Криволинейные и поверхностные интегралы 2 рода

(от векторных функций).

Теперь мы рассмотрим другую ситуацию. В каждой точке пространства, и в частности, на кривой (или на поверхности), задана не скалярная, а векторная функция . Векторная функция состоит из 3 координатных скалярных функций и имеет вид:

= .

Чтобы получить в результате интегрирования некую скалярную величину, необходимо также при разбиении кривой (поверхности) на части, в каждой из частей заранее также каким-либо образом получить скалярную величину. Для кривой наиболее логично в каждой точке скалярно умножить на вектор, расположенный на касательной, а обозначаемый и равный . Другими словами, это хорошо известный из физики вектор скорости. Если для криволинейного интеграла 1 рода мы фактически использовали в интеграле его модуль , то теперь не будет вычисляться модуль, а будет производиться скалярное домножение на .

Определение. Пусть дана некоторая кривая в пространстве . Во всех точках пространства (и в частности, на кривой) задана ограниченная и непрерывная векторная функция . Введём разбиение кривой на n частей, возьмём на каждой из этих частей по одной точке . Рассмотрим интегральную сумму: . Предел таких сумм при называется криволинейным интегралом 2-го рода (от векторной функции).

Обозначается

Физический смысл: работа силы по перемещению точки по кривой.

Формулы вычисления:

Краткая формула для запоминания: .

Здесь видно скалярное произведение двух векторов, у каждого из которых по 3 координаты: и , который также можно записать в виде .

Более подробно для вычислений на практике:

1) Для параметрически заданной кривой в трёхмерном пространстве правая часть формулы пример такой длинный вид: На самом деле, ничего особо сложного в вычислениях нет, надо просто в функциях все переменные выразить через по тем формулам, которые задают параметрически кривую в пространстве. После этого всё сводится к определённому интегралу от одной переменной .

2) Для параметрически заданной кривой в плоскости: .

3) Для явно заданной кривой в плоскости отождествляется с , поэтому вместо будет 1.

Пример. Точка движется по полуокружности радиуса 1 в верхней полуплоскости, и на неё действует сила . Найти работу силы.

Решение. Так как все точки расположены на окружности, то задаём параметрически: , , .

При этом , .

= = = .

Поверхностные интегралы 2 рода определяются несколько иначе, чем криволинейные. Это связано с тем, что для поверхности, в отличие от кривой, направление касательной в любой точке не единственно: их бесконечно много и они образуют касательную плоскость. Напротив, нормаль соответствует некоторому единственному направлению, перпендикулярному касательной плоскости. Именно по этой причине приняли решение использовать нормаль для построения данных интегралов. Причём нормаль не единичную а такую, чтобы она по длине была равна площади соответствующего участка поверхности. Вспомним определитель, который мы использовали при выводе формулы площади поверхности:

= , но теперь мы не будем считать модуль этого вектора, а будем на него скалярно домножать вектор-функцию . Обозначим

Определение. Пусть дана некоторая поверхность в пространстве . Во всех точках пространства (и в частности, на поверхности) задана ограниченная и непрерывная векторная функция . Введём разбиение поверхности на n частей двумя семействами линий, возьмём на каждой из этих частей по одной точке . Рассмотрим интегральную сумму: . Предел таких сумм при называется поверхностным интегралом 2-го рода (от векторной функции).

Обозначается так: .

Физический смысл в данном случае не работа силы, а поток векторного поля через поверхность. Чем меньше угол между и нормалью, тем больше энергии каких-либо лучей проходит через участок поверхности, а к примеру, если направлен по касательной (и перпендикулярен нормали при этом), то лучи скользят вдоль поверхности. Это например, как вблизи полюса лучи солнца почти перпендикулярны нормали к земной поверхности, а вблизи экватора наоборот, близки к нормали.

Чтобы получить формулу вычисления поверхностного интеграла 2 рода, мы должны под интегралом скалярно умножать такие векторы: и = . Получаем =

Кратко: = .

Вывод этой формулы (ДОК 1).

Здесь - проекция поверхности на горизонтальную плоскость, т.е. область определения параметров . Также предполагается, что на практике при вычислении надо выразить все , которые присутствовали в координатных функциях , через , в соответствии с тем уравнением , которое задаёт поверхность.

ЛЕКЦИЯ 2. 12.09.2018

Пример вычисления поверхностного интеграла 2 рода

Векторное поле , поверхность - эллиптический параболоид , где .

Решение. Вектор нормали в данном случае .

= .

где D - проекция этой части параболоида на плоскость Оху, это круг радиуса 1. Перейдём к полярным координатам.

