Глава 3. Особые точки и вычеты.

Нули аналитической функции.

Определение. Точка  называется нулём функции , если .

       Мы сначала изучим нули функции, для того, чтобы затем изучить более подробно типы точек разрыва. Если  является нулём для  то в этой же точке предел   равен .

       Вспомним, что в 1 семестре было ещё название «бесконечно-малая»  и «бесконечно-большая» функция в точке. Бесконечно-малые могли быть разных порядков. Есть и здесь аналогичное более подробное определение, различающее порядки бесконечно малых:

Определение. Точка  называется нулём порядка m функции , если  и функция представима в виде , где .

Кстати, здесь ещё можно напомнить, что для многочленов тоже  было известно понятие корня кратности m, и аналогия тут прямая.

 

Теорема 1. (О виде ряда Тейлора в окрестности нуля порядка m).

Если  нуль порядка m функции , то ряд Тейлора имеет вид

 т.е. начинается именно со степени m.

Доказательство (ДОК 27). Если , где , то ряд Тейлора функции  обязательно начинается с константы, а иначе не было бы . Тогда:  

 =   

что и приводит к виду

 

Теорема 2. (Об изолированности нулей).

Если  является нулём порядка m функции , то существует окрестность , не содержащая других нулей этой функции.

Доказательство (ДОК 28). Если  является нулём порядка m функции , то . Первый множитель обращается в 0 только в самой точке  и нигде больше. Второй в точке  отличен от 0. Но , а так как эта функция аналитическая и значит, непрерывная, то существует окрестность , в которой  т.е. не обращается в 0 ни в одной её точке. Итак, есть произведение двух множителей, где первый равен 0 только в , а второй нигде в окрестности . Таким образом, в  произведение обращается в 0 только в .

 

Следствие 1. Если существует последовательность нулей функции, сходящаяся к , то в некоторой окрестности .

 

ЛЕКЦИЯ 9. 31.10.2018

Особые точки

Определение. Точка называется правильной точкой функции , если  является аналитической в , и особой точкой, если она не является аналитической в .

Определение. Точка называется изолированной особой точкой, если в некоторой её окрестности  нет других особых точек.

 

Существует такая классификация особых точек в зависимости от предела .

 

 

Название	Устранимая особая точка	Полюс	Существенно-особая точка
При каком условии			не существует
Пример ( )	=	=	=

 

Теорема 1. Точка  является нулём функции  она является полюсом функции .

Доказательство. Точка  является нулём функции  функция  представима в виде , причём

. Это эквивалентно тому, что  =

, где , а предел знаменателя равен 0. Это означает, что .

В связи с этим, естественным образом возникает определение полюса порядка : точка  называется полюсом порядка m для функции , если для функции  она является нулём порядка m.

Теорема 2.

(О взаимосвязи типа особой точки и строения ряда Лорана).

1).  устранимая особая точка  остутствует главная часть ряда Лорана.

2)  полюс главная часть ряда Лорана содержит конечное количество слагаемых.

3)  существенно-особая точка  главная часть ряда Лорана содержит бесконечное количество слагаемых.

Доказательство (ДОК 29). Напомним строение ряда Лорана в окрестности точки  в общем случае:   

Пункт 1) Если присутствует хотя бы одна отрицательная степень, то  не будет конечным числом. Таким образом, если  то , причём .   

И обратно, если  то , потому что , ведь каждое слагаемое кроме  стремится к 0.

Пункт 2) Точка  является полюсом порядка m эквивалентно тому, что , где функция в числителе имеет ненулевой предел, поэтому её разложение в ряд имеет вид:

Тогда  =

 то есть крайняя отрицательная степень это именно число  если порядок полюса m.

В главной части может быть не ровно m слагаемых, а какие-то пропущены (коэффициенты 0) но крайнее левое имеет именно степень, равную .

И обратно, если крайняя левая степень , то можно представить в виде

т.е. , и тогда точка является полюсом.

Пункт 3) Если точка является существенно-особой, но при этом допустить, что главная часть ряда Лорана состоит из нулевого либо из конечного количества слагаемых, то согласно предыдущим пунктам, получали бы противоречие: точка или устранимая, или полюс, и не является существенно-особой. Таким образом, из того, что она существенно-особая, логически следует бесконечность главной части ряда. И обратно, если главная часть бесконечна, то невозможно допустить, что точка полюс или устранимая, иначе сразу получалось бы противоречевое условие, что главная часть конечна.

 

Пример. Найти все особые точки и указать их тип для .

Решение. Преобразуем знаменатель:   =

 = . В знаменателе 3 нуля, причём каждый 1-го порядка, а именно . Следовательно, для функции 3 полюса 1-го порядка: .

 

Пример. Указать тип всех особых точек для функции:

.

Решение.  В знаментателе нули 1-го, 2-го и 3-го порядка, а именно, точки 2, 3 и 4. Тогда для :  полюс 1-го порядка,

 полюс 2-го порядка,      полюс 3-го порядка.

Теорема 3. Если , причём точка  является нулём порядка m для функции , и нулём порядка n для функции , то при  точка  устранимая или правильная точка, а при  полюс порядка  для функции .

Доказательство (ДОК 30). Если  - нуль порядка m и n соответственно для числителя и знаменателя, то  =  =  где  для каждой из двух функций. Тогда можно обозначить  и в итоге , это и означает, что полюс порядка .

Пример. Определить тип особой точки  для функции .

Решение. Представим функцию в числителе в виде разложения в ряд Тейлора.

 =  =  в числителе нуль 1 порядка, а в знаменателе 4-го. Тогда точка  полюс 3 порядка.

 =  = . В числителе после сокращения осталась функция, имеющая ненулевой предел.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: