Целевые функционалы адаптивных антенных решеток телекоммуникационных систем

Процесс адаптации, состоящий в регулировании весового вектора W(T), и достигаемое в стационарных условиях установившееся состояние безусловно зависят от помеховой обстановки и начального состояния системы W(0) = W(T)|_T=0. Но в решающей мере этот процесс зависит от того, по какому правилу/алгоритму осуществляется регулирование весового вектора, т.е. как выполнены цепи адаптации.

С.П. Аппелбаум (S.P. Applebaum) предложил ставшую классической структуру цепей адаптации, при которой достигаются желаемые качества ААР. В отсутствии источников мешающих сигналов формируется заданная/желаемая исходная ДН F₀(θ), а при появлении источников мешающих сигналов их сигналы автоматически ослабляются (до уровня внутренних шумов, например) за счёт формирования провалов ДН, ориентированных на источники помех. Схема Аппелбаума получила широкое признание и нашла применение в интересах как радиолокационных, так и телекоммуникационных систем, хотя вплоть до публикации моей статьи [22] не было установлено, является ли она оптимальной в смысле какого-то критерия.

Как это часто бывает*, сначала появляется рациональное техническое решение, и только спустя десятилетия выясняется, является ли оно оптимальным**. Особой привлекательностью обладает обратный ход творческой мысли: от критерия (целевой функции) к оптимальной структурной схеме. Давайте двигаться подобным образом, тем более, что применительно к ААР это оказывается несложным.

Желаемое качество телекоммуникационных ААР состоит в ослаблении мешающих сигналов на выходе ААР при возможно меньших искажениях исходной ДН F₀(θ). Наша задача – предложить варианты целевых функционалов, в достаточной мере адекватных сформулированным качествам.

Функционал Ф₁(W)

Во-первых, ослабление мешающих сигналов на выходе ААР естественно контролировать суммарной мощностью (помехи + шум). В минимизации этой величины состоит главная цель адаптации.

Во-вторых, поскольку текущая ДН F(θ,T) однозначно определяется весовым вектором W(T), а исходная ДН F₀(θ) соответствует исходному вектору W₀, то по отклонению вектора W(T) от вектора W₀ можно судить об изменении ДН.

Для обсуждаемых вариантов ААР эта идея реализуется отличающимися способами.

Схема Аппелбаума

Для ААР по схеме Аппелбаума представляется оправданным в качестве целевой функции* рассматривать взвешенную сумму мощностей мешающих сигналов плюс шумов и отклонения векторов W(T) и W₀, задаваемого квадратом нормы этого отклонения

        (4.1)

Здесь под квадратом нормы вектора, как обычно, понимается сумма квадратов амплитуд его составляющих  ||W₀ − W||² = , которая в матричной форме, как несложно проверить, записывается следующим образом , где < E > − единичная матрица.

Вектор W_opt, доставляющий минимум функционалу Ф₁(W), оптимален в том отношении, что среди множества весовых векторов W с тем же самым значением  вектору W_opt соответствует наименьшее значение нормы отклонения от начального вектора: ||W₀ − W_opt|| = min||W₀ − W||. И, наоборот, среди векторов с одинаковым отклонением (по норме) от начального вектора W₀ вектор W_opt обеспечивает минимально возможное значение мощности (помехи + шум).

Коэффициент m является масштабирующим коэффициентом, который, по сути, квадрату нормы отклонения ||W₀ − W||² назначает штраф в виде эквивалентной мощности шума. Поскольку весовые коэффициенты – величины безразмерные, то размерность коэффициента m − ватты. Ясна роль этого коэффициента: чем больше его значение, тем жёстче требование к сохранению начального вектора W₀, и, следовательно, тем менее глубокие провалы ДН в направлениях на помехи будут сформированы. При малых значениях m ослабляется требование к поддержанию состояния ААР, по возможности близкого к исходному состоянию, поэтому степень ослабления помех возрастает.

Примечание. Очень интересно заметить, что при m = 0, т.е. когда целевой функционал Ф₁(W) соответствует минимизации мощности (помехи + шум) безо всяких ограничений/условий на весовой вектор W, оптимальному вектору W_opt соответствует тривиальный и бесполезный результат. Глядя на выражение (4.1) и учитывая, что m = 0, легко обнаружить, что за вектор W_opt минимизирует значение Ф₁(W) в этих условиях, и почему он бесполезен. Попробуйте это сделать. Причем, чтобы справиться с этой «нано-задачей», глубоких знаний не требуется. Выручат догадка или смышленость.

ААР с основным элементом

Для ААР с основным элементом исходная ДН F₀(θ) формируется основным элементом, т.е. весовой вектор W₀ начальных значений КВУ равен нулю W₀ = Ø (символ Ø означает нулевой вектор), и второе слагаемое в выражении (4.1) трансформируется в квадрат нормы весового вектора W(T). Поскольку как всякое дополнительное условие ограничение этой нормы с одной стороны снижает достижимый эффект, а с другой – само по себе большого значения не имеет, то соответствующее слагаемое можно вообще исключить из целевой функции. Но общности ради сохраним это слагаемое, тем более, что коэффициенту m можно придавать нулевое значение. В отличие от ААР по схеме Аппелбаума, благодаря наличию основного элемента, ситуация «отключения» антенны невозможна

. (4.1΄)

При m = 0 сигналы дополнительных элементов АР взвешиваются таким образом, что помехи на выходе ААР оказываются максимально ослабленными.

Функционал Ф2(W)

Контроль отклонения вектора W от вектора W₀ в функционале Ф₁(W) для ААР по схеме Аппелбаума (4.1) введен как средство контроля отклонения текущей ДН F(θ,T) от исходной ДН F₀(θ). Косвенного контроля, разумеется. Но почему бы не делать это непосредственно?

Давайте в качестве минимизируемого функционала попробуем взять взвешенную сумму:

.              (4.2)

Первые два слагаемых, представляющие мощность мешающих сигналов и шума на выходе ААР, ничем не отличаются от аналогичных слагаемых функционала Ф₁(W) и в явном виде даются выражениями (3.13) и (3.14) соответственно. Будем, как и прежде, под F₀(θ) понимать не идеальную ДН (секторную, косекансную и т.п.), а ту ДН, которую ААР формирует в отсутствии источников мешающих сигналов за счёт исходного весового вектора W₀ или основного элемента АР. Формулы второго слагаемого для двух вариантов ААР слегка различаются.

Схема Аппелбаума

Записать явное выражение этого слагаемого – дело простых формальных перегруппировок:

        (4.3)

где Ω − область контроля всех ДН: индивидуальных ДН антенных элементов f(θ) и ДН антенной решетки F(θ). В общем случае Ω − это сфера, все ДН являются функциями двух сферических координат F(θ,φ) и dΩ = sin(θ) dθ dφ. Поскольку все ДН зачастую контролируются в одной плоскости (для наземных систем связи, например), то ради простоты будем сохранять запись F(θ), имея в виду, что под θ можно понимать обобщенную двухмерную координату {θ,φ}, а под dθ – соответствующий дифференциальный элемент телесного угла dΩ = sin(θ) dθ dφ.

В теории антенн показано, что скалярное произведение ДН антенных элементов, задаваемое интегралом по области Ω определения ДН,

,                               (4.4)

может быть интерпретировано как взаимное сопротивление антенных элементов. Точнее говоря, будучи безразмерной величиной, Z_kn не может быть взаимным сопротивлением, но имеет прямое отношение к нему, поскольку реальная часть этого интеграла действительно характеризует активную часть взаимного сопротивления антенных элементов*.

Следуя этой терминологии и обозначению Z_kn, получаем компактную матричную запись выражения (4.3):

,         (4.5)

где < Z > − квадратная матрица взаимных сопротивлений, образованная коэффициентами Z_kn.

Масштабирующий коэффициент m играет прежнюю роль. Квадрат нормы отклонения текущей диаграммы F(θ) от исходной F₀(θ) он переводит во штрафное возрастание мощности (помехи + шум). Его значение назначается из тех же соображений: увеличение этого значения снижает «чувствительность» ААР к помехам, а уменьшение – ослабляет контроль над сохранением исходной ДН в процессе адаптации. Компромисс между тем и другим фактором зависит от назначения системы.

Для ААР с основным элементом ограничение на отклонение текущей ДН F(θ,T) от исходной ДН F₀(θ) тоже представляет интерес как средство, позволяющее минимизировать потери исходной зоны связи при ослаблении помех. Учитывая (3.10) и то обстоятельство, что в рассматриваемом случае F₀(θ) = f₀(θ), получаем аналогично (4.3):

              (4.6)

или в матричной форме

|| F(θ,W) − F₀(θ)||² = W ^* < Z > W.                               (4.7)

Окончательное выражение:

    (4.8)

получаем, подставляя в (4.3) выражения (3.14), (4.4) и (4.6).

Функционал Ф3(W)

Следует иметь в виду, что в функционале Ф₂(W) фигурирует квадрат нормы отклонения комплексных диаграмм направленности F (θ)  и F₀(θ). Это означает, что отличие их фазовых диаграмм  проявляется  в росте значения ||F(θ) – F₀(θ)||², даже если амплитудные диаграммы совпадают. В частности, если F₀(θ)  − функция чётная относительно середины интервала Ω (чётны обе диаграммы: амплитудная и фазовая), а F(θ)  имеет чётную амплитудную ДН (быть может, даже совпадающую с амплитудной ДН |F₀(θ)|) и нечетную фазовую, то в силу ортогональности этих функций имеем ||F(θ) – F₀(θ)||² = ||F(θ)||² + ||F₀(θ)||².

С учётом этого и того обстоятельства, что в обеспечении рабочей зоны связи важна амплитудная ДН, а фазовая диаграмма никакой роли не играет, очевидно, что в наибольшей степени требованиям к процессу адаптации ААР телекоммуникационных систем соответствует минимизация целевого функционала следующей структуры:

.           (4.9)

К сожалению, в отличие от функционалов Ф₁(W) и Ф₂(W)  этот функционал не преобразуется к квадратичной форме, приводящей к аналитическим решениям. Проблема обусловлена тем, что в последнем слагаемом (4.9) невозможно поменять местами суммирование по n и интегрирование. Интегрирования разности амплитудных ДН |F(θ)| и |F₀(θ)|

      (4.10)

остается единственным способом вычисления этого слагаемого.

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: