Вывод уравнения Винера-Хопфа

Рассмотрим задачу оптимальной оценки  случайного центрированного полезного сигнала , зашумлённого помехой . Стандартный классический метод оценки полезного сигнала  связан с построением своей отдельной динамической системой, которую будем называть фильтром: отсюда происходит и название соответствующей научной области – фильтрация. В случае оптимального фильтра получаем оптимальную оценку .

Более строго, пусть на вход линейной динамической системы фильтра подаётся сигнал , а на выходе получается сигнал , который мы регистрируем. Возможное оптимальное значение получаемого сигнала, который является оптимальной оценкой входного сигнала , обозначим . В качестве критерия качества выбирается стандартный критерий среднеквадратичной ошибки – математическое ожидание квадрата ошибки (среднеквадратичное отклонение):

                 (3.3.2.1)

В случае стационарных сигналов и ошибка и критерий качества стационарны, т.е. не зависят от времени .

Могут рассматриваться три основные задачи оценки  вектора  в момент времени  по векторам  в разные моменты времени  (t – текущий момент времени):

–  – задача прогнозирования;

–  – задача фильтрации (получение текущей оценки);

–  – задача интерполяции (или сглаживания).

Здесь будет рассматриваться только задача фильтрации.

В нашем курсе будут рассмотрены два классических метода решения этой задачи:

– фильтр Винера (Колмогорова-Винера), основанный на решении уравнения Винера-Хопфа, и дающий это решение в явном аналитическом виде;

– фильтр Калмана-Бьюси, основанный на решении систем обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений, и реализованный в виде итеративной процедуры.

Для получения фильтра Винера сначала будем рассматривать этот фильтр в виде линейной динамической системы (ЛДС), заданной интегралом свёртки импульсной переходной функцией (ИПФ) с центрированным входом  и получаемой оценкой сигнала в виде

.                                                        (3.3.2.2)

Для такого вида сигнала  в критерии (3.3.2.1) минимизация производится по ядрам интегрального оператора свёртки :

.          (3.4.2.3)

Для оптимального фильтра  Винера получаем

.                                                       (3.4.2.4)

Рассмотрим идеальную импульсную переходную функцию (ИПФ), ,                                                        (3.4.2.5)

которая для чистого входного сигнала  при ИПФ в виде -функции даст его же :

 

.               (3.4.2.6)

Что не удивительно, так как в стационарном эргодическом случае спектральная плотность -функции .

Решение задачи в случае стационарной системы (линейной стационарной динамической системы (ЛСДС) и стационарных сигналов) даётся фильтром Винера в результате составления и решения уравнения Винера-Хопфа, с помощью передаточных функций в частотной области. Заметим, что кроме метода Винера существует и ряд других методов решения уравнения Винера-Хопфа и задачи в целом: неопределённых коэффициентов и т.д.

Получение фильтра Винера состоит из двух этапов: 1) вывод интегрального уравнения Винера-Хопфа, не использующий стационарность, 2) переход к стационарному случаю и частотному представлению задачи и получение факторизации интегрального уравнения. Следует заметить, что первый этап, несмотря на всю его важность, является достаточно стандартным, и основная заслуга Винера состоит в оригинальном методе факторизации частотной функции.

Итак, перейдём к получению уравнения Винера-Хопфа, определяющего оптимальную по критерию минимума средней квадратичной ошибки, импульсную переходную функцию (ИПФ). Ещё раз  приведём строгую постановку задачи фильтрации Винера:

- заданы взаимно некоррелированные, стационарные, эргодические, центрированные случайные процессы (СП) , с корреляционными функциями (КФ) и спектральными плотностями ;

- на вход стационарной динамической системы (ДС), описываемой неизвестной импульсной переходной функцией (ИПФ)  поступает аддитивная смесь  с взаимной корреляционной функцией  (рассматриваемой, как полезный сигнал и помеха, при этом из-за их некоррелированности: );

- задан критерий оптимальности вида ,

представляющий минимум по ИПФ среднеквадратичного отклонения (СКО) выходного сигнала  от реализации полезного случайного процесса .

Требуется найти оптимальную ИПФ  фильтра (ядро интегрального уравнения), выделяющую полезный сигнал .

Пусть, для упрощения выкладок, при t=0 система имеет нулевые начальные условия, тогда, согласно (3.3.2.2) ошибка имеет вид:

.                                                (3.4.2.7)

Следовательно, для математического ожидания квадрата

 (3.4.2.8)

Произведём вариацию оптимальной ИПФ  вида

.                                                    (3.4.2.9)

Тогда

                                                                                         (3.4.2.10)

Необходимым условием минимума этого выражения является равенство 0 производной по параметру  при :

.                                                                      (3.4.2.11)

Имеем минимальное значение  при

(3.4.2.12)

Поскольку здесь  может быть любой непрерывной функцией.

Это и есть интегральное уравнение 1-го рода Винера-Хопфа, которое часто записывается немного в других обозначениях (  вместо ):

.             (3.4.2.13)

Это же уравнение является и достаточным условием минимума, так как

,                        (3.4.2.14)

И действительно при  имеет место минимум.

До этого момента стационарность процессов и ДС не использовалась, что находит своё выражение в произвольном ядре  интегрального оператора, зависящего от двух переменных, и произвольном виде случайных процессов .

Впоследствии это же уравнение Винера-Хопфа будет отправной точкой при получении фильтра Калмана-Бьюси.

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: