Задачи Сопротивления Материалов

Задачи Сопротивления Материалов

Твердые тела при воздействии на них с какой-либо силой могут изменять свою форму и размеры, т. е. деформироваться. Если после снятия нагрузки тело возвращает свое первоначальное состояние, то деформацию называют упругой. Если после снятия нагрузки тело остается деформированным, то говорят о пластической (остаточной) деформации. На практике остаточные деформации, возникающие в элементах, говорят о нарушении нормальной работы конструкции. При создании машин и сооружений необходимо выбрать материал и размеры деталей таким образом, чтобы при воздействии внешних сил сооружения не подвергались разрушению и остаточной деформации, т. е. были достаточно прочными. Прочностью называют способность тел выдерживать воздействие внешних сил без разрушения и возникновения опасных последствий. На практике все конструкции и сооружения испытывают на себе упругие деформации. Если при достижении некоторого критического значения внешних воздействий конструкция перестает нормально функционировать, хоть и обладает необходимой прочностью, то говорят о недостаточной жесткости такой конструкции. Следовательно, жесткость – это способность тела сопротивляться влиянию упругой деформации. Также под воздействием внешних воздействий тела могут изменять свою форму и оставаться в таком положении. При проектировании необходимо подбирать размеры так, чтобы возникающие в элементах упругие перемещения не нарушали общей работы конструкции или сооружения. Способность тел сохранять устойчивое равновесие называют упругостью. Поэтому можно сказать, что основной задачей предмета «Сопротивление материалов» является расчет элементов конструкций и сооружений, обеспечивающий им прочность, жесткость и устойчивость. Сопротивление материалов – расчетно-теоретическая дисциплина. Для определения внешних сил, действующих на элементы конструкций и детали машин в эксплуатации, используют методы теоретической механики, в основном статики, в которых рассматривается равновесие абсолютно твердого тела. Составляя уравнения равновесия, допустимо заменять одну систему сил другой, эквивалентной ей, переносить силы вдоль линии их действия или заменять силы их равнодействующими, но в некоторых случаях такие упрощения могут быть причиной ошибочных расчетов. Поэтому все основные положения сопротивления материалов подвергаются многократным экспериментальным исследованиям и дополнениям. В некоторых случаях теоретический расчет оказывается настолько сложным, что приходится изготавливать модель проектируемой конструкции и подвергать ее испытаниям, чтобы получить данные о характере и величине деформаций.

Классификация внешних Сил

Любой элемент конструкции можно рассматривать как самостоятельный, если воздействие остальных элементов считать силами внешнего воздействия. К внешним силам относят как силы, действующие со стороны других элементов, так и реакции связей (опор). Действующую на тело систему сил принято называть нагрузкой.  Внешние силы принято делить на объемные т. е.. Распределенные по всему объему, и поверхностные, действующие только на поверхность рассматриваемого элемента. Поверхностные силы в свою очередь подразделяются: сосредоточенные и распределенные по поверхности элемента или по длине элемента. Если сила передается на деталь по площадке, размеры которой пренебрежимо малы в сравнении с площадью всего элемента конструкции, силу считают сосредоточенной. Это упрощение служит для облегчения расчетов. Распределенные по поверхности нагрузки характеризуются давлением, т. е. отношением силы, действующей на элемент нормально к нему, к площади данного элемента. Распределенная по длине нагрузка характеризуется интенсивностью, выражаемой единицей силы, отнесенной к единице длины. Сосредоточенные силы измеряются в ньютонах (H), распределенные по поверхности (давление) – в паскалях, распределенные по длине (интенсивность нагрузки q) – в ньютонах на метр (Н/м).  Также нагрузки подразделяются по характеру изменения во времени.  Статические нагрузки характеризуются постоянством во времени.  Динамические нагрузки, абсолютное значение, направление и место приложения которых изменяются во времени. Такие нагрузки могут быть кратковременными или действующими продолжительно и изменяющимися по какому-либо закону.  Реакция этой опоры проходит через центр шарнира, ее направление зависит от действующих сил. Вместо отыскания числового значения и направления этой реакции удобнее найти две ее составляющие.

Расчет Сварных Соединений

Самый распространенный способ соединения стальных конструкций – это сварка.  Существует несколько видов сварных соединений, но наиболее часто используются стыковой и нахлесточный.

Стыковое соединение заключается в том, что пространство между соединяемыми элементами заполняется расплавленным металлом. При таком соединении предполагается, что напряжение равномерно распределяется по всей длине шва. Прочность определяется следующим неравенством:

где σw – нормальное напряжение в шве;

N – расчетная продольная сила в соединяемых элементах;

Aw – площадь продольного сечения шва;

tmin – толщина более тонкого элемента;

lw – расчетная длина шва;

Rwy – расчетное сопротивление растяжению (сжатию);

γс – коэффициент условий работы соединяемых элементов.

Прочность стыка на растяжение уступает прочности основных соединяемых элементов, так как если качество сварки недостаточно велико, в шве могут появиться дефекты (поры, включения). Поэтому на практике часто встречается косой стык, который увеличивает длину шва. Экспериментально установлено, что если угол стыка α ≤ 67°, то такой шов почти не уступает в прочности основному материалу соединяемых частей. Проверка прочности при косом стыке проводится по нормальным и касательным напряжениям. При нахлесточном соединении соединяемые поверхности располагаются под углом друг к другу, полученный угол заливается расплавленным металлом. Расположенные перпендикулярно к действию усилия швы называются лобовыми, расположенные параллельно – фланговыми. Предполагается, что напряжение среза равномерно распределяется по расчетному сечению углового шва. Условие прочности выглядит следующим образом:

В этом неравенстве ΣAwf – расчетная площадь среза угловых швов в соединении, βf – коэффициент глубины провара шва, kf – толщина углового шва, Σlw – расчетная сумма длин угловых швов соединения, Rwf – расчетное сопротивление соединения условному срезу, γwf – коэффициент условий работы шва (обычно принимается равным единице).  Применение легирования для упрочнения швов порой приводит к тому, что несущая способность соединения определяется основным металлом, прочность которого меньше, чем у шва. Проводится дополнительный расчет на прочность:

Приведенные формулы справедливы как для лобовых, так и для фланговых швов.

Напряжения при кручении

Распределение касательных напряжений

 

Максимальное касательное напряжение

 

Геометрические характеристики круглых сплошных сечений вала:

- полярный момент инерции

 

- полярный момент сопротивления

Деформации вала

Угол закручивания:

- относительный

 

- абсолютный

 

Условия прочности и жесткости вала

Расчет вала при кручении сводится к одновременному удовлетворению двух условий:

- условия прочности:

 

- условия жесткости:

 В инженерной практике довольно часто кручению подвергаются стержни, имеющие не круглое, а прямоугольное, треугольное, эллиптическое и другие сечения. В этих случаях гипотеза плоских сечений неприменима, так как сечения искривляются (депланируют). Точные расчеты стержней некруглого сечения можно получить методами теории упругости. Однако поскольку в настоящем курсе нет возможности их изложить, приведем здесь только некоторые окончательные результаты. Отметим при этом, что в стержнях произвольного сечения, как и в стержнях круглого сечения, касательные напряжения при кручении направлены по касательной к контуру. Наибольшие касательные напряжения, погонные и полные углы закручивания по аналогии с кручением стержней круглого сечения принято определять по формулам

(5.22)

(5.23)

Здесь и — некоторые геометрические характеристики, которые условно называют моментом инерции при кручении и моментом сопротивления при кручении, см⁴ и см³соответственно. Наиболее часто встречается стержни прямоугольного сечения. В этом случае распределение касательных напряжений имеет вид, показанный на рис.5.9. Наибольшие напряжения возникают у поверхности посредине длинных сторон прямоугольного сечения (в точках С и D). Определяются они по формуле (5.22), где

. (5.24)

Здесь - длинная сторона прямоугольного поперечного сечения;

- короткая ее сторона. Напряжения, возникающие у поверхности сечения посредине коротких сторон (в точках А и В), меньше. Их можно выразить через следующим образом:

(5.25)

Рис. 5.9

Для определения относительного угла закручивания прямоугольного сечения в формуле (9.29) принимают

(5.26)

Коэффициенты , и , зависящие от отношения , даны в табл. 5.1.

Таблица 5.1

1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0	0,208 0,231 0,239 0,246 0,256 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333	0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333	0,859 - 0,795 - 0,453 0,745 0,743 0,743 0,743 0,743

Запишем условия прочности и жесткости для прямоугольного сечения:

; (5.26)

; (5.27)

25. Дайте определение балке и назовите три типа основных опор. Приведите пример вычисления реакций опор для нагруженной балки.

Опоры балок, рассматриваемые как плоские системы, бывают 3 основных типов:

1. Шарнирно-подвижная опора

Такая опора не препятствует вращению конца балки и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через центр катка.

2. Шарнирно-неподвижная опора

Такая опора допускает вращения конца балки, но устраняет поступательное перемещение ее в любом направлении. Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную.

3. Жесткая заделка или защемление

Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре может в общем случае возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (вертикальную и горизонтальную) и момент защемления (реактивный момент). Консоль или консольная балка–балкас одним заделанным концом. Балка статически определимая–если опорные реакции могут быть найдены из числа уравнений статики. Балка статически неопределимая–если число неизвестных опорных реакций больше, чем число уравнений статики возможных в данной задаче. Для определения реакций в таких балках приходится составлять дополнительные уравнения – уравнения перемещений. Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил. Поперечная сила Qв сечении балки считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена внизу вверх, а справа – сверху вниз. Изгибающий момент М в сечении балки считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз. В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция. Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:

Условие используется для проверки вычисленных значений опорных реакций.

Пример 5.Построить эпюры для балки с шарнирным опиранием (рис.8).

Порядок расчета.

1. Вычисляем реакции опор.

Проверка:

2. Намечаем характерные сечения.

В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.

3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.

Строим эпюру .

4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.

Рис. 8

Строим эпюру

Пример 6. Построить эпюры и для балки на двух опорах с консолью (рис.9,а)

Порядок расчета.

1. Вычисляем опорные реакции.

Во втором уравнении равновесия (впрочем, как и в первом) момент от распределенной нагрузки вычислен без разбиения ее на две части - слева и справа от опоры В, то есть определена равнодействующая нагрузки - ×3, ее положение (в середине участка с распределенной нагрузкой), что позволяет определить плечо равнодействующей относительно опоры В и направление создаваемого ею момента. В то же время можно было в уравнении равновесия учитывать отдельно части нагрузки , приложенные слева и справа от опоры В; при этом второе уравнение равновесия имеет вид:

Рис.9

Вычисленное из этого уравнения значение реакции , разумеется, совпадает с полученным ранее.

Проверка:

2. Намечаем характерные сечения.

3. Вычисляем поперечную силу и изгибающий момент в характерных сечениях.

Из рассмотрения левой отсеченной части:

Для сечений 5-7 удобнее рассматривать правую отсеченную часть:

По вычисленным значениям строим эпюры и (рис.9,б,в).

1.11 Правила контроля эпюр Q_у и M_x

Дифференциальные зависимости между определяют ряд закономерностей, которым подчиняются эпюры и .  Эпюра является прямолинейной на всех участках; эпюра - криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке , и прямолинейная на всех остальных участках. Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре обязателен скачок на величину момента.  Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра пересекает ось , то эпюра в этом сечении имеет экстремум.  На участках с поперечной силой одного знака эпюра имеет одинаковую монотонность. Так, при эпюра возрастает слева направо; при - убывает.  Порядок линии на эпюре всегда на единицу меньше, чем на эпюре . Например, если эпюра - квадратная парабола, то эпюра на этом участке - наклонная прямая; если эпюра - наклонная прямая, то эпюра на этом участке - прямая, параллельная оси; если (прямая, параллельная оси), то на этом участке .

Решение.

1) Проведем две оси, параллельные оси балки (одну для эпюры Q_Y, вторую для эпюры M_X).

2) Балка имеет один участок загружения.

3) Строим эпюру Q_Y. Сделаем сечение (1), отбросим жесткую заделку. Учитывая правило знаков, получим . В сечении (2) получим . Силы , так как сила F поворачивает оставшуюся часть балки вокруг сечения по часовой стрелке (рис.2,а).

Положительные значения поперечной силы откладывают всегда выше оси. Соединим их прямой линией, поставим знак, эпюру заштрихуем, обозначим.

4) Строим эпюру М_Х. Сделав сечение и отбросив часть с жесткой заделкой, сосчитаем момент от силы F относительно сделанного сечения. Получим . Для эпюры изгибающих моментов принимается следующее правило: значения моментов откладываются от оси в сторону растянутого волокна. Из рис.2,б, следует, что сила F растягивает верхние волокна, поэтому полученное значение М_Х откладываем выше оси. Соединяем отложенные значения прямой линией. Знак на эпюре изгибающих моментов можно не ставить. Эпюру штрихуем и обозначаем.

5) Проверка эпюр. К балке не приложена распределенная нагрузка, следовательно, на графиках Q_Y и М_Х имеем прямые линии, причем на эпюре Q_Y это прямая, параллельная оси. На свободном конце балки приложена сосредоточенная сила F = 6кН в этом сечении на эпюре Q_Y образовался скачок, равный 6. Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. Для получения балки минимальной материалоемкости нужно стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем материала работал при напряжениях, равных допускаемым или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение балки при изгибе должно удовлетворять условию равно прочности растянутой и сжатой зон балки. Иными словами необходимо, чтобы наибольшие напряжения растяжения (max ) н наибольшие напряжения сжатия (max ) одновременно достигали допускаемых напряжений и . Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково работающего на растяжение и сжатие: ), условие равно прочности выполняется для сечений, симметричных относительно нейтральной оси. К таким сечениям относится, например, прямоугольное сечение, при котором обеспечено условие равенства . Однако в этом случае материал, равномерно распределенный по высоте сечения, плохо используется в зоне нейтральной оси. Чтобы получить более рациональное сечение, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра горизонтальных массивных листа, соединенные стенкой (вертикальным листом), толщина которой назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости. К двутавра сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение (рис. 26, в).

Рис. 26. Распределение нормальных напряжений в симметричных сечениях

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие (рис. 27):

 которое вытекает из требования

Рис.27. Распределение напряжений несимметричного профиля сечения балки.

Идея рациональности поперечного сечения стержней при изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из рядовых и легированных конструкционных высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение в строительстве, машиностроении, авиационном машиностроении. Широко распространены показанные на рис. 27: а—двутавр, б— швеллер, в — неравнобокий уголок, г—равнобокий уголок. Реже встречаются тавр, таврошвеллер, зетовый профиль и др.

Рис.11. Используемые профили сечений: а) двутавр, б ) швеллер, в) неравнобокий уголок, г) равнобокий уголок

29.Правило знаков для поперечной силы Q и изгибающего момента Mx при изгибе. Посторение эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента Mx (привести пример).

При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов возникающих при изгибе следует придерживаться следующего правила знаков: Правило знаков для поперечных сил. Если внешняя сила стремиться повернуть балку по часовой стрелке, то поперечную силу считаем положительной. Эпюру откладываем выше нулевой линии со знаком плюс. Если сила поворачивает балку против часовой стрелки, то поперечная сила будет отрицательной, и на эпюре будет откладывать ниже нулевой линии.

Пример 1.

Построить эпюры внутренних усилий Q_y, M_x для балки (см. рис.).

а) б)

Решение.

1. Определение опорных реакций

Из уравнений равновесия

находим

.

2. Определение Q_y, M_x методом сечений (рис. б) и построение эпюр

Из уравнений равновесия отсеченных частей балки находим

По полученным значениям строим эпюры (рис. а). Отметим, что сосредоточенный момент не повлиял на характер эпюры Q_y. На эпюре моментов сосредоточенный момент вызвал скачок на величину этого момента. Наклон прямых на эпюре моментов одинаков, что соответствует правилу Журавского.

 

Задачи Сопротивления Материалов

Твердые тела при воздействии на них с какой-либо силой могут изменять свою форму и размеры, т. е. деформироваться. Если после снятия нагрузки тело возвращает свое первоначальное состояние, то деформацию называют упругой. Если после снятия нагрузки тело остается деформированным, то говорят о пластической (остаточной) деформации. На практике остаточные деформации, возникающие в элементах, говорят о нарушении нормальной работы конструкции. При создании машин и сооружений необходимо выбрать материал и размеры деталей таким образом, чтобы при воздействии внешних сил сооружения не подвергались разрушению и остаточной деформации, т. е. были достаточно прочными. Прочностью называют способность тел выдерживать воздействие внешних сил без разрушения и возникновения опасных последствий. На практике все конструкции и сооружения испытывают на себе упругие деформации. Если при достижении некоторого критического значения внешних воздействий конструкция перестает нормально функционировать, хоть и обладает необходимой прочностью, то говорят о недостаточной жесткости такой конструкции. Следовательно, жесткость – это способность тела сопротивляться влиянию упругой деформации. Также под воздействием внешних воздействий тела могут изменять свою форму и оставаться в таком положении. При проектировании необходимо подбирать размеры так, чтобы возникающие в элементах упругие перемещения не нарушали общей работы конструкции или сооружения. Способность тел сохранять устойчивое равновесие называют упругостью. Поэтому можно сказать, что основной задачей предмета «Сопротивление материалов» является расчет элементов конструкций и сооружений, обеспечивающий им прочность, жесткость и устойчивость. Сопротивление материалов – расчетно-теоретическая дисциплина. Для определения внешних сил, действующих на элементы конструкций и детали машин в эксплуатации, используют методы теоретической механики, в основном статики, в которых рассматривается равновесие абсолютно твердого тела. Составляя уравнения равновесия, допустимо заменять одну систему сил другой, эквивалентной ей, переносить силы вдоль линии их действия или заменять силы их равнодействующими, но в некоторых случаях такие упрощения могут быть причиной ошибочных расчетов. Поэтому все основные положения сопротивления материалов подвергаются многократным экспериментальным исследованиям и дополнениям. В некоторых случаях теоретический расчет оказывается настолько сложным, что приходится изготавливать модель проектируемой конструкции и подвергать ее испытаниям, чтобы получить данные о характере и величине деформаций.

12345678Следующая ⇒

Поделиться: