Время достижения результата для двух различных диет

Диета А Время достижения результата, недели	Диета В Время достижения результата, недели	Диета А Время достижения результата, недели	Диета В Время достижения результата, недели
14	23	37	31
20	16	14	15
38	25	32	23
35	30	21	26
19	27	18	17

Можно ли утверждать, что две диеты отличаются друг от друга по своеq эффективности?

Приведенный пример мало отличается по своей сути от ранее рассмотренных для двух независимых выборок. Как и в случае теста Манна—Уитни мы имеем две группы значений, представленных в шкале не ниже поряд­ковой.

Вальд и Волфовиц¹⁶ предложили еще один тест, который в случае малых выборок может оказаться более удобным, чем рассмотренные выше.

¹⁶ Якоб Волфовиц в 1942 г. впервые использовал термин «непараметрическая статистика».    

Если предположить, что результаты в двух выборках существенно отличаются друг от друга, то при их объединении и упорядочивании (например, порядке возрастания результатов) практически не будет «перемешивали результатов одной выборки с результатами другой. Вначале будет серия данных, относящихся к одной выборке, затем — серия данных, относящихся к другой выборке. В том случае, если выборки различаются незначительно, в упорядоченной последовательности результаты двух выборок будут следовать «вперемешку». Вальд и Волфовиц в своем тесте показали, до какой степени «перемешивание» двух выборок в упорядоченной последовательности может считаться случайным (если «перемешиваний» слишком мало, то это говорит о существовании значимых отличий между выборками).

Итак, выберем уровень значимости α = 0, 05 и сформулируем нулевую альтернативную гипотезы.

Н₀: С точки зрения времени достижения требуемого результата обе диеты
одинаковы по своей эффективности.      

Н₁: С точки зрения времени достижения требуемого результата эффективность обеих диет различна (двусторонняя критическая область¹⁷).

¹⁷ В альтернативной гипотезе не утверждается, что одна из диет (например, диета В) более эффективна, чем другая. Поэтому используется двусторонняя критическая область (утверждается различие диет по эффективности без указания направления этого различия).На основе таблицы 6.19 объединим две выборки, упорядочим приведенные в них результаты по возрастанию и укажем, к какой из двух диет, А или В, от­носится каждый результат. Получим таблицу 6.20.

 

Таблица 6.20

Упорядоченные результаты для объединенных выборок

14	14	15	16	17	18	19	20	21	23	23	25	26	27	30	31	32	35	37	38
А	А	В	В	В	А	А	А	А	В	В	В	В	В	В	В	А	А	А	А

           

В упорядоченной последовательности результатов двух выборок можно выделить 5 серий, говорящих о том, насколько обе выборки «перемешаны»:

АА, ВВВ, АААА, ВВВВВВВ, АААА.

Поскольку в данном тесте мы имеем дело с сериями из нескольких одина­ковых значений, то вновь используем таблицу 6 (Приложение 2) для теста последовательностей. Сравниваем полученное число серий (R=5) с приведен­ным в первой строчке значением для случая n₁= n₂= 10: R_критнч = 6 (в табли­це приведены критические значения, соответствующие уровню значимости       α =0.05).

Если эмпирическое значение R больше критического, нет оснований от­вергнуть нулевую гипотезу. Если эмпирическое значение R меньше критиче­ского или равно ему, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтерна­тивная¹⁸.

¹⁸ В данном случае мы вновь встречаемся с ситуацией, когда правило принятия решения после сравнения К_эмпир и К_критич носит «обратный» характер: нулевая гипотеза отвергается, когда К_эмпир меньше К_критич.

В нашем случае R_эмпир=5, R_критич =6. Поскольку R_эмпир < R_критич, нулевая ги­потеза отвергается. Диеты отличаются друг от друга по своей эффективности.

Как видно из табл. 6, она предназначена для выборок, содержащих не более 20 значений каждая. В случае выхода размеров выборок за эти пределы, необ­ходимо использовать общую расчетную формулу для теста Вальда—Волфовица. Если каждая выборка содержит более 30 значений, то вычисляется значение г и используется статистическая таблица для z -распределения (табл. 1, Прило­жение 2). Необходимые расчетные формулы приведены ниже.

При использовании теста Вальда—Волфовица зачастую возникает допол­нительная проблема, затрудняющая его применение.

Рассмотрим пример.

Группе детей (5 мальчиков и 5 девочек) был предложен набор из 10 голово­ломок (популярные задачи на перекладывание спичек). За отведенное время группа справилась с заданием следующим образом (приведено число решенных головоломок; табл. 6.21).

Таблица 6.21

Число решенных головоломок

Мальчики	Девочки
7	6
5	7
5	5
4	6
8	3

Если сравнить обе группы, то в них можно увидеть одинаковые (связанные) результаты. При объединении обеих групп и упорядочивании результатов ясно, в какой последовательности записывать повторяющиеся результат относящиеся к разным группам.

Здесь возможны несколько вариантов:

3	4	5	5	5	6	6	7	7	8
Д	М	М	М	Д	Д	Д	Д	М	М
3	4	5	5	5	6	6	7	7	8
Д	М	М	Д	М	Д	Д	Д	М	М
3	4	5	5	5	6	6	7	7	8
Д	М	Д	М	М	Д	Д	Д	М	М
3	4	5	5	5	6	6	7	7	8
Д	М	Д	М	М	Д	Д	М	Д	М
3	4	5	5	5	6	6	7	7	8
Д	М	Д	М	М	Д	Д	М	Д	М

Все варианты являются равноправными, но в первом из них 4 серии, следующих 6 серий и в двух последних 8 серий. Как известно, чем больше серий, тем сильнее «перемешаны» результаты, тем меньше шансов выявить различия между выборками. 

К сожалению, однозначного решения проблемы совпадающих результат не существует [Siegel, 1956]. В ряде случаев рекомендуется записать все возможные варианты упорядочивания с учетом совпадающих результатов, затем произвести статистическую проверку для каждого из них и вынести окончательное решение о судьбе нулевой гипотезы по результатам проверки [Runyon, 1977]. При этом различных вариантов записи упорядоченных результатов может быть до нескольких десятков (в нашем простом примере их уже 5)¹⁹.

¹⁹ Использование программы SPSS избавляет от этих трудностей.

 

ВКЛЮЧАЕМ КОМПЬЮТЕР...

В программе SPSS на основе сведений о размере выборок n₁и n₂ и числе серий R рассчитывается вероятность получения такого результата. Для этого использует следующая формула, меняющаяся в зависимости от того, имеем ли мы дело с четными или нечетными значениями:

Итоговая вероятность равна сумме «четных» и «нечетных» частей этой формулы. В нашем примере n₁= n₂= 10; R =5. Значение r меняется от 2 до 5. Если r =3, это означает r =(2х2) -1, то есть k: =2. Если r =5, это означает r =(2х3) -1, то есть k =3.

 

Подставим в формулу все необходимые данные.

 

Объединяем «четный» и «нечетный» результаты:

р(r≤ R) = 0, 00089 + 0, 00360 = 0, 00449 = 0, 004.

Кроме вычисленного значения вероятности (соответствующего односторонней критической области), которое сравнивается с выбранным уровнем значимости α, вычисляется значение z с учетом тех поправок, которые были рассмотрены в пара­графе 3.4:

Если каждая выборка содержит более 30 значений, то различия между вычисленным значением вероятности и значением вероятности, полученным на основе z-распределения (табл. 1, Приложение 2), становится несущественным. Перейдем к программе SPSS. В переменной «Группы» (groups) принадлежность участников эксперимента к первой или второй группе обозначена как 1 или 2. В пе­ременной «Время» (time) указано время (в неделях), в течение которого вес был снижен на 20 кг. Дальнейшая последовательность действий и конечный результат показаны на рис. 6.17—6.19.

Рис. 6.17. Выбор необходимой статистической процедуры

Рис. 6.18. Тест Вальда—Волфовица: необходимые действия и настройки.

Рис. 6.19. Тест Вальда—Волфовица: результат

 

⇐ Предыдущая20212223242526272829Следующая ⇒

Поделиться: