Математическая модель электрически управляемой антенной решетки

Следующим этапом после уяснения структуры ААР на функциональном уровне и выбора формы представления сигналов, помех, шумов и других временных процессов должно стать формульное описание свойств функциональных узлов и протекающих в них процессов. Это называется построением математической модели. В первую очередь это касается ЭУАР, которая является объектом управления, и без знания ее свойств и характеристик невозможно спроектировать блок адаптации*. Формулы, которые предстоит записать, достаточно просты.

Пусть на АР из N элементов воздействуют M статистически независимых источников мешающих сигналов. Совокупность принятых помеховых сигналов  связана с индивидуальным ДН f_n(θ), с угловыми координатами  источников помех и их интенсивностями  очевидным образом:

,                      (3.6)

где  − комплексная огибающая т-го мешающего сигнала, принимаемая элементом n,  − то же при расположении элемента в начале системы координат и источнике помехи в направлении максимума ДН f_n(θ). Здесь подчеркнуто то обстоятельство, что комплексные амплитуды всех сигналов изменяются в темпе, сопоставимом с интервалом корреляции: время обозначено как τ.

В подавляющем большинстве случаев элементы АР одинаковы (или рупоры, или щели, или вибраторы, или спирали и т.д.), хотя могут быть разно ориентированы, как, например, в кольцевых АР. Поэтому, почти не теряя общности рассуждений, будем считать одинаковыми не индивидуальные ДН элементов АР, а их коэффициенты усиления G_n = G₀. Следовательно, , где [Вт/м²] – плотность потока мощности падающей электромагнитной волны от т-го источника помех, Ŝ _m(τ) − нормированная функция, отражающая временную структуру сигнала этого источника. Величину

                                     (3.7)

естественно назвать мощностью облучающего сигнала т-го источника. Это мощность помехового сигнала m-го источника, принимаемая любым из антенных элементов по максимуму его индивидуальной ДН.

Совокупности принятых мешающих сигналов  (n = 1,.., N) соответствует матрица <R^п> коэффициентов корреляции , аналогичных (3.4), которые с учётом статистической независимости источников помех записываются в виде*:

, (n, k = 1,..., N).     (3.8)

Шумовые сигналы , как принятые извне, так и внутреннего происхождения, пересчитанные к входам приемников, практически всегда являются статистически независимыми. Совокупность коэффициентов  образует матрицу , которую принято называть корреляционной матрицей помеховых сигналов [15]. С учётом шумов, корреляционная матрица принятых сигналов состоит из двух слагаемых

,                  (3.9)

где  p_ш  −   мощность    эквивалентных    шумов   на   элементах   АР,  – единичная диагональная матрица.

Очевидно, что диаграмма направленности ААР в текущий момент времени** Т однозначно определяется весовым вектором W(T):

.          (3.10)

В ослаблении мешающих сигналов на выходе ААР, которое естественно контролировать суммарной мощностью (помехи + шум), состоит главный эффект адаптации. Поэтому найдем в явном виде зависимость этой мощности от текущего весового вектора W(T).

Пусть с M направлений  приходят помеховые сигналы от статистически независимых источников. Их интенсивности в общем случае неодинаковы и характеризуются в соответствии с (3.7) значениями . Проще всего определить мощность помех на выходе ЭУАР, используя значения ДН в направлениях . Ведь очевидно, что мощность m-й помехи на выходе антенны пропорциональна квадрату ее амплитудной ДН в направлении  и мощности источника помехи, т.е. . С учетом (3.10) после элементарных преобразований и изменения порядка суммирования получаем в случае ААР по схеме Аппелбаума:

(3.11)

В случае ААР с основным элементом аналогичным образом получается выражение

    (3.11΄)

Естественно, этот же результат можно получить по-другому, вычисляя мощность суммы взвешенных сигналов как результат усреднения квадрата модуля (произведения комплексной величины на комплексно сопряженную) комплексной амплитуды выходного сигнала:

Подставляя сюда (3.6) и (3.7), после несложных перегруппировок приходим к тому же результату (3.11) и (3.11΄). Любому студенту было бы полезно самостоятельно проделать эти простенькие выкладки.

Внутренняя сумма в последней строчке равенства (3.11) и первого слагаемого в (3.11΄) совпадает с выражением (3.8) коэффициентов корреляции  помеховых сигналов на выходах элементов АР с номерами n и k. Внутренняя сумма второго слагаемого формулы (3.11΄), как нетрудно догадаться, представляет собой коэффициент корреляции  помеховых сигналов на выходе элемента АР с номером n и помеховых сигналов на выходе основного элемента АР. С учетом этого выражение для мощности помех на выходе ААР может быть записано в виде:

        (3.12)

Вводя обозначения для корреляционной матрицы помеховых сигналов и R₀ для вектора столбца коэффициентов { }, с учетом правил матричной алгебры равенство (3.12) записывается в компактной матричной форме:

          (3.13)

где W − вектор-столбец весовых коэффициентов {W_n}, а символ * означает эрмитово сопряжение матрицы (в данном случае вектор-столбца), т.е. транспонирование и комплексное сопряжение элементов матрицы. Таким образом W^* − это вектор-строка из элементов .

С учетом некоррелированности и равной дисперсии шумов каждого канала мощность (помехи + шум) на выходе ЭУАР определяется теми же равенствами (3.13), которые приводят к выражениям

        (3.14)

после замены корреляционной матрицы помех на корреляционную матрицу (3.9) принятых сигналов с учётом шумов.

4. Структурные схемы адаптивных антенных решеток

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: