Метод проекционно-матричных операторов корреляционного анализа линейных стационарных и нестационарных систем автоматического управления

В отличие от предыдущего раздела, данный позволяет успешно решать задачу корреляционного анализа в случае нестационарных систем.

Пусть известно дифференциальное уравнение (1.28) нестационарной одномерной системы (или соответствующая структурная схема)

.

Пусть на вход поступает нестационарный же сигнал Y( t) с автокорреляционной функцией  и необходимо найти автокорреляционную функцию (в частности и дисперсию )  выходного сигнала.

Проекционными называются методы построения решения в подпространстве – линейной оболочке конечномерного подбазиса базиса бесконечномерного пространства: .

Рассмотрим входной  и выходной  случайные центрированные процессы, которые принадлежат этому пространству: . Рассмотрим линейный ограниченный оператор , который преобразует  в :

.                                                                   (1.7.1)

Разложим оба процесса по базису:

,                                                   (1.7.2)

.                                                  (1.7.3)

Здесь  – вектора коэффициентов Фурье по этому базису или спектральные характеристики, определяемые соотношением

  (1.7.4)

Коэффициенты Фурье выходного процесса  равны

(1.7.5)

Здесь используется непрерывность оператора A и скалярного произведения при изменении порядка их применения.

Последнее выражение представляет собой общий вид линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве со счётным базисом (дискретным) и является матрицей , со счётным числом строк и столбцов. Очевидно, что в качестве хорошего приближения оператора A  может выбираться его конечная подматрица, на которой и основан проекционно-матричный метод:

.                                                           (1.7.6)

В развёрнутом виде:

.                                (1.7.7)

Таким образом, получен матричный оператор A, связывающий спектральные характеристики входного и выходного сигналов:

.                                                                    (1.7.8)

Далее составим квадратичную форму от спектральных характеристик:

. (1.7.9)

Покажем, что математические ожидания в этой формуле являются преобразованиями Фурье корреляционных функций или спектральными характеристиками корреляционных функций

(1.7.10)

 

Аналогично

.                                                            (1.7.11)

Отсюда

.                                                             (1.7.12.)

Теперь с помощью обратного преобразования Фурье (двойного) получаем корреляционную функцию:

.                                        (1.7.13)

Отсюда получаем формулу для дисперсии

.                                 (1.7.14)

Аналогичные формулы можно написать для математических ожиданий

.                                                         (1.7.15)

.                                            (1.7.16)

Зависимость статистических характеристик можно записать не только с помощью спектральных характеристик, но и в интегральной форме:

  (1.7.17)

Функция  называется ядром Дирихле.

Из этой формулы можно найти и корреляционную функцию и дисперсию

.     (1.7.18)

.                         (1.7.19)

Заметим также, что используя импульсную передаточную функцию системы (ИПФ)  можно выразить корреляционную функцию выхода через корреляционную функцию входа подобным образом:

.                                  (1.7.20)

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: