Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода

(от скалярных функций).

 

В прошлом учебном году мы изучали формулы длины кривой и площади поверхности. Напомним их, чтобы ввести понятия криволинейных и поверхностных интегралов.

Формула длины явно заданной кривой: .

Для параметрически заданной кривой: .

В трёхмерном пространстве: .

Площадь поверхности.

Для явно заданной поверхности: . Коротко напомним идею вывода этой формулы.

Вектор  направлен по касательной в сечении, параллельном оси , то есть тангенс угла наклона для него это . Его координаты: = . Аналогично вектор  расположен в сечении вдоль оси , его координаты , если вынести дельта, то это . Площадь параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения, она равна модулю векторного произведения.

 = , модуль этого вектора: .

А в случае параметрического задания поверхности с помощью векторной функции  этот определитель приобрёл бы вид

.  Этот способ тоже употребляется на практике. Так, например, задать сферу можно с помощью двух параметров, аналогичных широте и долготе на земном шаре. Тогда в формуле площади поверхности под корнем - сумма квадратов трёх миноров, состоящих из частных производных, расположенных  в двух нижних строках определителя.

.

 

Теперь представим следующую ситуацию: проволока или поверхность имеют переменную плотность, и требуется найти массу. Если плотность единичная, то фактически найти длину кривой (или площадь поверхности) это и означает найти данную массу. Но если плотность переменная, то при мелком разбиении нужно на каждом участке надо умножать длину (площадь) соответствующего участка на  плотность. Именно такая задача привела к появлению понятий криволинейного и поверхностного интегралов 1-го рода (от скалярных функций).

 

Определение. Пусть дана некоторая кривая в пространстве . Во всех точках пространства (и в частности, на кривой) задана ограниченная и непрерывная скалярная функция . Введём разбиение кривой на n частей, длину каждой из них обозначим . Возьмём на каждой из этих частей по одной точке . Рассмотрим такую сумму:   (она называется интегральной суммой). Предел таких сумм при  называется криволинейным интегралом 1-го рода (от скалярной функции).

Примечание.  следует рассматривать при условии, что разбиение измельчается по всей кривой, т.е. .

Формулы вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.

Обозначение: .

1) Для параметрически заданной кривой в трёхмерном пространстве: .

2) Для параметрически заданной кривой в плоскости: .

На практике это значит, что необходимо все переменные  в составе функции  выразить через параметр , таким образом, функция станет зависеть только одной переменной, получим , и далее сводится к обычному определённому интегралу от .

3) Для явно заданной кривой в плоскости: .

Примечание. Если , то из этих получаются прежние формулы длины кривой, указанные в начале лекции.

 

Пример. Найти массу проволоки, расположенной в виде полуокружности в верхней полуплоскости, если плотность равна .

Решение. Так как все точки расположены на окружности, то лучше задать параметрически: , , причём .

Далее, , .

 =  =  =  = 2.

 

Определение. Пусть дана некоторая поверхность в пространстве . Во всех точках пространства (и в частности, на поверхности) задана ограниченная и непрерывная скалярная функция . Введём разбиение поверхности на n частей двумя семействами линий, площадь каждой части обозначим . Возьмём на каждой из этих частей по одной точке . Рассмотрим интегральную сумму: . Предел таких сумм при  называется поверхностным интегралом 1-го рода (от скалярной функции).

Обозначение

 

Формулы вычисления поверхностного интеграла 1-го рода.

Для явно заданной поверхности:  

.

Для параметрически заданной поверхности правая часть формулы была бы такого вида:

Мы на практике будем, как правило, стараться сводить к явному виду.

Ещё один физический смысл.  этот вовсе не обязательно плотность какой-то тонкой пластины. Допустим, что  - уровень радиации, заданный во всех точках пространства. То есть, эта функция может быть задана во всем пространстве, независимо от наличия или отсутствия какой-либо поверхности. Если затем расположить там поверхность, то поверхностный интеграл 1 рода будет показывать, какую суммарную дозу радиоактивности получит эта поверхность.

Пример. Дана функция . Пусть поверхность - верхняя полусфера радиуса 1. Найти поверхностный интеграл 1 рода.

Решение. Верхняя полусфера задаётся в явной форме так:

. Частные производные:

, .

 =

 , где  - проекция полусферы на горизонтальную плоскость, то есть круг радиуса 1, а поскольку круг, то выгодно будет перейти к полярным координатам.

 =  =  =

. К счастью, интеграл по  здесь даже не пришлось считать, т.к. интеграл по  выделяется отдельным множителем и он равен 0.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: