ЛЕКЦИЯ 10. 07.11.2018 Вычеты (продолжение).

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 10Следующая ⇒

В случае, когда в точке полюс, в знаменателе далеко не всегда степенная функция, содержащая , возможно, что там произвольная функция. Чтобы вычислять вычет и в этом случае, рассмотрим такой факт.

Теорема 4. Если функция имеет вид , где имеет нуль 1 порядка в точке , а , то .

Доказательство (ДОК 32). По предыдущей теореме,

= , тогда = , но при этом , так что можно утверждать, что = = , а теперь в знаменателе как раз и есть производная от в точке . Итак, , что и требовалось доказать.

Пример. Найти .

Решение. = = .

Можно было решить и с помощью теоремы 4, = = = , но в этом случае надо было бы использовать 1-й замечательный предел.

Выведем формулу для полюса порядка m.

Теорема 5. Если - полюс порядка m, то верна формула вычисления вычета: = .

Доказательство (ДОК 33). Как и теорему 3, можно доказать двумя методами: с помощью ряда и с помощью интегральной формулы Коши. Здесь остановимся на доказательстве только по интегральной формуле Коши. Запишем обобщённую формулу Коши для какой-нибудь функции , т.к. обозначение у нас уже использовано, оно будет применяться ко всей функции, которая в интеграле.

. Но ведь мы можем сделать такую замену индекса: и переписать формулу в виде

или эквивалентно: . Пусть . Тогда

, а интегральная формула Коши запишется в виде: = . Правая часть этой формулы по определению как раз и равна вычету .

Пример. Найти вычет .

Решение. Здесь точка полюс порядка 3, конкретизируем формулу для этого порядка и этой точки:

= . Итак, = = = = = = 1.

Пример. Найти вычет .

Решение. Здесь точка полюс 1 порядка. Поэтому

= = = .

Пример. Найти вычет .

Решение. Здесь точка полюс 2 порядка. Поэтому

= = =

= = .

Пример. Найти вычет .

Решение. Здесь точка полюс 3 порядка. Поэтому

= = = = .

Определение вычета в . Пусть замкнутый контур, на контуре и вне его нет особых точек. Тогда интеграл называется вычетом функции в и обозначается .

Когда мы рассматривали конечную точку , то при вычислении интеграла по контуру обходили его против часовой стрелки, чтобы точка оставалась слева. А чтобы например, линия горизонта (бесконечность) оставалась с левой стороны при движении, нужно круг обходить наоборот, именно по часовой стрелке. Поэтому-то здесь изначально в определении знак минус.

Важно заметить, что при этом равен , т.е. минус первому коэффициенту ряда Лорана при разложении в окрестности (то есть в области ) с противоположным знаком.

Пример. Найти вычет .

Решение. Вспомним разложение косинуса в ряд Тейлора:

Здесь бесконечно-большая величина, а наоборот, бесконечно малая, так что переход получается корректный, ведь мы применяем формулу Тейлора как раз в окрестности нуля.

= = Теперь выберем коэффициент при и изменим его знак, получится . Ответ. .

Пример. Найти вычет .

Решение. Вспомним разложение экспоненты в ряд Тейлора:

Тогда =

= =

Коэффициент при равен , тогда ответ = .

Подробнее рассмотрим строение ряда Лорана в окрестности . Если для полюс порядка m в точке , то крайняя отрицательная степень равна . Тогда для ряда Лорана по , крайняя положительная степень равна . То есть ряд вида

. Если устранимая особая точка, то ряд имеет вид . Но в этом случае коэффициент может быть не равен 0. То есть, даже в случае, когда устранимая особая точка, то вычет может быть не равен 0.

Теорема 6. Если устранимая особая точка, то вычет равен:

Доказательство (ДОК 34). Если устранимая особая точка, то ряд имеет вид: . Чтобы коэффициент оказался крайним и его можно было выразить, продифференцируем 1 раз, и константа исчезнет: . Теперь домножим на , получим . Если перейти к пределу при , то все слагаемые устремятся к 0, и останется лишь одна константа , которую мы как раз и хотели выразить. Коэффициент с отрицательным знаком в точности равен вычету, поэтому полчили то, что и требовалось доказать:

Теорема 7. Если является полюсом порядка m, то вычет равен:

Доказательство (ДОК 35). Если полюс порядка m, то ряд имеет вид: . Чтобы коэффициент оказался крайним и его можно было выразить, надо продифференцировать столько раз, чтобы исчезли все положительные степени. Так, после 1-го дифференцирования:

исчезла только константа . После 2-го исчезнет , а там где была степень m, только после - го дифференцирования.

Все положительные степени исчезнут после дифференцирования раз. Но более подробно обратим внимание, что при этом происходит с тем коэффициентом, где есть . Там каждый раз степень в знаменателе увеличивается, и домножается на следующее отрицательное число. После m шагов получилось бы

где .

На последнем шаге справа от исчезает уже всё полностью, и получается

где и далее - тоже числовые коэффициенты, состоящие из произведений целых отрицательных чисел. Если домножить на , то получатся все отрицательные степени , и лишь одна константа, как раз там, где есть .