Градиенты целевых функционалов

Имея в виду, что в процессе адаптации осуществляется регулирование весовых коэффициентов  за счёт независимого изменения их вещественных  и мнимых  частей, целевые функционалы можно воспринимать, как вещественные функции 2N вещественных переменных . Соответственно под градиентом функционала Ф следует понимать 2N-мерный вектор-столбец G, составленный из соответствующих частных производных:

    (n = 1,..., N)          (4.11)

Здесь и в дальнейшем фигурные скобки означают вектор-столбец, записанный в строчку ради компактности.

Вектор градиента представляет интерес в двух отношениях.

Во-первых, в любой точке 2N-мерного пространства векторов управления, соответствующей текущему весовому вектору , он указывает направление максимального роста функционала Ф(W). Соответственно, антиградиент – это направление максимально крутого «спуска» (максимально быстрого уменьшения функционала Ф(W)). Поэтому, вычисляя градиент (4.11) или формируя его в результате обработки принимаемых сигналов совокупности 2N управляющих сигналов*, можно реализовать процедуру минимизации функционала Ф(W) как достаточно эффективный вычислительный алгоритм или как реальный физический процесс.

Во-вторых, экстремальные точки (минимумы, максимумы, седловые точки) функции Ф(W), в том числе оптимальная точка W_opt, определяются условием G = Ø (символ Ø означает нулевой вектор). Это условие эквивалентно системе равенств:

(n = 1,..., N),                   (4.12)

аналитическое или численное решение которой позволяет найти желаемую оптимальную точку W_opt, доставляющую функционалу Ф(W) минимальное значение.

В теории ААР [15, 17, 18], отходя от математических строгостей*, вводят понятие производной вещественной функции f(W) от комплексно-значных аргументов, образующих N-мерный комплексный вектор W, по ясному и целесообразному правилу:

.           (4.13)

Это позволяет заметно упростить запись, сделать естественной и наглядной форму выражений, отражающих динамику процессов регулирования в ААР и ее оптимальное состояние. Пространство управляемых параметров предстаёт в более компактном виде как N-мерное пространство комплексных весовых коэффициентов W = . При этом надо иметь в виду, что обычные правила дифференцирования аналитических функций комплексного переменного к функционалам Ф₁(W), Ф₂(W) не применимы. Необходимо непосредственно использовать правило (4.13), требующее кропотливого, хотя и не сложного труда. В результате могут быть обоснованы некоторые удобные формальные приемы, позволяющие в дальнейшем без труда получать необходимые результаты.

Формулы для частных производных слагаемых, фигурирующих в целевых функционалах, легко вывести, если расписать весовые коэффициенты  и воспользоваться определением (4.13). Например, учитывая (3.12) для ААР Аппелбаума, запишем  и будем интересоваться производной по  (для аргумента производной временно введен индекс m = 1,..., N, чтобы отличать его от индексов суммирования n и k). Учитывая, что  по одному разу присутствует в суммах по n и k (пробегая все значения от 1 до N, эти индексы однажды приобретают значение m), элементарно получаем:

(m = 1,..., N).    (4.14)

Первое слагаемое последней строки соответствует значению индекса k = m, второе − значению n = m.

Учитывая эрмитову сопряжённость матрицы < R >, которая состоит в комплексной сопряженности транспонированных элементов: , заменяя для удобства индекс n во втором слагаемом (4.14) на индекс k, а затем, возвращаясь к индексу n вместо m в обозначении производной, получаем:

.                      (4.15)

Проделайте аналогичные выкладки для производной  и убедитесь в том, что

    (4.16)

или

                (4.17)

Окончательно с учётом (4.15) получаем первое слагаемое (помеховую составляющую, о чем напоминает верхний индекс «^П») градиентов целевых функционалов Ф₁ и Ф₂ в виде:

                 (4.18)

или в матричной форме:

.                                 (4.19)

Таким образом, приходим к интересному формальному правилу: производная по комплексной переменной W_n может быть получена, если, относясь к W_n и W_n ^* как к независимым переменным, взять производную выражения (3.13) по  и умножить на два. Еще раз повторю, что это правило подтверждают только выкладки, связанные с выводом соотношений (4.15) и (4.17). И ничего более.

В выражении (3.12) для мощности помех на выходе ААР с основным элементом фигурирует слагаемое , частные производные которого по W_n^΄ и W_n ^˝, как нетрудно видеть, равны соответственно 2 Re[R_0n] и 2 Im[R_0n]. Таким образом, в рассматриваемом варианте ААР с учетом (4.18) имеем:

.               (4.20)

Окончательно выражение для помеховой составляющей градиентов в компактной векторной форме предстает в виде

                (4.21)

где верхняя строчка, как прежде, соответствует ААР Аппелбаума, а нижняя – ААР с основным элементом.

В функционале Ф₁(W) фигурирует слагаемое ||W − W₀||², поэтому выясним его вклад в градиент этого функционала. Записывая очевидное  и дифференцируя эту сумму по независимым аргументам  и , элементарно получаем:

,

.

Подставляя оба равенства в (4.11), находим рассматриваемое слагаемое градиента функционала:

.     (4.22)

Наконец, слагаемое W^* < Z > W в функционале Ф₂(W) по структуре не отличается от первого слагаемого . Поэтому легко догадаться (или убедиться) в том, что

.                     (4.23)

При анализе установившихся состояний ААР для упрощения записей сомножитель «2» в выражениях для всех слагаемых вектора градиента можно опустить подобно тому, как мы игнорировали наличие усилителей-приемников. Тогда с учетом (4.21), (4.22) и (4.23) получаем:

    (4.24)

    (4.25)

Оптимальное состояние ААР, при котором достигается минимум целевого функционала, соответствует весовому вектору W_opt, при котором равны нулю все компоненты градиентов G₁ или G₂, соответственно. Для ААР Аппелбаума имеем:

(1,…,N),      (4.26΄)

(1,…,N),      (4.26˝)

Дужка над компонентами W_i весового вектора заменяет индекс «_opt», т.е. отмечает оптимальный вектор.

Аналогичные соотношения для ААР с основным элементом:

  (1,…, N),        (4.27΄)

(1,…, N).          (4.27˝)

Каждое из равенств (4.27΄), (4.27˝) представляет собой систему N алгебраических уравнений относительно искомых компонент  оптимального вектора W_opt. В компактной матричной форме записи эти системы предстают в виде

              (4.28)

.         (4.29)

Таким образом, расчёт оптимального (в текущей помеховой ситуации) весового вектора W_opt для двух целевых функционалов сводится к обращению следующих матриц:

для Ф₁(W)

         (4.30)

для Ф₂(W)

       (4.31)

В выражениях (4.30) сумму р_ш <E> + m <E> можно было бы записать короче как (р_ш + m) <E>. Этого не сделано в интересах раздела 4.3.

Следуя назиданию «получили – проверьте» как одному из приемов тренировки инженерного стиля мышления (глава 1), выясним, соответствуют ли решения (4.30) обсужденным свойствам функционалов при изменении масштабирующего коэффициента m. Во-первых, видно, что при m = 0 обе строчки дают нулевой вектор* W_opt = Ø, как это вытекает из смысла рассматриваемых функционалов. Во-вторых, при m = ∞ по тому же смыслу в обоих случаях должно быть W_opt = W₀. И в этом легко убедиться, учитывая, что обращаемыми матрицами становятся (m <.E.>) и (m <.Z.>), и зная, а еще лучше, догадавшись, что (m <.E.>)^-1 = (1/m) <.E.> и (m <.Z.>)^-1 = = (1/m) <.Z.> ^-1. В-третьих, если нет помех, то матрица  является нулевой и можно убедиться (убедитесь!), что в обоих случаях W_opt = (m/(m + p_ш)) W₀.

4.3. Структура цепей адаптации по критерию Ф₁(W)

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: Я.Мессенджер ВКонтакте Одноклассники Telegram Twitter Мой Мир LiveJournal