Применение формул для доказательства тригонометрических тождеств

 

№ 1

Докажите справедливость равенства:

1) ;

;

3) ;

4) ;

5) ;

6) 2 ;

7) 1 ;

8) 1 ;

9) ;

10) .

 

№2

Вычислите:

1) ;

2) .

Ответ: 1) ; 2) .

 

 

Практическое занятие № 25

Выполнение заданий на применение формул приведения

 

Цели:

• Образовательные: вывести формулы приведения, обучить учащихся практическим приемам применения формул приведения для нахождения значений тригонометрических функций различных углов, отработать алгоритм применения формул приведения (предполагается, что по окончании урока учащиеся смогут применять алгоритм применения формул приведения для нахождения значений тригонометрических функций различных углов);

• Развивающие: формирование приемов анализа и синтеза, обобщения, развитие математической речи, обогащение ее новыми математическими терминами;

 

АЛГОРИТМ

1-ый шаг- определяем, меняется ли название функции:

 - если приведение осуществляется через углы вида П/2*k, где k – нечетное (П/2, 3П/2, 5П/2, …), то sin меняется на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg;

 - если приведение осуществляется через углы вида П/2*k, где k –четное (П, 2П, 3П, …), то не меняется;

2-ой шаг - определяем четверть, которой принадлежит угол в левой части равенства;

3-й шаг - определяем знак функции в левой части равенства и ставим его перед функцией в правой части.

 

Задание 1.

sin(п+α )= -sinα

cos(п/2-α )= -sinα

tg(3п/2+α )= -ctgα

ctg(2п-α )= -ctgα

 

Задание 2.

Укажите верные равенства:

cos(п-α ) = -cosα (+)

cos(3п/2- α ) = -sinα (+)

cos(3п/2 + α ) = -sinα (-)

cos(2п- α ) = cosα (+)

tg(п/2- α ) = ctgα (+)

tg(п/2+ α ) = ctпgα (-)

ctg(3п/2+ α ) = -tgα (+)

tg(3п/2- α ) = ctgα (+)

sin(90 + α ) = sinα (-)

sin(180+ α ) = sinα (-)

sin(180- α ) = sinα (+)

sin(270- α ) = -sinα (-)

 

Выразите через тригонометрические выражения с переменной α:

ctg(270+ α ) = -tg α

sin(3п+ α ) = -sin α

Задание 3. Решите примеры, используя алгоритм

 

Вариант 1

1)

2)

3)

4)

5)

 

Вариант 2

Вариант 3

 

 

Практическое занятие № 26

Выполнение действий с тригонометрическими выражениями с применением формул разности и суммы

 

Вычисление значений тригонометрических выражений

Найдите , если и .

Решение.
т.к. , то < 0;

.Ответ: -3.

1. Найдите , если и .

2. Найдите , если и .

Найдите , если и

Решение.
т.к. , то > 0;

, .Ответ: 5.

1. Найдите , если и .

2. Найдите , если и .

Найдите , если и .

 

Решение.
т.к. , то ;

, => .

Ответ: 1.

1. Найдите , если и

2. Найдите , если и .

Найдите , если и .

Решение.
т.к. , то ;

.Ответ: -1.

1. Найдите , если и .

2. Найдите , если и .

Найдите , если .

Решение.

Ответ: 22, 08.

1. Найдите , если .

2. Найдите , если .

 

Найдите , если .

 

Решение.

= Ответ: 4.

1. Найдите , если .

2. Найдите , если .

Найдите значение выражения , если .

Решение.

= .

Ответ: -28.

1. Найдите значение выражения , если .

2. Найдите значение выражения , если .

Найдите , если и .

 

Решение.

;

т.к. , то

; .

Ответ: 0, 6.

1. Найдите , если и .

2. Найдите , если и .

Найдите , если и .

Решение.
т.к. , то ;

= .

Ответ: -10.

1.Найдите , если и .

2. Найдите , если и .

Найдите , если .

Решение. Ответ: -2, 5.

1. Найдите , если .

2. Найдите , если .

 

Найдите , если .

 

Решение.

, .

Ответ: 7.

1. Найдите , если .

2. Найдите , если .

Найдите , если .

 

Решение.
Способ 1: . Тогда:

= .
Способ 2: поделим числитель и знаменатель дроби на . Тогда:

= .

Ответ: -9.

1. Найдите , если .

2. Найдите , если .

 

Найдите , если .

Решение.
Сократим дробь на :

.

Ответ: 8.

1. Найдите , если .

2. Найдите , если .

 

Найдите , если .

 

Решение.
Сократим дробь на :

.

Ответ: 2, 25.

1. Найдите , если .

2. Найдите , если .

 

Найдите значение выражения , если .

Решение.

= .

Ответ: 3.

1. Найдите значение выражения , если .

2. Найдите значение выражения , если .

Найдите значение выражения , если .

 

Решение.

=
.

Ответ: 4.

1. Найдите значение выражения , если .

2. Найдите значение выражения , если .

Найдите , если .

 

Решение. = .

Ответ: -7.

1.Найдите , если .

2. Найдите , если .

 

Преобразования числовых тригонометрических выражений

 

Найдите значение выражения .

 

Решение.

.Ответ: 6.

1. Найдите значение выражения:

2. Найдите значение выражения:

Найдите значение выражения .

 

Решение.

.Ответ: -24.

1. Найдите значение выражения

2. Найдите значение выражения

Найдите значение выражения .

 

Решение.

.Ответ: 5.

1. Найдите значение выражения

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

.Ответ: 36.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

.Ответ: 2.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

Ответ: -16.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

Ответ: -6.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

.

Ответ: 6.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

.Ответ: 18.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

.Ответ: -12.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

= .Ответ: -14.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

= .Ответ: -4.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

= .

Ответ: -5.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

= .

Ответ: 14.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

= .

Ответ: -5.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

= = Ответ: 12.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

 

Решение.

.Ответ: 6.

1. Найдите значение выражения

2. Найдите значение выражения

Найдите значение выражения .

 

Решение.

.

Ответ: 12.

Найдите значение выражения .

 

Решение.

Ответ: 10.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения

Найдите значение выражения .

 

Решение.

Ответ: 10.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения: .

 

Решение.

.Ответ: -3.

1. Найдите значение выражения: .

2. Найдите

 

 

Практическое занятие № 27

Выполнение действий с тригонометрическими выражениями, с применением формул тригонометрии

 

Основные формулы тригонометрии

Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.

Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы: , . Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Формулы сложения.

1. .

2. .

3. .

Формулы двойных и половинных углов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

Формулы преобразования суммы в произведение:

 

Формулы преобразования произведения в сумму:

· .

· .

· .

Формулы приведения:

φ	α
sin φ	- sin α	cos α	cos α	sin α	- sin α	- cos α	- cos α	- sin α	sin α
cos φ	cos α	sin α	- sin α	- cos α	- cos α	- sin α	sin α	cos α	cos α
tg φ	- tg α	ctg α	- ctg α	- tg α	tg α	ctg α	- ctg α	- tg α	tg α
ctg φ	- ctg α	tg α	- tg α	- ctg α	ctg α	tg α	- tg α	- ctg α	ctg α

 

Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.

Пример 1.Вычислить значение sin α, если cos α = 0, 3, α — угол в первой четверти.

Решение

Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции .Так как по условию задачи cosα = 0, 3, то cos2α = 0, 09. Значит, sin2α + 0, 09 = 1, sin2α = 1 – 0, 09 = 0, 91. Решая уравнение sin2α = 0, 91, получаем два случая ( ), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, .Ответ: .Пример 2.Вычислите значение tg α, если ctg α = 0, 2.РешениеВоспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α * ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0, 2, получаем, что tg α * 0, 2 = 1, откуда tg α = 5.Ответ: 5.Пример 3.Упростите выражения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Решение

Данные задания — на применение формул сложения.

1) . Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что .2) .3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда .4) .5) Применим формулу «тангенс суммы», получим .6) .

Ответ: .Пример 4.Вычислите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение

1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда .2) Так как период функции y = tg x равен π , получаем: .3) Представим 75º в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75º = 45º + 30º . Следовательно, . Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим: .4) . Окончательно получаем, что .5) Для вычисления значения cos 15º представим 15º как 15º = 45º - 30º (или 15º = 60º - 45º ). Тогда . Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что . Cледовательно, .

Ответ: .Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.

Пример 5.Известно, что sin α – cos α = 0, 3. Найти: 1) sin²α; 2) sin⁴α + cos⁴α; 3) sin⁶α + cos⁶α.Решение

1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что: sin2α - 2sinα cosα + cos2α = 0, 09.Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла: 1 - sin2α = 0, 09, откуда: sin2α = 1 - 0, 09 = 0, 91.2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.Для этого сумму sin⁴α + cos⁴α представим в специальном виде: sin⁴α + cos⁴α = (sin⁴α + 2sin²α cos²α + cos⁴α ) - 2sin²α cos²α = (sin²α + cos²α )2 - 1/2 α sin²2α = 1 - 1/2 * 0, 91 = 0, 545.

Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin⁶α + cos⁶α можно представить в виде суммы кубов.sin⁶α + cos⁶α = (sin²α )³ + (cos²α )³ = (sin²α + cos²α )(sin⁴α - sin²α cos²α + cos⁴α ) = 1 * (0, 545 – 1/4 * 0, 91) = 0, 3175.

Ответ:

1) 0, 91; 2) 0, 545; 3) 0, 3175.

Пример 6.Найти tg α, если

Решение

Проверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби): , следовательно, тогда: раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые: 3tg α + 4 = 5tg α - 10, 2tg α = 14, получаем, что tg α = 7.Ответ: 7.Пример 7.Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и

Решение

Как известно, . Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим: , то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α < 0.В приведенной выше формуле выберем знак «минус»: Ответ:

 

Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.

Пример 8.Найти значение выражения: .Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.

С целью сокращения дроби воспользуемся формулой «разность кубов» и получим: .Рассмотрим далее выражение . Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом: .Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения: . Поэтому: Тогда .Окончательно получаем: Ответ: 1.Пример 9.Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º .Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10º sin50º = 1/2 (cos40º - cos60º ) = 1/2 cos 40º - 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30º = 1/2, получаем:
Ответ: Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.

Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.

Пример 10.Упростить выражение: .Так как числитель заданной дроби имеет достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление : .Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю: .Следовательно, Ответ: Пример 11.Доказать тождество при Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.

Решение

В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α : .Вспомнив, что , получаем Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения: sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому ; при следовательно, Таким образом: Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части: Тогда, , что и требовалось доказать.

Пример 12.Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если .

Решение

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: