История возникновения теории вероятностей

Так как наш предмет по самому своему названию связан со статистикой, а значит и с вероятностью, то естественно, прежде всего, потратить некоторое время на понимания этого понятия и формализующей его «теорией вероятности». Полное понимание этого фундаментального понятия (аналогично многим другим фундаментальным понятиям: число, точка, волна, тяготение и т.д.) не достигнуто и в настоящий момент. Так знаменитый математик и философ Бертран Рассел писал в 1929 году: «Вероятность – это важнейшее понятие в современной науке особенно потому, что никто совершенно не представляет, что оно означает». Через 50 лет другой математик Б. де Финетти писал: «Мой тезис, парадоксальный и немного провокационный, но вместе с тем искренний, заключается всего лишь в следующем: вероятность не существует».

Попытки здравым способом определить вероятность, после того, как было осознанна важность этого понятия для явлений жизни, происходили с XIV века и до настоящего времени. Наиболее известны два определения, наивное, связанное с именем Мизеса, которое часто используют и удовлетворяются им физики, инженеры и просто здравомыслящие граждане – «относительные частоты определённых событий», и строгое математическое, введённое великим математиком Колмогоровым, лежащим в основе практически всех современных научных теорий – пространства элементарных событий и всех событий и «счётно-аддитивная мера (примерно линейная функция) на сигма-алгебре», образованной пространством всех событий.

Однако использование частотного определения плохо работает в нетривиальных задачах современного естествознания (в том числе, квантовой механике), а строгое является слишком сложным для непрофессиональных математиков и теоретических физиков, и требует большого опыта для его усвоения. Попробуем, следуя истории вопроса, улучшить наше понимание этого вопроса.

 Прежде всего, укажем на сложности, которые задержали на 600 лет появление мощной и строгой вероятностной теории. Частотное определение восходит к игре в кости и опирается на некоторое множество всех событий и множество благоприятных событий, и представляет в качестве вероятности благоприятного исхода отношение числа элементов последнего к числу элементов первого. Так, при однократном бросании игральной кости исходами являются числа A={1-6}, а благоприятными исходами, например, чётные числа B={2, 4, 6}. Тогда вероятность благоприятного исхода равна .

Пока не будем развивать этот подход и рассматривать другие уже не совсем тривиальные примеры, а заметим, что требование сигма-алгебры для пространства всех событий эквивалентно счётной-аддитивности функции вероятности, которая необходима в современных физических приложениях. При этом распространить эту счётно-аддитивную функцию на все подмножества вероятностного пространства (пространства исходов) – невозможно. Переход от наивного частотного определения вероятности к неизмеримо более богатому функциональному совершил Колмогоров в 1932 году под влиянием потребностей квантовой механики и связанной с ней ядерной физики [2]. Заметим, что в современной теории вероятностей кроме классических положительных вероятностей рассматриваются также отрицательные и комплексные (точнее говоря, вероятностные меры).

Как и другие великие науки, теория вероятностей развивалась из парадоксов. Самый первый из них – парадокс Паскаля-Ферма «раздел ставки» относиться к игре в кости, к XIV веку или ранее и арабским источникам [3]. Игра в кости предложена Павсанием в древнем Египте во времена 1-ой династии, а затем перекочевала в Грецию и Римскую империю. Арабское слово «alzar» («игральная кость») преобразовалось в слово «азарт». Истоки теория вероятностей связаны с азартными играми, прежде всего с игрой в кости, затем в XIV в Европе стали популярными карточные игры.

Первое известное упоминание парадокса в итальянской рукописи с арабскими корнями относиться к 1380 году. В Европе впервые опубликован в Венеции в 1494 году в обзоре средневековой математики Фра Лука Пачоли (1445-1509) «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности». Интересно заметить, что Леонардо да Винчи дружил с Пачоли и иллюстрировал другую его книгу «О божественных пропорциях» (Венеция, 1509 г.).

Задача являлась исключительно трудной для современников. Так её неправильно решил гениальный Никколо Тарталья (который в математической дуэли за одну ночь нашёл формулу корней кубического уравнения). Задача была решена в переписке Паскаля и Ферма и многими считается началом теории вероятностей в 1654 году, когда после нескольких неудачных попыток независимо Паскаль и Ферма нашли решение.

Парадокс состоит в определении раздела ставки при следующей игре в кости при её досрочном прекращении. В игре выигрывает тот, кто первым выиграет 6 партий. Как справедливо разделить приз, если игра остановилась при 5-ти выигрышах у первого игрока и 3-х у второго? Пачоли предлагал разделить как 5:3 – пропорционально числу выигранных партий, Тарталья – 2:1, как обратно пропорционально числу недостающих до победы партий.

Паскаль и Ферма рассмотрели шансы игроков при всех возможных вариантах развития событий! Это и есть основа понятия вероятностного пространства и теории вероятностей. Продолжим игру тремя фиктивными партиями (максимально возможными в данной ситуации). Каждая партия имеет 2 исхода: выиграл первый игрок или второй; для трёх партий имеется 2х2х2 = 8 возможных равновероятных вариантов. Среди этих вариантов только один благоприятен для второго игрока, в то время как первому благоприятствует остальные 7 – таким образом, необходимо делить приз как 7:1! И весь Париж заговорил о возникновении новой науки – теории вероятностей.

Формула для случая необходимости выиграть для первого и второго игроков ещё «n» и «m» партий, соответственно также была найдена Паскалем и Ферма:

.

Обобщение задачи для трёх игроков сделал голландец Христиан Гюйгенс, который приехал в Париж обсудить с Паскалем и Ферма вероятностные проблемы. Хотя Гюйгенсу и не удалось с ними встретиться, но он узнал о наиболее интересных их результатах, в том числе о решении задачи о разделе ставки, после чего вернулся в Голландию и написал в 1657 году замечательную работу «О расчётах в азартных играх» (в виде пятой книги труда Схоутена «Математические этюды»). Работа Гюйгенса содержит 16 страниц и 14 решений связанных с азартными играми задач.

Прекрасную идею Ферма о продолжении игры в 1977 году использовал Андерсон, доказав поразительную теорему, что игрок, который подаёт первым, имеет одинаковые шансы выиграть в N партиях раньше своего соперника независимо от того, подают ли игроки поочередно или подаёт тот, кто выигрывает предыдущую партию.  

Другой старый парадокс известен, как «парадокс игры в кости», и был рассмотрен и решён сначала в самой ранней книге по теории вероятностей Джероламо Кардано (1501-1576) «Книга об игре в кости», которая была написана примерно в 1563 году, но опубликована на 100 лет позднее в 1663 году. А затем и Галилеем, который не знал об этой книге и написал трактат на аналогичную тему «Об открытиях, совершённых при игре в кости» между 1613 и 1624 годами.

Трудность решения фундаментальной задачи о разделе ставки демонстрирует главную сложность при решении практических задач – построение адекватного задаче вероятностного пространства. После чего решение превращается в чисто математическую задачу, решаемую формальными методами. Далее также возможны сложности в интерпретации полученного решения.

1.2. Существенные примеры из теории вероятностей для уяснения основ теории, методов решения вероятностных задач и выработки интуиции

Рассмотрим теперь чуть более сложные примеры: выборка из множества, распределение шаров по ящикам, выемка шаров из урн, игры орёл-решка, кости или карты (бридж с колодой в 52 карты), прикладные задачи, описываемые этими схемами, которые проясняют и закрепляют понятие вероятностного пространства [4]. Основным методом решения для дискретных задач является комбинаторика. Заметим, что, несмотря на наивность этих примеров, часто в них заключены основные идеи решения сложных задач современной квантовой и статистической механики, термодинамики и других разделов физики, химии и других наук: биологии, экономики, социологии и др.

Пример 1. Классическая схема выборки. Пусть  – пространство элементарных случайных независимых событий. На самом деле здесь слово элементарных уже обозначает их независимость, а слово случайных – их равновероятность. Обобщением являются разные вероятности элементарных событий, в сумме дающие 1. Тогда

                                                                  (1.2.1)

 – классическое определение вероятности события A или равномерное дискретное распределение. На основании этого определения рассмотрим следующую ситуацию.

Во многих ситуациях подсчёт числа элементарных событий основан на простейшем комбинаторном факте, дающем число элементов в многомерной таблице: пусть дано  элементов , , тогда общее число комбинаций составных элементов вида  по одному элементу каждого типа равно .

Пример 2. Выборка без возвращений. Пусть задано множество  – «генеральная совокупность». Упорядоченная последовательность  – выборка. Случайную выборку «без возвращений» можно получить так:  выбираем из всей генеральной совокупности,  выбираем из генеральной совокупности без элемента ,  выбираем из генеральной совокупности без элементов  и  и т.д. Число таких выборок получается из её схемы и равно

.                                         (1.2.2)

При k= n получаем

                                                                   (1.2.3)

 – число различных перестановок из n элементов. Каждой такой случайной выборке в соответствии с классической схемой положим вероятность .

При выборках без возвращений число выборок имеющих одинаковый состав из k элементов и различающихся только порядком этих элементов равно k! – фиксируем конкретный состава такой выборки из k элементов и делаем всевозможные перестановки. Поэтому число выборок различающихся только составом равно

                                                           (1.2.4)

 – это число сочетаний из n по k, называющееся биномиальным коэффициентом. При этом вероятность каждой новой выборки согласно классической схеме равна .

Пример 3. Число разделений генеральной совокупности на части.

Обобщением формулы (1.2.4) является формула для полиномиального коэффициента. Пусть целые числа  – тогда число способов разбиения генеральной совокупности из k элементов на n упорядоченных множества, содержащих  элементов каждая, равно

                                                                    (1.2.5)

Это равенство получается итеративным использованием равенства (1.2.4):

Простейшие задачи для выборок без возвращений можно решать так. Например, найдём вероятность того, что . Поскольку оставшиеся k–2 места могут быть заняты любыми из n–2 элементов генеральной совокупности, то число таких выборок равно . Таким образом, искомая вероятность равна .

Пример 3. Выборка с возвращениями. Можно рассмотреть другую схему выборки – с возвращением (объектов). Число таких выборок

                                                                                     (1.2.6)

с вероятностью по классической схеме . Найдём для такой схемы вероятность того, что все элементы будут разными. Выборок с различными элементами будет столько же, сколько в выборках без возвращений: . Поэтому искомая вероятность равна

.                                                                        (1.2.7)

Пример 4. Урновая схема. Рассмотрим следующую «урновую» задачу: пусть в урне n шаров, из них  чёрных и  белых. Какова вероятность, что в выборке будет ровно  чёрных шаров при общем числе выбранных k шаров? Выше показано, что различающихся составом выборок . Чёрных  шаров из  чёрных шаров можно выбрать  способами, аналогично остальные  белых шаров из всех  белых шаров можно выбрать  способами. Очевидно, что любой набор чёрных шаров может сочетаться с любым набором белых шаров, поэтому число всех выборок объёма k различающихся составом и содержащих ровно  чёрных шаров равно

.                                                                            (1.2.8)

Если просуммировать по всевозможным величинам чёрных шаров  при общем числе выбранных шаров k, получим число всевозможных сочетаний из n по k, т.е. . Искомая вероятность же равна . Заметим, что набор чисел

                                                (1.2.9)

образует так называемое гипергеометрическое распределение.

Пример 5. Размещение шаров по ящикам. Пусть имеется k шаров которые надо разместить по n ящикам. Возможны три варианта размещений: 1) разные, т.е. различимые шары, 2) неразличимые шары, 3) неразличимые шары и ящики.

Первый случай был рассмотрен выше, и число вариантов при этом по формуле (1.2.6) было равно , так как каждый из k шаров может находиться в каждом из n ящиков (на каждом шаге размещения шара – n выборов, число шагов – k).

Во втором случае неразличимых шаров результат полностью описывается числами заполнений каждого ящика:

,                                       (1.2.10)

В этом случае два размещения различимы только тогда, когда соответствующие наборы разные.

В этом случае число различимых размещений (т.е. число решений уравнения (1.2.10)) равно

.                                                 (1.2.11)

А число различимых размещений, когда ни один ящик не остаётся пустым

.                                                                              (1.2.12)

Покажем это, обозначив шары звёздочками, а n ящиков в виде промежутков, разделённых n +1 чертой. Тогда на двух концах стоят 2 черты, а остальные n-1 черта и k звёздочек расположены в произвольном порядке. Таким образом, надо выбрать k мест из n+ k-1 мест, а это и равно . Условие, что нет пустых ящиков означает, что нет рядом стоящих черт. Таким образом, между k звёздочками должно быть k-1 промежутков, заполненных чертами, т.е. имеем  вариантов.

В третьем случае неразличимых ящиков вычисления сложнее. Сначала надо взять конкретное распределение количества шаров по ящикам, а затем к данному распределению применить формулу (1.2.6) (к шарам). Далее посчитать число вариантов таких распределений ещё раз, применив формулу (1.2.6) (теперь к ящикам) и умножить эти оба числа. После чего просуммировать полученные произведения по всем возможным вариантам распределений.

Так, в случае трёх шаров и трёх ящиков будет: 1) 27, 2) 10, 3) 3 вариантов распределения.

С помощью полученных формул (1.2.1) – (1.2.12) можно решать большое число прикладных задач, в том числе, которые будут приведены ниже. В том числе, схема размещения шаров по ящикам появляется в следующих прикладных задачах: распределение несчастных случаев, выборочные обследования, эксперименты с облучением, распределение генов, случайные цифры, химические реакции.

Пример 6. Исходы бросаний неразличимых костей. Имеется  различимых исходов бросания k неразличимых игральных костей.

Пример 7. Число частных производных. Частные производные порядка k от n переменных не зависят от порядка дифференцирования, а зависят только от количества дифференцирований по каждой переменной. Таким образом, каждая переменная играет роль ящика, и в этом случае существует  различных частных производных порядка k. Например, функция трёх переменных имеет 15 производных четвёртого порядка и 21 производную пятого порядка.

Пример 8. Распределения частиц в квантовой механики. Рассмотрим распределение k частиц в атоме по n энергетическим уровням, которые играют роль ящиков. Пусть имеются n фиксированных целых чисел удовлетворяющих формуле (1.2.10): . Число возможных размещений k шаров по n ящикам, при которых в каждом ящике содержится соответственно  шаров, согласно формуле (1.2.5) равно , а вероятность такого заполнения для  равновероятных размещений . Такое размещение, используемое в статистической физике, где вместо уровней энергии используются малые области, ячейки, фазового пространства, и названное распределением (или статистикой) Максвелла-Больцмана считалось интуитивно очевидным. Однако в квантовой механике распределение Максвелла-Больцмана неприменимо ни к каким частицам, а имеют место два других: Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Здравый смысл говорит в пользу первой схемы (различимых шаров и ящиков), однако эксперименты показали, что возможны только случаи Бозе-Эйнштейна (фотоны, атомные ядра, атомы с чётным числом элементарных частиц), Ферми-Дирака (электроны, нейтроны, протоны).

В случае Бозе-Эйнштейна рассматриваются только различимые размещения, и каждому из них приписывается согласно формуле (1.2.12) вероятность . Статистика Ферми-Дирака основана на следующих предположениях: 1) в одной ячейке может находиться не более одной частицы, 2) все различимые размещения, удовлетворяющие п. 1) имеют одинаковую вероятность. Для первого условия необходимо , и размещение полностью описывается указанием какие ячейки содержат частицу, что можно сделать  способами. Следовательно, в статистике Ферми-Дирака существует  возможных размещений, каждое с вероятностью . Выбор статистики для конкретной частицы определяется только на основе эксперимента, а не с помощью априорных рассуждений.

Пример 6. Схема Бернулли. Рассмотрим крайне важную, фундаментальную схему Бернулли. Пусть из генеральной совокупности, состоящей из двух элементов {0, 1} производится выборка с возвращением объёма r – эквивалентно игре в орёл (Герб, Г)-решка (Р). Обозначим это множество выборок . Определим функцию вероятности на этом множестве (вероятностном пространстве) для случая ровно k  гербов , тогда существует

                                                          (1.2.14)

случаев наличия ровно k единиц в выборке. Легко доказать биномиальное равенство  – т.е. P – вероятность. Соответствующее распределение называется биномиальным, схема – схемой Бернулли, и испытания обладают свойством независимости.

В ней вероятность появления 1 на фиксированном месте выборке (например, на месте s) равна p – вероятность успеха. Аналогично вероятность появления 1 на k фиксированных местах равна .

Важным является случай ограниченного числа бросаний n, что достаточно легко позволяет определить вероятностное пространство с числом элементов  и элементарными событиями являются последовательности из {Р,Г}, эквивалентно, из {0,1} длиной n: . Тогда составное событие, что выпало не менее 2-х гербов, состоит из всех тех последовательностей (элементарных событий), в которых 0 (Р) встречается не более 2-х раз. Нетрудно их подсчитать: 0 встречается 0 раз только в последовательности из всех единиц {1, 1, …, 1} – 1 вариант; 1 раз в n последовательностях только на месте n, т.е. – n вариантов; 2 раза в  последовательностях, образуемых выбором 2-х элементов из n  элементов –  вариантов. Итоговое число искомых последовательностей образуется суммой всех трёх возможностей: , а вероятность равна .

Аналогично могут быть найдена вероятность событий «выпало не менее k гербов (или решёток)».

Пример 8. Выборочное обследование. Пусть требуется вычислить число курящих в группе из в 100 человек, которое может быть равно от 0 до 100. Это и есть пространство элементарных событий, состоящее из 101 точки x= 0, 1, 2,…, 100. Примером составного события является следующее: «большинство людей в данной выборке – курящие», т.е. одним из событий, x= 51, 52,…, 100.

Пример 9. Бросание кубика. Эквивалентно размещению по ящикам – роль ящиков играют грани. Таким образом, при бросании  r раз общее число возможных исходов равно , а число исходов без выпадения 1 ни разу равно . Следовательно, вероятность такого события равна . Вероятность же появления 1 равна  – не очень велика.

Пример 10. Составление слова. Английское слово из 10 букв представляет выборку из генеральной совокупности в 26 букв. Повторения разрешаются, т.е. выборка с возвращением и число вариантов равно . Если для каждого слова в типографии имеются 1000 литер, и надо физически выбрать из литер 10 штук без повторений, то слово может быть набрано  различными способами – что намного больше.

Пример 11. Случайно выбранные цифры. Пусть генеральная совокупность состоит из десяти цифр: 0,1,…, 9. Каждая последовательность из 5 цифр является выборкой с возвращениями объёма k=5 и мы считаем, что она согласно классической схеме выборки имеет вероятность . Вероятность того, что все пять последовательных случайных цифр различны будет согласно формуле (1.2.3) равна .

Пример 12. Распределение шаров по ящикам. Если n шаров случайно размещаются по n ящикам, то вероятность того, что каждый ящик занят, равна  – это поразительно мало, например для n=7, . Например, если в некотором городе происходит 7 аварий в неделю (7 дней), то почти наверняка будет день, когда аварий не будет (и следовательно будут дни с 2-мя или более авариями).

Пример 13. Дни рождения. Дни рождения k человек образует выборку из совокупности всех 365 (как правило) дней в году. Вероятность, что все k дней рождения различны, определяется выборками этих k дней без возвращения по формуле (1.2.7)

.

Что для k =10 даёт 0.877 (точное значение 0.883). Можно ещё использовать логарифмы для относительно больших k:

Пример 14. Бридж и покер. В колоде для этих игр находится 52 карты по 13 одинаковых карт каждой масти. В бридже имеется 4 игрока, каждому из которых сдаётся по 13 карт. В покере количество игроков разумно не ограничено и каждому игроку сдаётся по 5 карт. Таким образом, у каждого из 4-х игроков при игре в бридж имеется  различных комбинаций и  комбинаций у игрока в покер. В покере значения карт могут быть выбраны  способами, и для каждого значения существует 4 масти. Таким образом, в покере вероятность одному игроку иметь все разные по значению карты равна , а в бридже – .

Пример 15. Сенаторы от штатов. Каждый из 50 штатов представлен 2-мя сенаторами. Рассмотрим комитет из 50 сенаторов. Общее число вариантов выбора равно . Вероятность того, что будет представлен каждый штат, будет дополнительной к вероятности противоположного события – т.е. данный штат не представлен, т.е. надо выбрать разными способами 50 сенаторов из 98 сенаторов не из данного штата: . Следовательно, вероятность того, что данный штат не представлен равна .

Найдём ещё вероятность того, что представлены все штаты. На каждом из 50 шагов выбора из каждого штата имеется 2 варианта выбора (одного из 2-х сенаторов). Таким образом, общее число вариантов равно , и искомая вероятность равна  (используя формулу Стирлинга).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: