Классическое нормальное распределение

 

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым.

Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:

(1)

где a и b – параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются:

,

где - оценки средней наработки и дисперсии.

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 14.

Выясним смысл параметров Т₀ и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, чтоТ₀ является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t - T₀) выражение (1) не меняется. При t = Т₀ ПРО достигает своего максимума:

Рис. 14

При сдвиге Т₀ влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т₀ является центром рассеивания случайной величины T, т. е. МО.

Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая ПРО f(t) тем выше и острее, чем меньше S.

Изменение графиков P(t) и (t) при различных СКО наработок (S₁ < S₂ < S₃) и Т₀ = const приведено на рис. 15.

 

Рис. 2

 

Используя полученные ранее соотношения между показателями надежности, можно было бы записать выражения для P(t); Q(t) и (t) по известному выражению (1) для f(t). Не надо обладать богатой фантазией, чтобы представить громоздкость этих интегральных выражений, поэтому для практического расчета показателей надежности вычисление интегралов заменим использованием таблиц.

С этой целью перейдем от случайной величины T к некоторой случайной величине , распределенной нормально с параметрами, соответственно, МО и СКО M{X} = 0 и S{X} = 1 и плотностью распределения:

 

Данное выражение описывает плотность так называемого нормированного нормального распределения (рис. 16).

Рис. 16

 

Функция распределения случайной величины X запишется:

а из симметрии кривой f(x) относительно МО M{X} = 0, следует, что f(‑ x) = f(x), откуда F(-x) = 1 - F(x) .

В справочной литературе приведены расчетные значения функций f(x) и F(x) для различных x = (t - Т₀)/S.

Показатели безотказности объекта через табличные значения f(x) и F(x) определяются по выражениям:

f(t) = f(x)/S;

Q(t) = F(x);

P(t) = 1 - F(x);

(t) = f(x)/S(1 - F(x)).

В практических расчетах часто вместо функции F(x) пользуются функцией Лапласа, представляющей распределение положительных значений случайной величины X в виде:

 

 

Очевидно, что F(x) связана с Ф(x) следующим образом:

 

 

Как и всякая функция распределения, функция (x) обладает свойствами:

, ,

 

В литературе могут встретиться и другие выражения для Ф(x), поэтому, какой записью Ф(x) пользоваться – это дело вкуса.

Показатели надежности объекта можно определить через Ф(x), используя выражения (5) – (8) и (10):

Q(t) = 0, 5 + Ф (x);

P(t) = 0, 5 - Ф (x);

(t) = f(x)/S(0, 5 - Ф (x)).

Чаще всего при оценке надежности объекта приходится решать прямую задачу – при заданных параметрах Т₀ и S нормально распределенной наработки до отказа определяется тот или иной показатель безотказности (например, ВБР) к интересующему значению наработки t.

Но в ходе проектных работ приходится решать и обратную задачу – определение наработки, требуемой по техническому заданию, ВБР объекта.

Для решения подобных задач используют квантили нормированного нормального распределения.

Квантиль – значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

Обозначим:

t_p– значение наработки, соответствующее ВБР P;

x_p – значение случайной величины X, соответствующее вероятности P.

Тогда из уравнения связи x и t:

при x = x_p; t = t_p, получаем

t_p= Т₀ + x_p S.

t_p, x_p – ненормированные и нормированные квантили нормального распределения, соответствующие вероятности P. Значения квантилей x_p приводятся в справочной литературе для P 0, 5.

При заданной вероятности P < 0, 5 используется соотношение:

x_p = - x_1-p.

Например, при P = 0, 3:

x_{0, 3} = - x_{1- 0, 3} = - x_{0, 7}

Вероятность попадания случайной величины наработки T в заданный интервал [t1, t₂] наработки определяется:

 

 

где x₁ = (t₁ - Т₀)/S, x₂ = (t₂ - Т₀)/S.

Отметим, что наработка до отказа всегда положительна, а кривая ПРО f(t), в общем случае, начинается от t = - и распространяется до t = .

Это не является существенным недостатком, если Т₀ > > S, поскольку по (14) нетрудно подсчитать, что вероятность попадания случайной величины T в интервал P{Т₀ - 3S < T < Т₀ + 3S} 1, 0 с точностью до 1%. А это означает, что все возможные значения (с погрешностью не выше 1%) нормально распределенной случайной величины с соотношением характеристик Т₀ > 3S, находятся на участке Т₀ ± 3S.

При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, ) и используется усеченное нормальное распределение.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: