![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Статистический анализ одномерных линейных систем с использованием передаточных функций (анализ в частотной области)
Рассмотрим устойчивую стационарную линейную систему с передаточной функцией Согласно формуле (1.3.3.20) для корреляционной функции выходного сигнала с помощью импульсной переходной функции (ИПФ)
Спектральная плотность выходного сигнала равна
Или
Обратное преобразование Лапласа даёт корреляционную функцию
(1.5.4) Для дисперсии имеем:
Для белого шума плотности
Формулу для дисперсии (1.5.5) также можно упростить, если считать, что входной случайный процесс Y(t) имеет дробно-рациональную спектральную плотность:
Тогда дисперсия равна
Здесь Пример 1.5. Рассмотрим опять типовой пример преобразования простейшей линейной системой простейшего сигнала. Итак, пусть:
Сначала найдём спектральную плотность входного сигнала:
Теперь найдём дисперсию выходного сигнала:
Формирующие фильтры Во многих случаях построения систем управления необходимо уметь создавать случайные процессы с заданными статистическими характеристиками. Например, многие задачи и вычисления существенно упрощаются, если в качестве входного сигнала брать белый шум. Тогда возможным способом обобщения используемого метода является построение «формирующего фильтра», т.е. такого преобразования, которое преобразует белый шум в произвольный или требуемый случайный процесс. Формально такое построение осуществляется в рамках корреляционной теории и требует построения из белого шума случайного процесса с заданной корреляционной функцией Рассмотрим более простой, но и содержательный случай стационарного процесса и спектральных плотностей, и будем исходить из формулы преобразования спектральных плотностей при прохождении через линейную стационарную систему (1.5.3)
Рассмотрим белый шум и дробно-рациональную спектральную плотность. Поскольку для спектральной плотности коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе будут вещественными, то все комплексные корни распадаются на пары с одинаковыми вещественными частями и мнимыми частями с противоположными знаками (симметричными относительно вещественной оси). Тогда имеет место разложение (факторизация):
Здесь Следовательно
И, окончательно, можно взять
Пример 3.5.1. Сформируем случайный процесс со спектральной плотностью Разложим спектральную плотность на комплексно-сопряженные множители
Тогда для единичного белого шума передаточная функция формирующего фильтра имеет вид
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-03-22; Просмотров: 336; Нарушение авторского права страницы