Решения иррациональных неравенств

Под иррациональным неравенством понимают неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня.

Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.

Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь исключена возможность проверки, в связи с этим необходимо стараться делать все преобразования равносильными.

При решении иррациональных неравенств нужно запомнить правило:

при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству;

если обе части неравенства возводят в чётную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться.

Иррациональное неравенство < g_(х) или ≤ g_(х) равносильно системе неравенств:

или

Иррациональное неравенство > g_(х) или ≥ g_(х) равносильно совокупности двух систем неравенств:
или

В связи с этим основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство 4.

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при котоҏ ыҳ она определена. В связи с этим неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство 4.

Решение. Область определения данного неравенства 5х-9≥ 0, х≥ 9/5.

Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 5х-9< 16, х< 5.

Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, получим 9/5≤ х< 5.

Ответ: 9/5≤ х< 5

Пример 3. Решить неравенство ≥ 7.

Решение. Область определения данного неравенства 3-х ≥ 0, х≤ 3.

Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 3-х≥ 49, -х ≥ 46, х ≤ -46.

Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, т.е. решение системы: . Имеем два неравенства с одинаковым знаком, вспомним: «меньше меньшего», итак .

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство < 3х.

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Найдем решения каждого из неравенств:

1) 6х + 3 ≥ 0, х≥ -0, 5.

2) 3х ≥ 0, х≥ 0.

3) 6х+3< (3х)², -9х²+6х+3< 0, 3х²-2х-1> 0, решаем квадратное уравнение, находим х₁=1, х₂=-1/3. Применим метод интервалов: х< -1/3, х> 1.

Запишем решения системы: Получаем х> 1.

Ответ: х> 1.

Задание для групповой и самостоятельной работы.

Решить неравенства.

1. > х-1,

2. > 3,

3. < 1,

4. ≤ 5,

5. ≤ 4,

6. ≤ -6,

7. > х-1,

8. < х,

9. 5 + ≤ 3,

10. - 2≥ х

11. < х-1

12. ≥ 6.

Контрольные вопросы.

1. Что такое арифметический корень п-й степени?

2. Свойство корней?

3. Какие уравнения называются иррациональными?

4. Какие существуют способы решения иррациональных уравнений?

5. Почему при возведении в четную степень необходимо делать проверку?

6. Когда иррациональное уравнение не имеет решений?

7. Какие неравенства называются иррациональными?

8. Как решаются иррациональные неравенства?

Практическое занятие № 44

Выполнение заданий на решение логарифмических уравнений и неравенств

Цель работы:

- научиться решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства.

Теоретическое обоснование

Логарифмические уравнения

Определение - Логарифмическим уравнением называется такое уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма).

При решении таких уравнений обе части уравнения представляют в виде логарифмов с одинаковым основанием. У равных логарифмов с равными основаниями логарифмируемые выражения равны. После решения такого уравнения необходимо выполнить проверку.

Пример 1 - Решить уравнение .

Решение.

По определению логарифма , то есть ,

или . Корнями данного квадратного уравнения являются числа -5 и 1. Следовательно, эти числа являются корнями логарифмического уравнения.

Ответ: -5; 1.

Пример 2 - Решить уравнение

Решение.

Это уравнение определено для тех значений х, при которых выполнены неравенства . Для этих х данное уравнение равносильно уравнению 2х +3 = х+1. Отсюда х = -2. Однако, число х = -2 не удовлетворяет неравенству х+1 > 0. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Пример 3 - Решить уравнение

Решение.

Этому уравнению удовлетворяют все числа, больше 0, и отличные от 1, при условии, что справедливо равенство , то есть -2х + 4 = 0, откуда х = 2.

Ответ: 2.

Логарифмические неравенства

Решение логарифмических неравенств основано на свойстве логарифмической функции: функция возрастает, если основание больше 1, и убывает, если 0 < а < 1.

Пример 4 - Решим неравенство Решение.

Число -2 равно . Поэтому данное неравенство можно переписать в виде

Логарифмическая функция с основанием определена и убывает на множестве положительных чисел. Следовательно, второму неравенству удовлетворяют такие числа х, для которых выполняется условие