Разные постановки задач оптимального синтеза

В данном научно-техническом направлении существует громадное количество точных постановок задачи оптимального управления, которые, в основном, группируются по двум направлениям: 1) собственно построение алгоритма управления, 2) оценка переменных (сигналов) и параметров системы в процессе функционирования. Фундаментальные результаты по обоим направлениям относятся к линейным системам: стационарным и нестационарным, скалярным и векторным. При этом стационарность и нестационарность касается как самих динамических систем, так и сигналов в них. Направление, ориентированное на оценку сигналов, получило название фильтрации. Основные классические результаты в нём были получены Колмогоровым в 1941 г. [5] и Винером в 1942 г. [6]. Фильтр Винера относиться к стационарным процессам и может быть получен разными методами, но наиболее изящным и удачным до сих пор является оригинальный метод Винера, использующий частотное представление линейной системы в терминах передаточных функций и случайных процессов в виде спектральных плотностей.

Фильтр Калмана относится и к нестационарным процессам и использует представление ДС в пространстве состояний и представление решения в виде решения обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений и рекуррентного алгоритма [7].

Теория нелинейной фильтрации намного сложнее и продолжает развиваться в настоящее время. В ней существует значительное число разнообразных громоздких инженерных методов, имеющих частное применение.

К первому направлению теории линейных динамических систем (построению алгоритма управления) относятся методы параметрической оптимизации систем с заданной структурой. Сама оптимизация обычно осуществляется методами численной оптимизации, например, градиентными методами. Сюда же относится и задача построения формирующего фильтра, рассмотренная ранее в п. 1.6.

Во втором направлении (оценка переменных и параметров системы в процессе функционирования) также используются методы параметрической оптимизации, но главными являются фундаментальные классические результаты Колмогорова, Винера, Калмана и Бьюси и их многочисленные обобщения. Фильтры Колмогорова-Винера позволяют построить оптимальные оценки зашумленного сигнала в стационарном случае, при этом результат формулируется в аналитическом виде теоремой Винера-Хопфа. Фильтр Калмана-Бьюси обобщает результаты Винера на нестационарные системы, но результат имеет менее компактную форму в виде алгоритма или решения дифференциального (разностного) алгоритма.

Нелинейные задачи часто связаны с проблемами обнаружения сигналов, их классификации, оценки сигналов и параметров сигналов в условиях разнообразных разнородных помех. Важным признаком нелинейной теории является отсутствие нормального распределения сигнала или помехи, а наиболее классическим методом – байесовский подход.

Задача оптимального управления может иметь аналогичную детерминированной задаче формулировку для стационарного случая, когда используется частотное представление в виде передаточных функций и спектральных плотностей для сигналов:

. (3.1.1)

Здесь приведено стандартное представление для входа , выхода  и передаточных функций объекта  и синтезируемого регулятора  разомкнутой системы. Особенность стохастичности состоит в том, что входной случайный сигнал состоит из суммы двух других случайных сигналов (процессов) : полезного сигнала, который требуется отработать и помехи. Часто для облегчения вычислений и получения более компактных и содержательных результатов эта помеха выбирается в виде гауссовского белого шума или его обобщений: цветного шума и т.п.

Чтобы получить явную зависимость ошибки от компонент входного сигнала перейдём (как и в детерминированном случае) к замкнутой системе:

 (3.1.2)

Задача оптимального управления формулируется как определение передаточной функции регулятора , минимизирующей среднюю квадратичную ошибку – в стохастическом случае минимизирующей дисперсию.

Оценками параметров динамической системы занимается идентификация стохастических систем. Это целое научное направление, формирование которого в значительной мере было стимулировано основополагающими работами Аоки М., Гропа Д., Дейча A.M., Льюнга JL, Медича Дж., Мелса Дж., Райбмана Р.С., Сейджа Э., Цыпкина Я.З. Эйкхоффа П. [8-15] и других. Идентификация динамических объектов в общем случае состоит в определении их структуры, оценке конструктивных и энергетических параметров системы, управляющих (входных) воздействий и характеристик вектора состояний объекта по наблюдаемым данным: входным воздействиям и выходным величинам.

В современной теории идентификация динамических систем выбор структуры объектов испытаний определяется, как правило, структурой настраиваемой модели, которая описывается уравнениями, описывающими основные закономерности объекта, либо соотношениями, содержащими измеряемые входные и выходные величины, характеризующие состояния динамического объекта. Степень сложности и полноты применяемых моделей определяется конкретными задачами исследований, а также той априорной информацией, которая нам известна об объекте. К этой априорной информации относится: порядок дифференциальных уравнений, описывающих процессы управления, случайных возмущений и состояния системы, точки приложения помех, длительность временных характеристик объекта и многое другое.

Таким образом, при идентификации объекта испытаний в определенном смысле возникает задача синтеза наилучшей настраиваемой модели на основе имеющейся априорной информации об объекте, которую можно представить следующими уравнениями в пространстве состояний аналогичными (1.4.1):

                                      (3.1.3)

Здесь  – вектор состояния объекта,  – вектор управления,  – вектор неконтролируемого, ненаблюдаемого возмущения,  – неизвестные конструктивные и энергетические параметры,  – выходной вектор, измеряемый с аддитивной помехой , которая обычно является гауссовским белым шумом с нулевым математическим ожиданием и матрицей интенсивности ,  – интервал наблюдения.

Разность измеренных  и полученных из модели  характеристик объекта образует невязку, которая определяет функцию потерь – часто используется квадратичная функция потерь. Близость настраиваемой модели к динамическому объекту характеризуется средними потерями, минимизация которых достигается изменением входных воздействий  и параметров  настраиваемой модели при помощи алгоритмов идентификации.

Вопросам оценивания и идентификации динамических систем посвящено значительное число работ, которые отличаются, прежде всего, используемым математическим аппаратом. Наибольшее распространение среди рассматриваемых методов оценки и идентификации динамических систем в последнее время получили методы фильтрации, которые будут подробно рассматриваться далее: фильтры Коломогорова-Винера и Калмана-Бьюси. Методы фильтрации позволяют идентифицировать не только функции управления  и параметры системы , но и определить оптимальную апостериорную оценку вектора состояний  в каждый момент времени . Для получения оптимальной оценки  в качестве критерия оптимальности наибольшее распространение получил критерий минимума среднего квадрата ошибки, в том числе представляющий собой частный вид байесовского критерия, в соответствии с которым оптимальной оценкой  является его условное математическое ожидание по наблюдению  на всем отрезке времени .

В теории статистически оптимальных методов оценки состояний стохастических систем выделяется два основных подхода для определения апостериорной плотности вероятности .

Первый подход основан на применении формулы Байеса, записываемой в виде интегрального выражения через неизвестную, так называемую весовую функцию, для определения которой составляется интегральное уравнение Винера. Он связан с решением интегрального уравнения Винера-Хопфа относительно весовой функции оптимального фильтра или нахождением оптимального фильтра, параметры которого находятся из решения дифференциального уравнения типа Рикатти. Этот подход был развит в работах Колмогорова А.Н., Винера Н., Калмана Р. и Бьюси Р. Достаточно подробно изложен в монографиях [68, 62, 49] в рамках корреляционной теории статистически оптимальных систем. На основе этого подхода решены самые разнообразные задачи.

Второй подход к оценкам состояния стохастических систем основан на определении апостериорной плотности вероятности состояния системы из решения интегро-дифференциального уравнения в частных производных. Начало теории нелинейной фильтрации было положено Котельниковом В.А. [31]. Существенным вкладом в развитие теории нелинейной фильтрации явились работы Стратоновича P.JI., которые позволили получить основополагающие результаты нелинейной фильтрации на основе развитой им теории условных Марковских процессов [56, 57]. Задаче нелинейной фильтрации посвящены также работы [35, 72]. Следует отметить, что поскольку принятые в теории Калмана-Бьюси случайные возмущения принадлежат классу гауссовских Марковских процессов, то результаты Калмана-Бьюси могут быть получены, как частные, применением теории условных Марковских процессов. Оптимизация наблюдаемых стохастических систем на основе теории Марковских процессов позволила также подойти к постановке и решению широкого класса нелинейных задач идентификации динамических систем на основе принципа максимума [18, 19, 22-24], динамического программирования [40, 64, 30] и функций Ляпунова и обобщенной работы [18, 22, 63].

Следует отметить, что в приведенных выше результатах по идентификации динамических стохастических систем достаточно полно решены проблемы идентификации линейных систем. Нелинейные стохастические системы исследованы в меньшей степени. Здесь в основном рассмотрены в отдельности задачи идентификации параметров систем, определение по наблюдениям программного управления и параметров закона управления по схеме обратной связи и задачи оценки компонент вектора состояний на основе нелинейной фильтрации.

Не исследованы достаточно полно задачи идентификации нелинейных стохастических систем более сложной структуры, учитывающих совместное оптимальное оценивание компонент вектора состояний системы и идентификацию параметров и управления системы с учетом ограничений, которые описывают различные требования, предъявляемые к системе. Обеспечение этих требований сужает множество состояний системы и допустимые области определения параметров системы и управления, обеспечивающих состояния системы, которые удовлетворяют заданным требованиям, и требуют привлечения нового математического аппарата для исследования задач идентификации.

Это обуславливает актуальность решения задач идентификации нелинейных стохастических систем с помощью идей и методов, используемых в общей теории экстремальных задач, математическом программировании и вариационном исчислении с тем, чтобы применить численные методы математического программирования и теории оптимальных процессов, для идентификации нелинейных стохастических систем с учетом ограничений, обусловленными требованиями к системе.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: