Теорема 8. (Основная теорема о вычетах).

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10

Если является аналитической на некотором замкнутом контуре и в односвязной области внутри него, за исключением конечного количества изолированных особых точек, то

Доказательство (ДОК 36). По интегральной теореме Коши (стр. 58), интеграл по контуру равен сумме интегралов по n контурам внутри него.

Тогда . Но каждое слагаемое в этой сумме - интеграл по контуру вокруг одной особой точки, делённый на

, а по определению это и есть вычет в данной точке .

Вот и получается, что интеграл равен такой величине: умножить на сумму вычетов.

Теорема 9. Если является аналитической во всей комплексной плоскости, за исключением конечного количества изолированных особых точек, то .

(Сумма вычетов во всех конечных особых точках + вычет в бесконечности равно 0).

Доказательство (ДОК 37). Если в плоскости конечное количество особых точек, то среди них есть самая далёкая от начала координат. Тогда их все можно включить в круг некоторого радиуса. Ограничим все n особых точек замкнутым контуром настолько большого радиуса , чтобы все они лежали внутри круга .

По определению вычета в , = ,

а по прошлой теореме 8, = .

Получается, что вычет в противоположен сумме всех вычетов в конечных особых точках. Складывая эти 2 равенства, мы как раз и получим .

В следующем примере будет видно разнообразие способов вычисление вычета в : и по доказанным формулам, и с помощью перехода к конечным точкам, и с помощью коэффициента из ряда Лорана.

Пример. Найти .

Способ 1. С помощью формулы из теоремы 6.

Так как то устранимая точка. Тогда можно вычислить по формуле: . Итак, =

= = =

= .

Обратите внимание, что по определению вычет это интеграл по ограниченному контуру, т.е. он не может получиться равным . При правильном вычислении производной, степени числителя и знаменателя уравниваются и предел получается конечный.

Способ 2. С помощью теоремы 9 (через конечную точку).

Заметим, что в знаменателе только , т.е. эта функция имеет всего лишь одну конечную особую точку. Тогда:

= . То есть надо найти вычет в точке 2 и сменить знак. = = = 2. Поэтому . Получается такой же ответ, как и прошлым методом.

Способ 3. С помощью ряда Лорана.

Разложим в ряд Лорана в области . При этом надо воспользоваться формулой суммы бесконечной убывающей прогрессии: . Так как (рассматриваем окрестность бесконечности, а не нуля) то надо, чтобы получалось , оно по модулю меньше 1. Но ни в коем случае не .

Итак, = = . Выберем коэффициент при -й степени. Он равен 2. Тогда вычет равен .

Файл по состоянию на 10.11.2018

Оставшиеся лекции:

ЛЕКЦИЯ 11. 14.11.2018 Приложения вычетов

ЛЕКЦИЯ 12. 21.11.2018 Вычеты и ряды

ЛЕКЦИЯ 13. 28.11.2018 Ряды Фурье

ЛЕКЦИЯ 14. 05.12.2018 Ряды Фурье

ЛЕКЦИЯ 15. 12.12.2018 Комплексная форма ряда Фурье

ЛЕКЦИЯ 16. 19.12.2018 - разбор тестов из рабочих программ.

ЛЕКЦИЯ 17. 26.12.2018 - обзорная лекция по доказательствам.

Приложение 1. Список доказательств в билеты.

(ДОК 1). Вывести формулу поверхностного интеграла 2 рода:

= .

(ДОК 2) Докажите формулу Грина: .

(ДОК 3) Доказать, что криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути циркуляция по замкнутому контуру равна 0.

(ДОК 4) Доказать, что поле F потенциально криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути.

(ДОК 5) Доказать, что поле F потенциально симметрична производная матрица.

(ДОК 6) Докажите формулу Остроградского-Гаусса: .

(ДОК 7) Докажите, что =0, = 0.

(ДОК 8).Докажите формулы ,

(ДОК 9). Докажите формулу Эйлера .

(ДОК 10) Докажите формулы: , .

(ДОК 11) Докажите формулу логарифма .

(ДОК 12). Доказать что линейное отображение в комплексной плоскости есть композиция растяжения, поворота и сдвига.

(ДОК 13). Докажите теорему: Функция дифференцируема и дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана: и .

(ДОК 14). Докажите, что дифференцируемая функция векторные поля и потенциальны.

(ДОК 15). Если функция является аналитической в некоторой области D, то для каждой из её частей (действительной и мнимой) в этой области выполняется уравнение Лапласа:

и .

(ДОК 16). Доказать, что условия Коши-Римана эквивалентны условию .

(ДОК 17). Докажите, что если замкнутый контур, внутри которого во всех точках является аналитической, то .

(ДОК 18). Докажите, что если является аналитической во всех точках некоторой области , граница которой односвязна, то интеграл от функции не зависит от пути, то есть имеет одно и то же значение для любой кривой , соединяющей пару точек .

(ДОК 19). Докажите, что функция является первообразной от функции .

(ДОК 20). Докажите, что для аналитической на кривой функции верна формула Ньютона-Лейбница: .

(ДОК 21). Доказать интегральную теорему Коши о том, что .

(ДОК 22). Доказать интегральную формулу Коши:

(ДОК 23). Доказать обобщённую интегральную формулу Коши: .

(ДОК 24). Доказать теорему о разложении функции в ряд Тейлора.

(ДОК 25). Доказать теорему о разложении функции в ряд Лорана.

(ДОК 26). Доказать, что не существует числовой системы нечётной размерности без делителей нуля.

(ДОК 27). Доказать теорему о виде ряда Тейлора в окрестности нуля порядка m.

(ДОК 28). Доказать теорему об изолированности нулей.

(ДОК 29). Теорема о взаимосвязи типа особой точки и строения ряда Лорана.

(ДОК 30). Доказать теорему: Если , причём точка является нулём порядка m для функции , и нулём порядка n для функции , то при точка устранимая или правильная точка, а при полюс порядка для функции .