Градиентный алгоритм адаптации. 4.4. Структура цепей адаптации по критерию Ф₂(W). 4.4. Структура цепей адаптации по критерию Ф₂(W)

Другой распространённый алгоритм управления весовыми коэффициентами состоит в антиградиентном спуске (в реальном времени) к минимуму целевого функционала. При этом процесс адаптации описывается дифференциальным или равнозначным ему интегральным уравнением:

                (4.32)

или их конечно-разностным вариантом:

.                         4.32΄)

Здесь Т_и – очень важный формальный параметр уравнений, значение которого в решающей мере влияет на скорость регулирования. И по размерности, и по физическому смыслу этот параметр является постоянной времени цепей адаптации. Естественно, что чем больше Т_и, тем медленнее протекает процесс адаптации в той же помеховой обстановке. Это непосредственно следует из уравнений (4.32) и (4.32΄)*.

Интегральное уравнение (4.32) может быть записано и в слегка отличающемся варианте . Различия этих вариантов проявляются лишь в том, что в первом случае стартовым (в момент включения системы τ = 0) значением ВВК служит исходный вектор W|_{Т = 0} = W₀, а во втором случае процесс спуска к оптимальному ВВК начинается с его нулевого состояния W|_{Т = 0} = Ø. Было бы полезно повторить ранее изложенные рассуждения и провести аналогичные преобразования для этого варианта и для дифференциального уравнения (4.32), чтобы увидеть, чем при этом отличаются структурные схемы ААР.

С учётом выражения (4.29) для градиента G интегральное уравнение (4.32) предстает в виде:

.   (4.33)

Здесь учтено, что  можно освободиться** от  единичной  матрицы < E >, поскольку < E > W = W.

Наша задача – построить структурную схему, которая управляла бы весовым вектором W(T) в соответствии с уравнением (4.33). Во-первых, ясно, что основным функциональным элементом этой схемы является идеальный интегратор, точнее, N интеграторов, поскольку векторное равенство (4.33) есть совокупность N равенств для компонент вектора W(T):

      4.33΄)

где  означает n-компоненту вектора . На входе интеграторов должен действовать сигнал, повторяющий содержимое квадратной скобки выражения (4.33΄). Надо выяснить, как этот сигнал можно сформировать.

Основная проблема связана с первым слагаемым подынтегрального выражения. По правилам матричной алгебры n-й элемент произведения матрицы на вектор-столбец есть произведение n-й строки матрицы на вектор: . Вспомним, что элементами корреляционной матрицы помех  служат произведения комплексных огибающих помеховых сигналов, усредненные на достаточно большом (по сравнению с интервалом корреляции) временном интервале. Поэтому имеем . Обратите внимание на то, что внесение W_k под знак усреднения, символизируемого чертой сверху, возможно только при условии, что на интервале усреднения весовые коэффициенты W_k практически не изменяются. С учетом некоррелированности (более того, статистической независимости) шумов отдельных каналов друг с другом  и с помехами  получаем:

.

Таким образом, уравнение (4.33΄) эквивалентно следующему уравнению, в котором в явном виде фигурируют сигналы АР:

    (4.34)

Полагая, что может быть реализован функциональный элемент, называемый комплексным коррелятором (КК), который по входным сигналам Ŝ_вых и Ŝ _n формирует комплексную величину  коэффициента корреляции выходного сигнала ААР с сигналом, принимаемым элементом с номером n, не составляет труда построить структурную схему, точно соответствующую уравнению (4.34). Эта схема представлена на рис. 4.3. Как это принято в автоматике, круг с незачерненными секторами обозначает сумматор. Вычитающее устройство изображают аналогично, но с той разницей, что зачерненный сектор круга отмечает вычитающий вход.

Рис. 4.3. Структурная схема, соответствующая уравнению (4.34)

Теперь обратим внимание на то, что при формировании сигнала U_n для цепи обратной связи интегратора сначала к выходному сигналу V_n прибавляется сигнал W_0n, а затем вычитается этот же сигнал. Таким образом, фактически U_n = V_n, а следовательно, исходная структурная  схема может быть представлена в упрощенном варианте без ущерба для ее функционирования. На рис. 4.4 приведен результат такого упрощения.

Теперь непосредственно видно, что интегратор охвачен отрицательной обратной связью с коэффициентом передачи, равным m. Как  было  показано  в разделе 2.2,  такой  интегратор  эквивалентен  ФНЧ,

Рис. 4.4 — Упрощенная структурная схема

имеющему передаточную характеристику . С учетом этого, и перенося операцию инверсии знака с входа ФНЧ на его выход, приходим к окончательному варианту (рис. 4.5) структурной схемы цепей адаптации, которые минимизируют значение целевого функционала Ф₁(W) по алгоритму градиентного спуска. 

Рис. 4.5 — Окончательный вариант структурной схемы

В соответствии с тем, что говорилось в главе 1 об инженерном стиле мышления, полученный результат полезно осмыслить, проверить на предмет работоспособности. Конечно, это дело требует определенной изобретательности, поскольку универсальных приемов не существует*. Все зависит от конкретных особенностей анализируемого решения. В случае ААР можно поразмышлять, например, вот о чем.

Если источников мешающих сигналов нет, то на выходах КК присутствует малого уровня сигналы p_шW_n, обусловленные шумом канала n и присутствием этого же шума с весом W_n на выходе ААР. При этом в установившемся режиме, как видно из рис. 4.5, имеет место равенство: W_n = W_0n − p_ш W_n /m, из которого следует:

W_n = W_0n /(1 + p_ш /m).                  (4.35)

Это вполне сообразуется с тем, что должно быть: ВВК W практически совпадает с исходным вектором W₀, поскольку, благодаря малости шумов, получается W_n ≈ W_0n. Интересно заметить, что если m малó настолько, что p_ш /m >> 1, то, как следует из формулы (4.35), все весовые коэффициенты оказываются равными нулю (W_n ≈ 0). Этому есть два объяснения. С одной стороны, в примечании на с. 48 уже отмечалось, что как следует из структуры целевого функционала, при m = 0 оптимумом становится бессмысленный в практическом отношении нулевой ВВК. Это и обнаруживается как следствие формулы (4.35). С другой стороны, в техническом плане равенство m ≈ 0 проявляется как огромное значение коэффициента передачи ФНЧ (К_ф = m ^-1), а потому даже слабый сигнал, обусловленный коррелированностью шума в канале и на выходе ААР, поступающий на вычитающий вход сумматора после мощного усиления, эффективно уменьшает значение W_n.

Для тренировки проверьте, допустимо ли выражение (1 + р_ш /m) в отношении размерностей?

Формульный анализ, приведший к уравнению (4.34) и соответственно к схеме на рис. 4.5, проводился в предположении идеальных характеристик и единичных значений коэффициентов передачи всех функциональных элементов, и потому значение штрафного коэффициента m функционала Ф₁(W) обеспечивается соответствующими значениями параметров ФНЧ. В реальности в схеме присутствуют каскады усиления, во взаимосвязь между управляющими сигналами W_n и коэффициентом передачи КВУ вмешиваются регулировочные характеристики активных элементов (зачастую, нелинейные), даже сумматор, если он выполнен в виде пассивного многополюсника, в лучшем случае имеет коэффициенты передачи от входа к выходу, равные , а не единице. В итоге значение m зависит от параметров многих элементов схемы. Поэтому на практике при проектировании цепей адаптации логично учитывать технические характеристики реальных устройств и функциональных элементов, а затем выяснить, как эти параметры влияют на быстродействие процесса адаптации (Т_И в уравнении (4.34)) и установившееся состояние, связанное со значением штрафного коэффициента m функционала Ф₁(W).

На рис. 4.6 приведена структурная схема ААР, предложенная Аппелбаумом [14]. Обнаруживается полное совпадение  цепей адаптации

Рис. 4.6. ААР по схеме Аппелбаума

на рис. 4.5, минимизирующих целевой функционал Ф₁(W), с цепями схемы Аппелбаума. Тем самым установлено, что схема Аппелбаума представляет собой ААР, оптимальную в смысле критерия Ф₁(W).

4.4. Структура цепей адаптации по критерию Ф₂(W)

Функционал Ф₂(W) во многом повторяет функционал Ф₁(W). Поэтому не только логика рассуждений, но и многие результаты раздела 4.3 могут быть использованы без изменений.

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: Я.Мессенджер ВКонтакте Одноклассники Telegram Twitter Мой Мир LiveJournal