= = = .

Далее рассмотрим взаимосвязь между двойным интегралом по плоской области и криволинейным интегралом по её границе (формула Грина). Вам давно известна формула Ньютона-Лейбница, выражающая взаимосвязь между интегралом по отрезку и значениями первообразной на его границе (граница состоит из 2 точек). Но подобные взаимосвязи есть также и и между плоской областью и её границей.

Определение. Работа векторного поля по перемещению точки по замкнутой кривой называется циркуляцией.

Обозначение: или .

Для плоского векторного поля верна такая формула. Формула Грина: .

Работа силы по границе области равна двойному интегралу от по этой плоской области.

Доказательство (ДОК 2). Спроецируем область на ось Ох, обозначим границы проекции: точки . Сама граница области тогда условно подразделяется на две линии, снизу , а сверху . Чтобы движение по замкнутому контуру происходило против часовой стрелки, надо по двигаться слева направо, а по справа налево.

Рассмотрим подробнее интеграл от функции по границе области. В соответствии со всем сказанным, он может быть записан так: . Но во втором интеграле можно изменить на , сменив знак.

и их можно объединить

разность, которая внутри интеграла, является результатом применения формулы Ньютона-Лейбница по переменной :

запишем это в виде: .

Но если формула Ньютона-Лейбница применяется к , значит, это первообразная по , а она очевидно, является первообразной от своей производной . То есть:

= а этой как раз и есть двойной интеграл по области D.

= .

Аналогично можно спроецировать область D на ось Оу, допустим проекция займёт некоторый отрезок . Левую и правую линии, составляющие замкнутый контур, обозначим и . Правая здесь будет (она дальше от оси Оу).

Тогда = = =

= = .

Сложим два полученных равенства и получается двойной интеграл

Пример вычисления работы по единичной окружности от поля

без формулы Грина и по формуле Грина.

Способ 1. Параметрически: , , .

При этом , .

= = = .

Способ 2. . Тогда = = где D - круг радиуса 1. Тогда интеграл от 1 это его площадь. = = .

Элементы теории поля

Скалярное поле, или скалярная функция: .

Векторная функция, которая отображает называется векторным полем.

Заметим, что градиент скалярной функции - это векторная функция:

, ,

То есть, по скалярному полю всегда можно построить некоторое векторное.

Пример: . Тогда .

А вот обратная задача: если даны некоторые 3 скалярные функции, т.е. векторное поле, всегда ли они являются частными производными какой-то единой скалярной функции? Оказывается, нет.

Определение. Если существует такая скалярная функция , что выполняется , , , (то есть их общая первообразная), то векторное поле называется потенциальным, а функция называется потенциалом поля .

Свойство. Если - потенциал, то - тоже потенциал.

Доказательство: , , .

Потенциал определяется с точностью до константы (точно так же как и первообразная). Именно поэтому в физике важна именно разность потенциалов, а не сам потенциал.

Примеры.

Пример не потенциального поля.

. Первообразная от 1 компоненты по это , однако первообразная по от второй компоненты совсем другая:

, они не совпадают.

Пример потенциального поля.

. Его потенциал: .

Далее нам надо научиться выяснять 2 вопроса:

1) выяснять, является ли поле потенциальным.

2) вычислять потенциал, если оно потенциально.

Теорема 1. Криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути циркуляция по замкнутому контуру равна 0.

Доказательство (ДОК 3).

Необходимость. Пусть интеграл зависит только от начальной и конечной точки, и не зависит от пути, соединяющего точки А, В. Возьмём какой-нибудь замкнутый контур, разобьём его какими-нибудь случайно взятыми точками. Докажем, что циркуляция равна 0.

. Но так как объединение 2 частей в замкнутый контур это , то получается: .

Достаточность.

Пусть для любого замкнутого контура . Если даны какие-то точки А, В, и какие-то две различные линии, соединяющие их, то эти две линии можно объединить в единый замкнутый контур.

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Поле F потенциально криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути, причём тогда потенциал в любой точке вычисляется в виде где A₀ - некоторая начальная точка, как правило (0, 0, 0).

Доказательство (ДОК 4).

Необходимость. Если поле потенциально то , ,

а тогда в интеграле получится а по формуле полного дифференциала это но ведь первообразная от производной - это сама функция U, тогда работа поля в итоге равна = то есть зависит только от начальной и конечной точки.

Достаточность.

Если криволинейный интеграл для поля (P, Q, R) не зависит от пути, возьмём начальную точку, например начало координат (0, 0, 0). Введём некоторую скалярную функцию U(x, y, z) равную работе поля от (0, 0, 0) до точки А(x, y, z). То есть .

А теперь мы докажем, что именно эта функция является потенциалом.

Составим путь из дуги от 0 до А и дополнительного маленького горизонтального отрезка вдоль оси Ох. Интеграл от 0 до А равен U(А). Интеграл от 0 до А₁ равен U(А₁).

Координаты точек: А (x, y, z) и А₁(x+∆ x, y, z).

Тогда = но в интеграле по отрезку АА₁ меняется только x, при этом y, z константы, то есть dy = 0, dz = 0.

для некоторой промежуточной точки с, где достигается среднее значение.

Тогда , следовательно, = .

Но точка с тоже стремится к х при ∆ x → 0.

То есть . Итак, .

Аналогично, рассматривая точку А₁ с координатами А₁(x, y+∆ y, z) получили бы , а если то А₁(x, y, z+∆ z) то . Итак, поле потенциально и U(x, y, z), равная работе силы по перемещению от начальной точки до (x, y, z), является потенциалом.

Следствие. Поле F потенциально циркуляция по замкнутому контуру равна 0.

ЛЕКЦИЯ 3. 19.09.2018

Итак, в конце прошлой лекции мы доказали, что поле потенциально криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути. Этот критерий позволяет вычислить потенциал, если известно, что поле потенциально, однако практически ничем не поможет выяснить изначально вопрос о том, потенциально ли поле. Ведь кривых, соединяющих две точки А, В бесконечно много, и невозможно вычислить интегралы по всем этим кривым. Поэтому для проверки потенциальности необходим другой критерий.

Теорема 3. 1) Если поле потенциально то симметрична производная матрица .

2) Если граница области D, в которой задано векторное поле, является односвязным множеством, и симметрична производная матрица , то поле потенциально.

Доказательство (ДОК 5).

1) Необходимость. Пусть поле потенциально. Тогда являются производными от какой-то общей функции , т.е. , . тогда , . Но смешанные частные производные 2-го порядка совпадают, значит, = .

а следовательно, = .

2) Достаточность. Сначала подробнее о том, почему односвязной должна быть даже не сама область, а её граница. Это означает, что внутри плоской области нет пустот, то есть областей, не принадлежащих данному множеству, то есть каждый контур можно стянуть в точку. Например, кольцо само как плоское множество является односвязным множеством, любую пару точек можно соединить какой-либо кривой. Но его граница не является односвязной, а состоит из двух окружностей, и не всякую пару точек на границе можно соединить кривой, лежащей на границе. Например, если А, В на внешней и внутреннней окружности, то соединяющая кривая проходит не только по границе:

Здесь мы будем использовать формулу Грина, которую доказали ранее, а там фактически неявно это и предполагали при записи двойного интеграла, когда для рассматривался отрезок , то есть такая ситуация, как для кольца, не рассматривается, а только множества без внутренних пустот.

Если производная матрица симметрична, то (в других обозначениях = ). Тогда , и двойной интеграл по любой плоской области равен 0: .

Но ведь тогда для любого замкнутого контура получается, что по формуле Грина, если двойной интеграл по его внутренней области 0, то и циркуляция по границе тоже 0:

= 0,

а если для любого контура циркуляция 0, то поле потенциально, что следует из теорем 1 и 2, доказанных ранее.

В 3-мерном случае требуется совпадение трёх пар производных, доказательство показано пока для 2-мерного случая, чтобы использовать формулу Грина. В 3-мерном случае будет использоваться формула Стокса, которую введём чуть позже.

Алгоритм нахождения потенциала.

1. Выяснить потенциальность поля, проверив симметричность производной матрицы (она сотоит из всех частных производных: от всех компонент векторного поля по всем переменным).

2. Найти потенциал, как скалярную функцию, равную криволинейному интегралу от фиксированной точки до произвольной.

Как правило, в качестве «начальной» фиксированной точки рассматривают начало координат, если же в функциях присутствуют к примеру или , то можно взять в качестве начальной точку (1, 1) а не (0, 0).

Путь от начальной точки до может быть по любой кривой, но практически лучше по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. Сначала от (0, 0) к (x, 0) а затем 2-е звено до точки (x, y).

Пример. Доказать, что поле потенциально и найти потенциал.

Решение. Шаг 1. Сначала найдём производную матрицу, вычислив все частные производные по всем переменным:

= . Мы видим, что она симметрична. Значит, поле потенциально.

Шаг 2. Найдём криволинейный интеграл от (0, 0) до , соединив с помощью ломаной. Лучше всего даже обозначить конечную точку , чтобы не путать обозначение переменной, по которой ведётся интегрирование, и верхнего предела. Вычислив , затем мы учтём тот факт, что эта точка была произвольной, и сможем записать уже просто .

разбивается на сумму двух интегралов, по каждому участку ломаной, причём на каждом из них обнуляется один из двух дифференциалов: на горизонтальном отрезке меняется только , а тогда , на вертикальном меняется , тогда .

в обоих интегралах формально присутствуют оба слагаемых, но одно из них обнуляется, поэтому выглядит далее так, как будто распределилось по одному слагаемому в каждый интеграл.

в первом фиксировано , а на втором участке переменная уже достигла и далее не меняется, поэтому там .

Для данного конкретного примера получается

= = = .

Итак, , тогда можно сказать, что .

Проверка. , .

Определение. Дивергенция векторного поля.

(сумма элементов главной диагонали производной матрицы). Это скалярная величина.

Определение. Ротор векторного поля.

rot(F) = =

в других обозначениях это выглядит так: .

Таким образом, ротор - это некоторое новое векторное поле из 3 компонент, построенное с помощью исходного векторного поля.

Определение. Если ротор = 0 то поле называется безвихревым.

Обратим внимание, что при определении дивергенции используются 3 частных производных, которые расположены в производной матрице по диагонали: дифференцируется i-я компонента по i-й переменной, а при определении ротора - только производные компонент по «чужим» номерам переменных, таких 6 из 9 в производной матрице:

Причём, 3-я координата ротора это та разность, которая уже использовалась в формуле Грина. Если поле плоское, а именно , то отлична от 0 только лишь третья компонента, а именно та, которая была в формуле Грина.

Пример, демонстрирующий геометрический смысл ротора.

Рассмотрим векторное поле .

= .

т.е. если векторы в плоскости соответствуют вращению против часовой стрелки, то ротор направлен вверх.

Пусть две из трёх компонент векторного поля равны 0. Например, или или . Тогда все векторы направлены в одну сторону. Например, рассмотрим . Тогда векторное поле выглядит примерно так:

То есть, фактически здесь информацию содержит только скалярная функция , все векторы направлены по одной линии и отличаются лишь длиной. Тогда поток поля через поверхность можно вычислить через двойной интеграл , где D это проекция поверхности на плоскость 0xy, ведь в формуле: =

компоненты равны 0. Аналогично, если есть только одна ненулевая компонента то получится , а если то . Но ведь любой вектор в пространстве можно представить в виде суммы трёх векторов, параллельных осям. Таким образом, и векторное поле можно разложить на сумму 3 компонент, а именно . Тогда поверхностный интеграл 2 рода можно вычислить с помощью суммы трёх двойных интегралов по трём проекциям на координатные плоскости соответственно, т.е. верна ещё и такая формула:

= (*)

Пусть теперь L - замкнутая пространственная кривая, S - поверхность, натянутая на эту кривую, т.е. кривая является краем поверхности, для наглядности представьте например, окружность и полусферу, то есть, S не обязано лежать в плоскости. Да впрочем, и сам замкнутый контур L тоже не обязан лежать в плоскости. Так, например, гнутое железное колесо является хоть и замкнутой, но не плоской кривой. Циркуляция по контуру L выражается через поверхностный интеграл по S, а именно, равна потоку ротора через S. Эта взаимосвязь выражена в формуле Стокса, которая является обобщением формулы Грина на пространственный случай.

Формула Стокса. .

Кратко рассмотрим идею доказательства формулы Стокса. Надо рассмотреть 3 проекции на координатные плоскости. При подробной записи формулы Стокса, если расшифровать подробно все 3 координаты ротора и кроме того, применить при этом формулу (*) выведенную чуть выше, получим:

= .

Обратим внимание, что 3-е слагаемое в точности такое, как в формуле Грина. Если рассмотреть проекция векторного поля на координатную плоскость 0xy, а именно для поля , доказательство в точности такое, как было для формулы Грина, что приведёт к слагаемому

. Если то же самое сделать в двух других координатных плоскостях, 0xz и 0yz, то получим два других слагаемых.

Из формулы Стокса следует, что и в 3-мерном случае потенциальность векторного поля эквивалентна симметричности производной матрицы:

Действительно, если 3 пары частных производных совпадают: то ротор равен 0, а значит и поток ротора равен 0, но тогда по формуле Стокса и циркуляция равна 0, из чего следует потенциальность поля (чуть раньше это было выведено из формулы Грина для 2-мерного поля). Итак, эквивалентны такие 3 условия: