Формирование компетенций: ОК 1- ОК 9.

Наглядные пособия, оборудование: презентация по теме, проектор, компьютер; методические указания по практической работе, дидактические карточки с заданиями (4 варианта).

Ход работы.

1. Самостоятельно рассмотреть решение типовых примеров, используя основные теоретические сведения.

2.Выполнить расчеты по дидактическим карточкам-заданиям.

3.Составить отчет: оформить решение практических задач в тетради.

 

Приложение: дидактические карточки с заданиями 4 вариантов.

 

Основные теоретические сведения   

Основные понятия комбинаторики

Определение.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют

n-факториалом и пишут

.

Перестановки.

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Р _n, где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation- перестановка).

Число перестановок можно вычислить по формуле

 или с помощью факториала:

  0! =1 и 1! =1.

Размещения.

Определение. Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.

Размещения обозначаются символом , где m- число всех имеющихся элементов, n- число элементов в каждой комбинации.

При этом полагают, что n m.

Сочетания.

Определение. Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n-натуральные числа, причем n m).

 

Число сочетаний из m элементов по n обозначаются  .

В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n, деленному на число перестановок из n элементов:

Правило суммы.
Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b – n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор “a или b” можно

сделать m + n способами.

Правило произведения.
Если из некоторого множества А элемент a_i можно выбрать К_A способами, а элемент b_j из множества В – К_B способами, то совокупность (a_i; b_j ) можно образовать К_A* К_B способами. Правило верно и для совокупностей, состоящих из большего, чем два числа элементов.

 

Перестановки с повторением.
Иногда требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Рассмотрим такой вариант перестано­вок, который называется перестановками с повторениями.

Пусть имеется п₁ предметов 1-го типа, n₂ предмета 2-го, п_к пред­метов -го типа и при этом п₁+ п₂+...+ п_к = п. Количество разных перестановок предметов

Размещения с повторениями.

Пусть даны элементы а₁ , а₂ , ..., а_n (а)

Размещением с повторениями из n элементов по k элементов называется всякая упорядоченная последовательность из k элементов, членами которой являются данные элементы. В размещении с повторениями один и тот же элемент может находиться на нескольких различных местах.

Формула для числа размещений с повторениями.
 Каждый элемент может быть выбран n способами, поэтому:

= , где -обозначение размещений с повторениями.

 

Примеры типовых расчетов: выполняется всей группой вместе с преподавателем.

Пример 1. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

.

Пример 2. Сколько вариантов распределения на практику в три ресторана различного профиля можно составить для пяти студентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

.

Пример 3. Из группы в 25 человек нужно выделить четырех для работы официантами на банкете. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать  способами.

Находим по первой формуле

.

 

Приложение. Дидактические карточки-задания к практической работе.

 

Вариант 1

1.Вычислить

2.Упростить

3.Вычислить

4.Вычислить ;

5.Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола?

6.Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 8, 9 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?

7.Решить уравнение

Вариант 2

1.Вычислить

2.Упростить

3.Вычислить

4.Вычислить ;

5.Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?

6.Сколько флажков 3 разных цветов можно составить из 5 флажков разного цвета?

7.Решить уравнение

Вариант 3

1.Вычислить

2.Упростить

3.Вычислить

4.Вычислить ;

5. Сколькими способами можно выбрать 3х дежурных, если в классе 30 человек?

6.Решить уравнение

Вариант 4

1.Вычислить

2.Упростить

 

3.Вычислить

4.Вычислить ;

5. Сколько вариантов распределения 3х путевок в санаторий различного профиля можно составить для 5 претендентов?

6.Решить уравнение

Оформить отчет.

Практическое занятие №16

Решение задач на нахождение координат вектора, длины вектора

 

Цель: овладеть навыками использования правил действий над векторами в векторной и координатной формах.

 

Теоретическая часть

Любой направленный отрезок прямой называется вектором.

Вектор, заданный парой несовпадающих точек А и В, обозначается , причем в этой записи А-начало вектора, В-его конец.

 Векторы могут быть записаны с помощью строчных букв: …

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Например, является нулевым вектором.

Длиной вектора называется длина порождающего его отрезка, обозначается, говорят «модуль вектора». Длина нулевого вектора

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Так, на рис.1 коллинеарными являются следующие векторы:  Среди коллинеарных векторов есть такие, у которых направления совпадают. Эти векторы называются сонаправленными и пишут  (см. рис.1).

 Если направления векторов противоположно направлены, то их и называют противоположно направленными и пишут  (см. рис.1)

Два коллинеарных вектора называют равными, если они сонаправлены и имеют равные длины; другими словами, На рис.2

Действия над векторами

1. Суммой векторов называется такой вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с - с концом вектора , при условии, что начало вектора  перенесено в конец вектора (правило треугольника). На рис.3  На рис.4 (правило параллелограмма). Существует правило многоугольника.

Свойства суммы векторов:

· (переместительное свойство)

· +( ) (сочетательное свойство)

·

2. Разностью векторов  называют сумму вектора  Векторы называются противоположными. На рис.3

 

3. Произведением вектора на вещественное число k называется вектор , который имеет длину, равную , и коллинеарен  При этом если k .

На рис.3 .

Декартова система координат

Если задана прямоугольная система координат ХОУ, на осях ОХ и ОУ взяты единичные векторы  соответственно, то справедливо равенство  (см. рис.5).Докажите самостоятельно.

Числа x и y называются координатами вектора . На рис.5 .Объясните почему.

Если вектор  не проходит через начало координат (рис.6), то , т.е. для нахождения координат вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Пример1. Даны точки А (3; 2), В(-1; 5), С(0; 3). Найти координаты векторов .

Решение:

Действия над векторами, заданными своими координатами

Если векторы заданы в декартовой системе координат своими координатами, то:

1) при сложении двух и более числа векторов их одноименные координаты складываются, т.е. если .

2) при вычитании векторов их одноименные координаты вычитаются, т.е. если

3) при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число, т.е. если

Пример2. Даны векторы  Найти а)

Решение. Согласно приведенным правилам, получим:

а) б)

в)0, 4 г)-1/3

Ответ:

Длина вектора, расстояние между двумя точками на плоскости

Длина вектора, выходящего из начала координат (см. рис.5), равна квадратному корню из суммы квадратов его координат, т.е.

       (1)

Если вектор задан двумя точками    (2) По этой формуле можно найти расстояние между двумя точками, с заданными координатами (объясните почему).

Пример3. Найти длину вектора если А (5; 2), В (8; -2).

Решение. Применяя формулу (2), получим

Ответ:

 

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

   (3)

Если векторы заданы своими координатами , то скалярное произведение находят так:

        (4)

 

Пример 4  В равностороннем треугольнике АВС со стороной, равной 4, найти скалярное произведение векторов

Решение: так как углы в равностороннем треугольнике по 60⁰, то, используя формулу (3), получим

Ответ: 8.

Используя формулы (1), (3), (4), можно вывести формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

(5)

Пример 5 Найти угол А в треугольнике АВС, если А(6; 7), В(3; 3), С(1; -5).

Решение: Определим координаты векторов . Вычислим косинус угла между векторами по формуле (5):

соs

Задания для самостоятельного решения

1.Найти координаты векторов , если

2. Найти координаты векторов если

3. Даны точки А(3; -1); В(0; -5); С(-2; 1). Найти:

4. Даны точки А(4; 0), В(-1; 3), C(5; 7). Найти: .

5. Дан треугольник с вершинами F(7; 7), D(4; 3), C(3; 4).Найти его периметр.

6. Дан треугольник АВС, А(-4; 1), В(-2; 4), С(0; 1).Доказать, что данный треугольник

равнобедренный.

7. Диагонали квадрата АВСД пересекаются в точке О. Найди угол между векторами:

а)

8. Диагонали ромба АВСД пересекаются в точке О, и диагональ ВД равна стороне

ромба. Найди угол между векторами:

а)

9. Вычислите скалярное произведение векторов и определить вид угла между данными векторами.

10. Вычислите скалярное произведение векторов и определить вид угла, образованного между векторами .

11. Найти угол между векторами

12. Найти угол между векторами , если R(0; 3), O(6; -1), L(5; 0), P(9; 4).

 

Контрольные вопросы

1. Что называется координатами вектора?

2. Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?

3. Как умножить вектор, заданный своими координатами, на число?

4. Завершить равенство …

5. Чему равно скалярное произведение векторов

 

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: