Лабораторная работа 8.Нелинейная регрессия.

Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути и их моделирование линейными регрессиями не дает положительного результата. Так для описания зависимости спроса на некоторый товар от его цены наиболее целесообразно использовать логарифмическую модель. При анализе зависимостей издержек от объема выпуска наиболее обоснованной является полиномиальная модель. Широко используемая функция Кобба-Дугласа, является степенной функцией

У – объем выпуска.

К-затраты капитала.

L - затраты труда.

А, α, β – параметры.

В современной экономике применяются также достаточно часто обратные и экспоненциальные модели. Различают регрессии нелинейные по переменным и нелинейные по параметрам.

К регрессиям, нелинейным по переменным относят полиномы различных степеней.:

           (7.1)

, (7.2)

равносторонняя гипербола , (7.3)   

функции вида    (7.4)

Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменной. Так в регрессии (7.1) сделаем замену х=х₁, х²=х₂ и получим двухфакторную линейную регрессию.

В уравнении (7.3) замена переменной имеет вид: , а в (7.4) - .
Приведем некоторые примеры использования уравнений (7.1-7.4) в экономике:

1. Полином третьей степени уравнения (7.2) часто моделирует зависимость общих издержек У от объема выпуска Х. график имеет вид:

2. Полином второй степени (уравнение (7.1)) парабола может описать зависимость между объемом выпуска Х и средними (либо предельными) издержками У

3. Гипербола (7.3) (обратная модель) применяется в тех случаях, когда неограниченное увеличение объясняющей переменной Х асимптотически приближает зависимую переменную У к некоторому пределу. Если а и в - оценки параметров гиперболы соответственно, то в зависимости знаков а и в возможны следующие ситуации:

                 рис.7.1                                   рис.7.2                                      рис.7.3

График на рисунке7.1 может отражать зависимость между объемом выпуска Х и средними фиксированными издержками У. график на рисунке 7.2 может описывать зависимость между доходом Х и спросом на блага У. Такие функции называются функциями Тронквиста. Важным приложением графика на рисунке 3 является кривая Филипса, отражающая зависимость между уровнем безработицы Х (%) и процентным изменением заработной платы У.

4. Уравнения с квадратными корнями использовались в исследовании урожайности и трудоемкости с/х производства.

Пример 1: На основании информации о норме безработицы и темпах инфляции построить:

1. диаграмму рассеяния.

2. уравнение регрессии, описывающее зависимость темпов инфляции от нормы безработицы.

№ наблюдения, i	Темпы инфляции, уi	Норма безработицы, хi	zi
1 2 3 4 5 6 7 8	1, 1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 7 2, 9 4, 2 5, 4	6, 5 5, 4 5, 5 5, 0 4, 4 3, 7 3, 5 3, 4	0, 154 0, 185 0, 182 0, 2 0, 227 0, 270 0, 286 0, 294

 

Строим диаграмму рассеяния:

Из диаграммы рассеяния видно, что зависимость можно описать гиперболой . Сделаем замену переменных  и уравнение регрессии примет вид:

№ наблюдения, i	Темпы инфляции, уi	Норма безработицы, хi
1 2 3 4 5 6 7 8	1, 1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 7 2, 9 4, 2 5, 4	6, 5 5, 4 5, 5 5, 0 4, 4 3, 7 3, 5 3, 4

 

Обратимся в Excel к программе регрессия и введем данные z_i, , получим:

Далее выполним построение модели регрессии по аналогии с работой 1.

3. К нелинейным по параметрам регрессиям относятся:

степенная: ,                  

показательная       ,           

экспоненциальную .   

Нелинейные по параметрам регрессии сводятся к линейным путем логарифмирования.

 

 

Для нахождения оценок соответствующих коэффициентов выборочных регрессии используется МНК при условии, что распределен нормально.

Пример 2:

В таблице  приведены данные о расходах на питание и доходах 5 групп населения. Построить степенную регрессию, описывающую зависимость расходов на питание У от доходов населения Х.

 

 

№	Доходы, х	Расходы, у
1 2 3 4 5	2 6 10 14 18	1 2 4 11 12

 

Степенная регрессия имеет вид:

№	Доходы, х	Расходы, у
1 2 3 4 5	2 6 10 14 18	1 2 4 11 12	1, 69 1, 79 2, 3 2, 6 2, 9	0 0, 69 1, 39 2, 4 2, 48

 

 

Получим линейное уравнение. Обратимся к программе «Регрессия», введем данные столбцов v и z, получим:

        

Выполним обратные преобразования (пропотенцируем полученное уравнение):

Уравнение нелинейной регрессии также как и линейной дополняются показателями корреляции и детерминации. Для оценки тесноты связи между переменными рассчитывается индекс корреляции:

         

Индекс корреляции (R) меняется от 0 до 1. чем ближе R к 1, тем сильнее нелинейная связь между переменными. Величина

         

используется для оценки качества уравнения регрессии. Для проверки значимости индекса детерминации используется F-статистика

n – объем выборки

m – число параметров при независимых переменных.

Так для параболы m=2, а для степенной функции m=1

Выполним построение точечной диаграммы и добавим на нее линию тренда, установив флажок Показывать уравнение на диаграмме и вывести R²

 

Изменим параметры тренда на экспоненциальный

 

Коэффициент детерминации увеличился

 

 

Самостоятельно выполните анализ.

№	Годовой товарооборот (млн.руб)	Торговая площадь (тыс кв.м)
1	26, 76	0, 24
2	25, 09	0, 41
3	28, 95	0, 55
4	34, 08	0, 72
5	46, 29	0, 92
6	53, 51	1, 06
7	66, 01	1, 15
8	75, 05	1, 21
9	91, 13	1, 31
10	91, 26	1, 32
11	107, 84	1, 41
12	119, 55	1, 49

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: