|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Информатика и вычислительная техника»Стр 1 из 10Следующая ⇒
Приходовский М.А. Математика Курс лекций Семестр 3 Учебное пособие Для специальности Информатика и вычислительная техника» Томск ТУСУР 2018
Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ в группах 437-1, 2, 3 осенью 2018 года.
(ДОК №) - доказательства формул или теорем, которые попадают в теооретические билеты.
Оглавление по номерам лекций
ЛЕКЦИЯ 1. 05.09.2018
Глава 1. Криволинейные и поверхностные интегралы, теория поля ЛЕКЦИЯ 2. 12.09.2018
Пример вычисления поверхностного интеграла 2 рода Векторное поле Решение. Вектор нормали
где D - проекция этой части параболоида на плоскость Оху, это круг радиуса 1. Перейдём к полярным координатам.
Далее рассмотрим взаимосвязь между двойным интегралом по плоской области и криволинейным интегралом по её границе (формула Грина). Вам давно известна формула Ньютона-Лейбница, выражающая взаимосвязь между интегралом по отрезку и значениями первообразной на его границе (граница состоит из 2 точек). Но подобные взаимосвязи есть также и и между плоской областью и её границей. Определение. Работа векторного поля по перемещению точки по замкнутой кривой называется циркуляцией. Обозначение: Для плоского векторного поля Работа силы по границе области равна двойному интегралу от Доказательство (ДОК 2). Спроецируем область на ось Ох, обозначим границы проекции: точки
Рассмотрим подробнее интеграл от функции
разность, которая внутри интеграла, является результатом применения формулы Ньютона-Лейбница по переменной запишем это в виде: Но если формула Ньютона-Лейбница применяется к
Аналогично можно спроецировать область D на ось Оу, допустим проекция займёт некоторый отрезок
Тогда
Сложим два полученных равенства и получается двойной интеграл
Пример вычисления работы по единичной окружности от поля
Способ 1. Параметрически: При этом
Способ 2.
Элементы теории поля Скалярное поле, или скалярная функция: Векторная функция, которая отображает Заметим, что градиент скалярной функции - это векторная функция:
То есть, по скалярному полю всегда можно построить некоторое векторное. Пример:
А вот обратная задача: если даны некоторые 3 скалярные функции, т.е. векторное поле, всегда ли они являются частными производными какой-то единой скалярной функции? Оказывается, нет. Определение. Если существует такая скалярная функция
Свойство. Если Доказательство: Потенциал определяется с точностью до константы (точно так же как и первообразная). Именно поэтому в физике важна именно разность потенциалов, а не сам потенциал. Примеры. Пример не потенциального поля.
Пример потенциального поля.
Далее нам надо научиться выяснять 2 вопроса: 1) выяснять, является ли поле потенциальным. 2) вычислять потенциал, если оно потенциально.
Теорема 1. Криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути Доказательство (ДОК 3).
Необходимость. Пусть интеграл зависит только от начальной и конечной точки, и не зависит от пути, соединяющего точки А, В. Возьмём какой-нибудь замкнутый контур, разобьём его какими-нибудь случайно взятыми точками. Докажем, что циркуляция равна 0.
Достаточность. Пусть для любого замкнутого контура
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Поле F потенциально Доказательство (ДОК 4). Необходимость. Если поле потенциально то а тогда в интеграле Достаточность. Если криволинейный интеграл для поля (P, Q, R) не зависит от пути, возьмём начальную точку, например начало координат (0, 0, 0). Введём некоторую скалярную функцию U(x, y, z) равную работе поля от (0, 0, 0) до точки А(x, y, z). То есть
А теперь мы докажем, что именно эта функция является потенциалом. Составим путь из дуги от 0 до А и дополнительного маленького горизонтального отрезка вдоль оси Ох. Интеграл от 0 до А равен U(А). Интеграл от 0 до А1 равен U(А1). Координаты точек: А (x, y, z) и А1 (x+∆ x, y, z). Тогда
Тогда Но точка с тоже стремится к х при ∆ x → 0. То есть Аналогично, рассматривая точку А1 с координатами А1 (x, y+∆ y, z) получили бы
Следствие. Поле F потенциально
ЛЕКЦИЯ 3. 19.09.2018 Итак, в конце прошлой лекции мы доказали, что поле потенциально Теорема 3. 1) Если поле 2) Если граница области D, в которой задано векторное поле, является односвязным множеством, и симметрична производная матрица Доказательство (ДОК 5). 1) Необходимость. Пусть поле потенциально. Тогда а следовательно, 2) Достаточность. Сначала подробнее о том, почему односвязной должна быть даже не сама область, а её граница. Это означает, что внутри плоской области нет пустот, то есть областей, не принадлежащих данному множеству, то есть каждый контур можно стянуть в точку. Например, кольцо само как плоское множество является односвязным множеством, любую пару точек можно соединить какой-либо кривой. Но его граница не является односвязной, а состоит из двух окружностей, и не всякую пару точек на границе можно соединить кривой, лежащей на границе. Например, если А, В на внешней и внутреннней окружности, то соединяющая кривая проходит не только по границе:
Здесь мы будем использовать формулу Грина, которую доказали ранее, а там фактически неявно это и предполагали при записи двойного интеграла, когда для Если производная матрица симметрична, то Но ведь тогда для любого замкнутого контура получается, что по формуле Грина, если двойной интеграл по его внутренней области 0, то и циркуляция по границе тоже 0:
а если для любого контура циркуляция 0, то поле потенциально, что следует из теорем 1 и 2, доказанных ранее. В 3-мерном случае требуется совпадение трёх пар производных, доказательство показано пока для 2-мерного случая, чтобы использовать формулу Грина. В 3-мерном случае будет использоваться формула Стокса, которую введём чуть позже.
Алгоритм нахождения потенциала. 1. Выяснить потенциальность поля, проверив симметричность производной матрицы (она сотоит из всех частных производных: от всех компонент векторного поля по всем переменным). 2. Найти потенциал, как скалярную функцию, равную криволинейному интегралу от фиксированной точки до произвольной. Как правило, в качестве «начальной» фиксированной точки рассматривают начало координат, если же в функциях присутствуют к примеру Путь от начальной точки до может быть по любой кривой, но практически лучше по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. Сначала от (0, 0) к (x, 0) а затем 2-е звено до точки (x, y).
Пример. Доказать, что поле Решение. Шаг 1. Сначала найдём производную матрицу, вычислив все частные производные по всем переменным:
Шаг 2. Найдём криволинейный интеграл от (0, 0) до
в обоих интегралах формально присутствуют оба слагаемых, но одно из них обнуляется, поэтому выглядит далее так, как будто распределилось по одному слагаемому в каждый интеграл.
Для данного конкретного примера получается
Итак, Проверка. Определение. Дивергенция векторного поля.
Определение. Ротор векторного поля. rot(F) = в других обозначениях это выглядит так: Таким образом, ротор - это некоторое новое векторное поле из 3 компонент, построенное с помощью исходного векторного поля. Определение. Если ротор = 0 то поле называется безвихревым.
Обратим внимание, что при определении дивергенции используются 3 частных производных, которые расположены в производной матрице по диагонали: дифференцируется i-я компонента по i-й переменной, а при определении ротора - только производные компонент по «чужим» номерам переменных, таких 6 из 9 в производной матрице:
Причём, 3-я координата ротора это та разность, которая уже использовалась в формуле Грина. Если поле плоское, а именно Пример, демонстрирующий геометрический смысл ротора. Рассмотрим векторное поле
т.е. если векторы в плоскости соответствуют вращению против часовой стрелки, то ротор направлен вверх.
Пусть две из трёх компонент векторного поля равны 0. Например,
То есть, фактически здесь информацию содержит только скалярная функция компоненты
Пусть теперь L - замкнутая пространственная кривая, S - поверхность, натянутая на эту кривую, т.е. кривая является краем поверхности, для наглядности представьте например, окружность и полусферу, то есть, S не обязано лежать в плоскости. Да впрочем, и сам замкнутый контур L тоже не обязан лежать в плоскости. Так, например, гнутое железное колесо является хоть и замкнутой, но не плоской кривой. Циркуляция по контуру L выражается через поверхностный интеграл по S, а именно, равна потоку ротора через S. Эта взаимосвязь выражена в формуле Стокса, которая является обобщением формулы Грина на пространственный случай.
Формула Стокса. Кратко рассмотрим идею доказательства формулы Стокса. Надо рассмотреть 3 проекции на координатные плоскости. При подробной записи формулы Стокса, если расшифровать подробно все 3 координаты ротора и кроме того, применить при этом формулу (*) выведенную чуть выше, получим: = Обратим внимание, что 3-е слагаемое в точности такое, как в формуле Грина. Если рассмотреть проекция векторного поля на координатную плоскость 0xy, а именно для поля
Из формулы Стокса следует, что и в 3-мерном случае потенциальность векторного поля эквивалентна симметричности производной матрицы:
Действительно, если 3 пары частных производных совпадают: Симметрична производная матрица
Пример. Доказать, что поле Решение. Сначала найдём матрицу из всех 9 частных производных.
Вычислим криволинейный интеграл по ломаной, соединяющей точки
Тогда Проверка:
Рассмотрим ещё одну разновидность формул, взаимосвязывающих интеграл по границе и внутренней части области. ЛЕКЦИЯ 4. 26.09.2018 Глава 2. Доказательство (ДОК 9). Обобщение любой функции на случай комплексного переменного можно проводить с помощью рядов. Поскольку существует любая степень мнимой единицы Тогда вычислим
Теперь для любого числа
Для сопряжённого числа можно вычислить аналогично:
(здесь воспользовались чётностью cos и нечётностью sin). Получается, сопряжение под знаком экспоненты приводит Доказательство (ДОК 10). Рассмотрим для действительного числа 1) 2)
Неограниченность синуса и косинуса в комплексной плоскости. Пример. Вычислим:
Логарифм комплексного числа. Обобщённый логарифм вводится с помощью формулы:
Доказательство (ДОК 11).
это означает Если вычислять логарифм положительного действительного числа, то Пример. Вычислить Здесь Точки в комплексной плоскости: Ни одного значения на действительной оси нет, и здесь, по сравнению со значениями логарифма положительного числа, сдвиг на половину деления: одна точка ушла вверх с действительной оси, а другая ещё не достигла этой оси. Чертёж: |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-18; Просмотров: 214; Нарушение авторского права страницы
, поверхность - эллиптический параболоид 
, где 
.
в данном случае 
.
= 
.
= 
= 
= 
.
или 
.
верна такая формула. Формула Грина: 
.
по этой плоской области.
. Сама граница области тогда условно подразделяется на две линии, снизу 
, а сверху 
. Чтобы движение по замкнутому контуру происходило против часовой стрелки, надо по 
двигаться слева направо, а по 
справа налево. 
по границе области. В соответствии со всем сказанным, он может быть записан так: 
. Но во втором интеграле можно изменить 
на 
, сменив знак.
и их можно объединить
= 
: 
.
, значит, 
. То есть: 
= 
а этой как раз и есть двойной интеграл по области D.
= 
.
. Левую и правую линии, составляющие замкнутый контур, обозначим 
и 
. Правая здесь будет 
(она дальше от оси Оу).
= 
= 
=
= 
= 
. 
.
без формулы Грина и по формуле Грина.
, 
, 
.
, 
.
= 
= 
= 
.
. Тогда 
= 
= 
где D - круг радиуса 1. Тогда интеграл от 1 это его площадь. 
= 
= 
.
называется векторным полем.
, 
, 
. Тогда 
.
, что выполняется 
, 
, 
, (то есть их общая первообразная), то векторное поле называется потенциальным, а функция 
называется потенциалом поля 
.
- тоже потенциал.
, 
, 
.
. Первообразная от 1 компоненты по 
это 
, однако первообразная по 
от второй компоненты совсем другая: 
, они не совпадают.
. Его потенциал: 
.
циркуляция по замкнутому контуру равна 0.
. Но так как объединение 2 частей в замкнутый контур это 
, то получается: 
.
. Если даны какие-то точки А, В, и какие-то две различные линии, соединяющие их, то эти две линии можно объединить в единый замкнутый контур.
, 
вычисляется в виде 
где A0 - некоторая начальная точка, как правило (0, 0, 0).
получится 
а по формуле полного дифференциала это 
но ведь первообразная от производной - это сама функция U, тогда работа поля 
= 
то есть зависит только от начальной и конечной точки.
.
= 
но в интеграле по отрезку АА1 меняется только x, при этом y, z константы, то есть dy = 0, dz = 0. 
для некоторой промежуточной точки с, где достигается среднее значение.
, следовательно, 
= 
.
. Итак, 
потенциально то симметрична производная матрица 
.
, то поле потенциально.
являются производными от какой-то общей функции 
, 
. Но смешанные частные производные 2-го порядка совпадают, значит, 
= 
.
.
рассматривался отрезок 
, то есть такая ситуация, как для кольца, не рассматривается, а только множества без внутренних пустот.
(в других обозначениях 
= 
). Тогда 
, и двойной интеграл по любой плоской области равен 0: 
.
= 0, 
или 
, то можно взять в качестве начальной точку (1, 1) а не (0, 0).
потенциально и найти потенциал. 
. Мы видим, что она симметрична. Значит, поле потенциально.
, соединив с помощью ломаной. Лучше всего даже обозначить конечную точку 
, чтобы не путать обозначение переменной, по которой ведётся интегрирование, и верхнего предела. Вычислив 
, затем мы учтём тот факт, что эта точка была произвольной, и сможем записать уже просто 
.
разбивается на сумму двух интегралов, по каждому участку ломаной, причём на каждом из них обнуляется один из двух дифференциалов: на горизонтальном отрезке меняется только 
, а тогда 
, на вертикальном меняется 
.
в первом фиксировано 
, а на втором участке переменная 
.
= 
= 
.
, тогда можно сказать, что 
.
, 
.
(сумма элементов главной диагонали производной матрицы). Это скалярная величина.
= 
.
, то отлична от 0 только лишь третья компонента, а именно та, которая была в формуле Грина.
.
= 
.
или 
или 
. Тогда все векторы направлены в одну сторону. Например, рассмотрим 
. Тогда векторное поле выглядит примерно так: 
, все векторы направлены по одной линии и отличаются лишь длиной. Тогда поток поля через поверхность можно вычислить через двойной интеграл 
, где D это проекция поверхности на плоскость 0xy, ведь в формуле: 
= 
равны 0. Аналогично, если есть только одна ненулевая компонента 
то получится 
, а если 
то 
. Но ведь любой вектор в пространстве можно представить в виде суммы трёх векторов, параллельных осям. Таким образом, и векторное поле можно разложить на сумму 3 компонент, а именно 
. Тогда поверхностный интеграл 2 рода можно вычислить с помощью суммы трёх двойных интегралов по трём проекциям на координатные плоскости соответственно, т.е. верна ещё и такая формула: 
= 
(*)
.
= 
. 
, доказательство в точности такое, как было для формулы Грина, что приведёт к слагаемому
. Если то же самое сделать в двух других координатных плоскостях, 0xz и 0yz, то получим два других слагаемых.
то ротор равен 0, а значит и поток ротора равен 0, но тогда по формуле Стокса и циркуляция равна 0, из чего следует потенциальность поля (чуть раньше это было выведено из формулы Грина для 2-мерного поля). Итак, эквивалентны такие 3 условия: 
потенциально и найти потенциал.
= 
. Матрица симметрична, это в то же самое время означает, что ротор равен 0. Поле потенциально.
и 
.
= 
= 
= 
= 
.
= 
.
= 
= 
, 
= 
.
, например 
, 
, 
, и т.д. то этот подход возможен. Вспомним разложение экспоненты в ряд Тейлора. 
=
теперь соберём в отдельные слагаемые все части, где нет 
но ведь в 1 и 2 скобках стоят разложения 
и 
. Итак, 
, что и требовалось доказать.
можно вычислить 
: 
= 
= 
= 
.
= 
= 
= 
= 
.
и покажем, что данные функции, а именно 
и 
, приведут именно к обычному синусу и косинусу действительного числа, т.е. они обобщают синус и косинус.
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
= 
= 
.
.
, 
так как синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного 
. Это равенство уже очевидно, так как это и есть тригонометрическая форма комплексного числа. 
, т.е. одна точка из бесконечного множества попадает на действительную ось, потому что исходный угол 
. Для любого числа, которое не является действительным положительным, 
, поэтому происходит сдвиг этой последовательности на часть деления, и ни одна точка не попадёт на действительную ось.
.
, 
. Поэтому 
= 
.
, 
, 
, и так далее.