Статистический анализ одномерных линейных систем с использованием передаточных функций (анализ в частотной области)

Рассмотрим устойчивую стационарную линейную систему с передаточной функцией  и входной стационарный случайный процесс  со спектральной плотностью . Найдём спектральную плотность и дисперсию выходного сигнала   в установившемся режиме.

 Согласно формуле (1.3.3.20) для корреляционной функции выходного сигнала с помощью импульсной переходной функции (ИПФ)

.                                 (1.5.1)

Спектральная плотность выходного сигнала равна

(1.5.2)

Или

.                           (1.5.3)

Обратное преобразование Лапласа даёт корреляционную функцию         

.

(1.5.4)

Для дисперсии имеем:

.            (1.5.5)

Для белого шума плотности

.                                                            (1.5.6)

Формулу для дисперсии (1.5.5) также можно упростить, если считать, что входной случайный процесс Y(t) имеет дробно-рациональную спектральную плотность:

(1.5.7)

Тогда дисперсия равна

(1.5.8)

Здесь  – так называемый «стандартный интеграл», для которого существуют рекуррентные формулы для его вычисления, .

Пример 1.5. Рассмотрим опять типовой пример преобразования простейшей линейной системой простейшего сигнала. Итак, пусть:

, .

Сначала найдём спектральную плотность входного сигнала:

.

Теперь найдём дисперсию выходного сигнала:

.

Формирующие фильтры

Во многих случаях построения систем управления необходимо уметь создавать случайные процессы с заданными статистическими характеристиками. Например, многие задачи и вычисления существенно упрощаются, если в качестве входного сигнала брать белый шум. Тогда возможным способом обобщения используемого метода является построение «формирующего фильтра», т.е. такого преобразования, которое преобразует белый шум в произвольный или требуемый случайный процесс. Формально такое построение осуществляется в рамках корреляционной теории и требует построения из белого шума случайного процесса с заданной корреляционной функцией  или c заданной спектральной плотностью .

Рассмотрим более простой, но и содержательный случай стационарного процесса и спектральных плотностей, и будем исходить из формулы преобразования спектральных плотностей при прохождении через линейную стационарную систему (1.5.3)

.

Рассмотрим белый шум и дробно-рациональную спектральную плотность. Поскольку для спектральной плотности коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе будут вещественными, то все комплексные корни распадаются на пары с одинаковыми вещественными частями и мнимыми частями с противоположными знаками (симметричными относительно вещественной оси). Тогда имеет место разложение (факторизация):

.         (1.6.1)

Здесь  имеет все нули и полюсы в верхней полуплоскости, а  – в нижней. При этом выбор в качестве аргумента  в формуле (1.6.1) приводит к соотношению .

Следовательно

.  (1.6.2)

И, окончательно, можно взять

.                                                                (1.6.3)

Пример 3.5.1. Сформируем случайный процесс со спектральной плотностью  (и корреляционной функцией ).

Разложим спектральную плотность на комплексно-сопряженные множители

.

Тогда для единичного белого шума передаточная функция формирующего фильтра имеет вид

.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: