Результаты психометрии выпускников различных курсов

Курс психометрии А	Курс психометрии В	Курс психометрии С
710	712	727
690	697	732
715	700	691
720	705	692
695	722

Можно ли на основании полученных данных утверждать, что выпускники курсов А, В и С по подготовке к сдаче психометрического экзамена отличают­ся друг от друга своими результатами?

Мы уже знаем, что если результаты представлены в шкалах, допускающих ранжирование (шкала порядка и выше), то для сравнения двух независимых выборок используется тест Манна—Уитни. Сейчас в нашем распоряжении также данные, выраженные, как минимум, в шкале порядка, но вместо двух независимых выборок мы имеем три².

² Разумеется, в общем случае число независимых выборок может быть любым, большим

Как показали Крускал и Уоллис, идея проверки, лежащая в основе теста Манна—Уитни, может быть использована и в случае нескольких независимых выборок³.

³ Для сравнения нескольких независимых выборок чаще всего используется однофакторный дисперсионный анализ (One-way ANOVA). Поэтому тест Крускала-Уоллиса часто называют однофакторным дисперсионным анализом для рангов (One-way ANOVA by ranks)

По аналогии с тестом Манна—Уитни, все выборки объединяются в одну. Затем объединенные значения всех выборок ран­жируются, после чего отдельно для каждой из выборок суммируются ранги, соответствующие содержащимся в выборке значениям. Если между выборками имеются случайные различия, то сум­мы рангов для каждой из них не будут существен­ным образом отличаться друг от друга.

Мерой отличия сумм рангов выступает вели­чина Н, вычисляемая по следующей формуле:

где k — число выборок; n_j — объем каждой из выборок; N — объем объединен­ной выборки (N = ∑ n_j); R_j — сумма рангов для каждой из выборок.

Приступим к процедуре проверки.

Выберем уровень значимости α =0, 05 и сформулируем нулевую и альтерна­тивную гипотезы.

Н₀: Результаты психометрического экзамена у выпускников курсов А, В и С не отличаются друг от друга.

Н₁: Выпускники курсов А, В и С имеют различные результаты психометри­ческого экзамена (двусторонняя критическая область⁴).

Вернемся к таблице 7.7. Выпишем все оценки по психометрии в порядке возрастания и проранжируем их (табл. 7.8).

Таблица 7.8

Упорядоченные и проранжированные результаты психометрии

Оценка	690	691	692	695	697	700	705	710	712	715	720	722	727	732
Ранг	1	2	3	4	5	6	7'	8	9	10	11	12	13	14

Дополним таблицу 7.7 значениями рангов для каждой выборки и найдем их сумму. Получим модифицированную таблицу 7.9.

Приступим к вычислению Н для случая k = 3, n₁ = 5, n₂ = 5, n₃=4, N=14, R₁=34, R₂=39, R₃ =32.

⁴ Данный тест позволяет выявить различия между выборками, но не направление этих разли­чий. С его помощью нельзя определить, в какой из трех выборок наилучшие результаты. Для ответа на данный вопрос необходимо попарно сравнивать выборки между собой, например, с помощью теста Манна—Уитни.

 

Таблица 7.9

Результаты психометрии и их ранги

Для случая k =3, 2 ≤ n₁, n ₂, n₃ ≤ 5 существует специальная статистическая таблица для теста Крускала—Уоллиса, в которой найденное значение Н_эмпир сравнивается с критическим значением Н_{критич.}

В общем случае (при любых значениях k и N используется статистическая таблица критических значений для теста Х²с(k — 1) числом степеней свободы (табл. 2, Приложение 2). Если значение Х²_критич оказывается больше вычисленного значения Н_эмпир, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если значение Х²_критич оказывается меньше вычисленного значения Н_эмпир или равно ему,
нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная.          

Найдем по таблице 2 значение Х²критич для df = ( k —1) = (3 — 1) = 2 и α =0, 05: Х²критич = 5, 99. Поскольку это значение больше, чем Н_эмпир =0, 223, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Между результатами психометрического экзаме­на у выпускников курсов А, В и С нет различий.

В рассмотренном примере выборки не содержали повторяющихся (одина­ковых) значений. В том случае, если имеются повторяющиеся значения, для вычисления Н используется скорректированная формула, учитывающая факт наличия связанных рангов.       

Рассмотрим еще один пример применения теста Крускала—Уоллиса для случая связанных рангов.

Таблица 7.10

Возраст начала курения

Коренные израиль­тяне (евреи)	Израильтяне — бедуины	Иммигранты из б. СССР	Иммигранты из Эфиопии
10	7	9	13
12	6	7	10
11	8	12	11
12	10	11	14
10	11	6	12
13	9	13	11
13	12	10	13

Из курящих подростков, представляющих коренных израильтян-евреев, израильтян-бедуинов, иммигрантов из бывшего СССР и иммигрантов из Эфиопии были сформированы четыре независимые выборки. В таблице 7.10 приведены сведения о возрасте начала курения для каждой из выборок.

Можно ли утверждать, что подростки, принадлежащие к различным куль­турно-этническим группам, начинают курить в разном возрасте?

Поскольку алгоритм дальнейших действий нам уже известен, сразу присту­паем к использованию теста Крускала—Уоллиса.

Выберем уровень значимости α =0, 05 и сформулируем нулевую и альтерна­тивную гипотезы.

Н₀: Нет отличий в возрасте начала курения у израильских подростков — пред­ставителей различных этнокультурных групп.

Н₁: Израильские подростки — представители различных этнокультурных групп начинают курить в различном возрасте (двусторонняя критическая об­ласть).

Как и в предыдущем примере, объединим все выборки в одну, запишем содержащиеся в выборках значения в порядке возрастания и проранжируем их (табл. 7.11).

 

 

Таблица 7.11

⇐ Предыдущая22232425262728293031Следующая ⇒

Поделиться: