Описание линейных систем скалярными дифференциальными уравнениями и передаточными функциями

Теперь обратимся к наиболее используемой форме описания линейных систем – обыкновенные дифференциальные уравнения.

. (3.2.1)

Или, если использовать обозначения для дифференциального оператора :

. (3.2.2)

Если использовать преобразование Лапласа и его свойства, то в стационарном случае постоянных коэффициентов данное равенство переходит в классическое выражение выхода как произведение передаточной функции на вход:

. (3.2.3)

Обратное преобразование во временную область имеет вид

. (3.2.4)

Перейдём к определению статистических характеристик. Вследствие линейности операторов математического ожидания, дифференцирования и интегрирования получаем их перестановочность и следующие соотношения для математических ожиданий и корреляционных функций:

. (3.2.5)

. (3.2.6)

Если коэффициенты линейной системы (3.2.1) постоянны, т.е. , то применяя преобразование Лапласа (двумерное или одномерное), вместо дифференциальных операторов в формуле (3.2.3), получаем:

. (3.2.7)

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем окончательные выражения для математического ожидания и корреляционной функции:

. (3.2.8)

Для случая стационарной системы важной и полезной характеристикой является импульсная передаточная функция (ИПФ) :

, (3.2.9)

т.е. ИПФ является реакцией системы на импульсное воздействие .

Исследуем решение дифференциального уравнения (3.2.2) в однородном и неоднородном случае и получим явное выражение для импульсной передаточной функции (ИПФ).

Рассмотрим однородное уравнение:

, (3.2.10)

с вектором начальных условий

. (3.2.11)

Пусть – фундаментальная система решений (ФСР) системы (3.2.10), состоящая из линейно независимых частных решений с начальными условиями

, (3.2.12)

где – заданная матрица начальных условий.

В случае A= E – получаем нормальную каноническую фундаментальную систему решений (НКФСР).

Теперь запишем общее решение дифференциального уравнения через ФСР:

. (3.2.13)

Продифференцируем это выражение несколько раз i=1,… n-1,

. (3.2.14)

Используем матрицу начальных условий А и определение НКФСР:

. (3.2.15)

Введём матрицу

. (3.2.16)

Тогда

. (3.2.17)

Так как ФСР состоит из линейно-независимых решений, то для матрицы W(0) определитель Вронского . Тогда и из равенства (3.2.17) получаем

. (3.2.18)

Окончательно из (3.2.13) получаем

. (3.2.19)

Найдём явный вид этого решения для стационарного случая, т.е. когда . Ищем частное решение в виде . Подставив его в уравнение (3.2.10), получим характеристическое уравнение системы

. (3.2.20)

Пусть с учётом кратности имеем корни этого уравнения: … Им соответствуют следующие базисные частные решения: и следующие коэффициенты:

(3.2.21)

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

. (3.2.22)

Разделив уравнение на старший коэффициент, получим уравнение с .

Прежде всего, укажем, что ИПФ k( t) в нуле удовлетворяют условиям:

. (3.2.23)

т.е. ИПФ k( t) будет решением однородного уравнения (3.2.10). Отсюда получаем, используя выражение (3.2.21) для коэффициентов этого разложения по НКФСР, получаем в итоге выражение для ИПФ:

(3.2.24)

И подставляя это выражение в уравнение для выхода системы (3.2.4) в итоге получаем

(3.2.25)

Полученные соотношения позволяют описывать линейную систему интегральными уравнениями и на основе этого описания реализовать проекционные методы исследования прохождения через систему случайных процессов.

Перейдём к описанию статистических характеристик. Сначала рассмотрим случай стационарной системы с ИПФ, описываемой выражением (3.2.4), связывающей случайные вход и выход интегралом с в неустановившемся режиме (переменный верхний предел в интеграле)

. (3.3.18)

Для стационарного случайного входного процесса получаем

. (3.3.19)

В обоих случаях неустановившегося режима (т.е. даже при входном стационарном случайном процессе) выходной процесс нестационарен, так как зависит от времени в переменном верхнем пределе интеграла. Однако в установившемся режиме, когда предел становиться ∞, получается простое соотношение

. (3.3.20)

Теперь получим формулу для корреляционных функций.

. (3.3.18)

В случае стационарного входного сигнала

. (3.3.19)

В установившемся режиме имеет место уже стационарный выходной процесс с простой формулой для корреляционной функции:

. (3.3.20)

Очевидно, получаем равенство для дисперсии

. (3.3.21)

Рассмотрим теперь случай нестационарной линейной системы, когда выражение для ИПФ имеет вид:

. (3.3.22)

Тогда выражения для корреляционной функции и дисперсии имеют вид

, (3.3.23)

. (3.3.24)

В установившемся режиме:

, (3.3.25)

. (3.3.26)

Из формулы (3.3.25) видно, что даже при стационарном входе и в установившемся режиме выходной процесс может быть нестационарным!

Пример 3.2.1. Рассмотрим пример белого шума вида

Тогда в установившемся режиме

Для нестационарного белого шума вида

получаем нестационарную дисперсию:

Пример 3.2.2. Рассмотрим типовой пример преобразования простейшей линейной системой простейшего сигнала. Итак, пусть имеется стационарный сигнал с , поступающий при t=0 на вход системы с передаточной функцией . Найдём дисперсию.

Характеристическое уравнение и корень: . Тогда . Согласно определению корреляционной функции (в установившемся режиме):

Найдём дисперсию в неустановившемся режиме:

Раскроем модуль и вычислим внутренний интеграл:

Тогда внутренний интеграл распадается на два :

Подставим это выражение во внешний интеграл:

В установившемся режиме, т.е. при имеем:

Дисперсия полезна тем, что во многих случаях позволяет получить оценку вероятности нахождения выходного процесса в необходимом диапазоне .

Особенно хороша ситуация для нормальных процессов. Так в случае нормального центрированного входного процесса ( ) установившаяся реакция также является нормальным центрированным процессом, для которого несложно подсчитать дисперсию. Функция распределения выходного нормального процесса