу потребности в деталях за 150 тыс. часов наработки.

Прежде всего, определим нормированное отклонение при – из табл. П1 Приложения имеем . Верхняя граница потребности в деталях составит

.

Ответ

Следовательно, с вероятностью 90 % можно полагать, что за 150 тыс. часов наработки потребуется не более 5 деталей. Нижняя граница составит 3, 54 детали.

Таким образом, используя значения параметра потока отказов, можно определить конкретный расход деталей за любой заданный период и планировать работу системы снабжения.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: