Задача 2. « Расчет параметров распределения ресурса деталей оборудования по результатам инженерных наблюдений»

По результатам многочисленных исследований годовая производительность оборудования к концу срока его службы снижается в 1, 5 – 2 раза по сравнению с первоначальной, снижается безопасность конструкции оборудования. За срок службы оборудования расходы на его техническое обслуживание и ремонт превосходят первоначальную стоимость в 5 – 7 раз. Поэтому важным направлением, как при проектировании, так и при эксплуатации оборудования является точная и достоверная оценка основных показателей надёжности его деталей.

В настоящей задаче рассматриваются вопросы статистической обработки информации об отказах элементов оборудования, полученной по результатам натурных наблюдений группы оборудования одного класса, которое эксплуатируются в определённых условиях.

Исходные данные. В процессе эксплуатации оборудования заменялись детали при превышении допустимого износа. В процессе наблюдений было зафиксировано N = 100 первых замен деталей при наработках, приведённых в табл.2.1. Предполагается, что распределение ресурса деталей до первой замены подчиняется нормальному закону.

Таблица 2.1.

Значения ресурса l, тыс. часов

Вариант 1

 

Вариант 2

Вариант 3

 

Вариант 4

 

Вариант 5

 

Вариант 5

 

Вариант 5

 

Вариант 6

 

Вариант 7

 

Вариант 8

 

Вариант 9

 

Вариант 10

 

Вариант 11

 

Вариант 12

 

Вариант 13

Вариант 14

 

Вариант 15

 

Вариант 16

 

Вариант 17

 

Вариант 18

 

Вариант 19

 

Вариант 20

 

Цели

· Определить параметры и характеристики распределения ресурса (математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, плотность вероятности).

· Построить гистограмму и кривые эмпирической и теоретической плотности распределения вероятностей.

· Проверить гипотезу о виде закона распределения.

· Рассчитать вероятность безотказной работы детали.

· Построить кривую вероятности безотказной работы детали.

Методика решения

Для построения закона распределения случайной величины (здесь – ресурса l, тыс. часов) по результатам наблюдений (эксперимента) может быть рекомендована следующая процедура.

· Расставить в порядке возрастания значения случайной величины l.

· Построить интервальный вариационный ряд:

а) определяется оптимальный интервал h по формуле Стэрджеса

,

где – соответственно максимальное и минимальное значение ресурса; N – общее число наблюдений; если h – дробное число, то за величину интервала следует взять ближайшее целое число;

б) за начало первого интервала рекомендуется принимать величину ; начало второго интервала совпадает с концом первого интервала и равно ; начало третьего интервала совпадает с концом второго и равно ; построение интервалов продолжают до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет больше ;

в) сгруппировать результаты наблюдений. В интервал включаются данные, большие или равные нижней границе интервала и меньшие верхней границы. По каждому интервалу подсчитываются середина интервала и частота попадания отдельных значений , принадлежащих тому или иному интервалу. Все результаты представляются в виде табл. 2.2.

Таблица 2.2

Шкала интервалов и частота попадания в интервал

Номер интервала	Границы интервалов (тыс. часов)	Середины интервалов lr (тыс. часов)	Частота попадания в интервал ni

 

г) по данным табл. 2.2 строится гистограмма f_n(l) (рис.2.1). Для её построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают отрезки, изображающие интервал варьирования, и на этих отрезках, как на основании, строят прямоугольники с высотами, равными частотам соответствующего интервала. В результате получают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, которую и называют гистограммой.

· Определить параметры и характеристики закона распределения. Для нормального закона распределения плотность вероятности имеет вид

.

Рис. 2.1.

Статистические характеристики теоретического распределения оцениваются по результатам испытаний:

– математическое ожидание (для интервального вариационного ряда, табл.2.2)

,

где – середины интервалов, r – количество интервалов;

– среднеквадратическое отклонение (для интервального вариационного ряда, табл.2.2)

;

– значения эмпирической плотности распределения вероятностей по интервалам наработки (табл.2.3)

;

– нормированные и центрированные отклонения середины интервалов (табл.2.3)

;

– значения теоретической плотности распределения вероятностей (табл.2.3)

,

где – плотность вероятности нормального распределения (табл. П 2 Приложения).

Результаты расчёта представляются в табл. 2.3:

Таблица 2.3

Параметры распределения

 

По результатам табл. 2.3 строятся графики и , которые совмещаются с построенной ранее гистограммой (рис.2.1).

· Проверить согласие между эмпирическим и теоретическим (нормальным) распределениями по критерию Пирсона

,

где – эмпирические и теоретические частоты попадания случайной величины в i-й интервал соответственно; n = N.

Правило применения критерия сводится к следующему. Рассчитав значение и выбрав уровень значимости критерия , по таблицам –распределения (табл.П3 Приложения) определяют , где – число степеней свободы, r – количество интервалов, s – количество параметров распределения (для нормального распределения s = 2). Если > , то проверяемую гипотезу отвергают; если , то гипотезу принимают.

Необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов не менее 5 наблюдений. Если количество наблюдений в отдельных интервалах меньше пяти, интервалы объединяются.

Вероятность определяется следующим образом. Вероятность р₁ выражает вероятность того, что случайная величина Х, имеющая нормальный закон распределения, принимает значение, принадлежащее интервалу (l₁ – l₂), т.е.

,

где – функция Лапласа (табл. П4 Приложения). Аналогично вычисляются остальные р_i.

Для нахождения статистики составляется табл. 2.4. Далее делается заключение о согласии эмпирического и теоретического законов распределения.

Таблица 2.4

Определение статистики

№ п/п	Интервал после объединения	mi	pi	npi
Сумма

 

· Определить вероятность безотказной работы детали:

– значение среднего ресурса R при нормальном распределении численно равно математическому ожиданию:

R = m_l;

– вероятность безотказной работы детали по интервалам наработки (табл.2.2) рассчитывается по формуле

.

По результатам расчёта строится кривая вероятности безотказной работы детали P(l) в зависимости от её наработки l.

 

Пример 2-1

В процессе эксплуатации оборудования заменялись детали при превышении допустимого износа рабочих поверхностей. В результате наблюдений зафиксировано N = 66 первых замен деталей при наработках, приведённых в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Вариационный ряд значений ресурса l, тыс. часов ( значения расставлены по возрастанию)

66, 3	87, 7	96, 7	107, 2	112, 5	126, 4	132, 5	136, 7	138, 0	140, 9	151, 6
155, 0	156, 4	156, 9	157, 0	158, 0	158, 8	159, 4	164, 1	164, 5	168, 4	170, 2
172, 7	173, 9	180, 3	181, 0	182, 1	182, 7	187, 3	188, 2	188, 4	188, 7	189, 1
190, 1	190, 9	194, 5	197, 0	198, 5	200, 2	205, 7	206, 8	211, 3	211, 4	212, 1
213, 7	214, 0	214, 2	214, 6	219, 6	220, 8	221, 7	223, 7	226, 0	226, 5	229, 1
233, 1	233, 6	237, 6	238, 4	241, 7	241, 9	242, 7	246, 9	251, 1	268, 8	312, 5

 

Предполагая, что распределение ресурса деталей до первой замены подчиняется нормальному распределению, требуется:

· определить параметры распределения;

· проверить гипотезу о виде распределения;

· рассчитать плотность распределения, вероятность безотказной работы;

– по результатам расчетов построить гистограмму и кривые эмпирической и теоретической плотности распределения вероятностей и вероятности безотказной работы.

Решение

Построение интервального вариационного ряда. Оптимальный интервал h вычисляется по формуле Стэрджеса:

,

где l_max = 312, 5 тыс. часов, l_min = 66, 3 тыс. часов– соответственно максимальное и минимальное значение ресурса (табл. 2.5); N = 66 – общее число наблюдений. Тогда:

h = (312, 5 – 66, 3) / (1 + 3, 322 lg N) = 34, 9 тыс. часов.

Окончательно принимаем ближайшее целое число h = 35 тыс. часов.

За начало первого интервала принимаем величину

= 66, 3 – 35/2 = 48, 8 тыс. часов;

начало второго интервала совпадает с концом первого интервала и равно

= 48, 8 + 35 = 83, 8 тыс. часов;

далее: = 83, 8 + 35 = 118, 8 тыс. часов;

= 118, 8 + 35 = 153, 8 тыс. часов;

= 153, 8 + 35 = 188, 8 тыс. часов;

= 188, 8 + 35 = 223, 8 тыс. часов;

= 223, 8 + 35 = 258, 8 тыс. часов;

= 258, 8 + 35 = 293, 8 тыс. часов;

= 293, 8 + 35 = 328, 8 тыс. часов.

Шкала интервалов и группировка результатов наблюдений приведены в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Шкала интервалов и частота попадания в интервал

Номер интервала	Границы интервалов (тыс. часов)	Середины интервалов lr, (тыс. часов)	Частота попадания в интервал ni
	48, 8 – 83, 8 83, 8 – 118, 8 118, 8 – 153, 8 153, 8 – 188, 8 188, 8 – 223, 8 223, 8 – 258, 8 258, 8 – 293, 8 293, 8 – 328, 8	66, 3 101, 3 136, 3 171, 3 206, 3 241, 3 276, 3 311, 3

 

Определение характеристик нормального распределения. Плотность вероятности имеет вид

.

Статистические характеристики теоретического распределения оцениваем по результатам испытаний:

– математическое ожидание (для интервального вариационного ряда, табл. 2.6)

;

– среднеквадратическое отклонение (для интервального вариационного ряда)

;

– значения эмпирической плотности распределения вероятностей по интервалам наработки (табл. 2.7):

;

– нормированные и центрированные отклонения середины интервалов (табл. 2.7):

;

– значения теоретической плотности распределения вероятностей (табл.2.7):

,

где – плотность вероятности нормального распределения (табл. П 2 Приложения).

Таблица 2.7

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: