Определение углов поворота и прогибов по приближенному дифференциальному уравнению изогнутой оси балки. Нахождению постоянных интегрирования С И D.

Определение прогибов и углов поворота поперечного сечения балки определяют с помощьюуниверсального уравнения изогнутой оси балки (универсального уравнения упругой линии балки). Формула (закон изменения) прогиба балки в сечении с координатой z и угол поворота сечения (рис. 7.15):

a и b – абсциссы точек приложения сосредоточенного момента M и сосредоточенной силы P, соответственно; c и d – координаты начала и конца участка, нагруженного распределенной нагрузкой.

В формулы входят только внешние усилия, которые расположены левее сечения, в котором определяются перемещения балки. Если какая-нибудь нагрузка имеет противоположное указанному на рисунке 7.15 направление, то у соответствующих слагаемых в формулах прогибов и углов поворота сечений следует поменять знак на противоположный. Прогиб и угол поворота балки в начале координат (начальные параметры) определяются из условий закрепления балки. УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ БАЛКИ НА ПРИМЕРЕ:

Определим прогиб балки на консоли при м, то есть . Запишем универсальное уравнение упругой линии балки:

Прогиб балки в начале координат (на левой шарнирной опоре), равен нулю: . Для определения угла поворота в начале координат необходимо составить дополнительное условие: прогиб на правой опоре равен нулю.

,

.

Прогиб консоли при z=6м:

Знак «минус» говорит: прогиб балки на консоли происходит вниз. Число, стоящее в числителе, измеряется в килоньютонах на метр в кубе (кН·м3). Примерный вид упругой линии балки показан на рис. 7.16. Упругая линия балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов подифференциальным зависимостям. Точка перегиба находится под сечением балки, в котором изгибающий момент равен нулю, что следует из закона Гука при изгибе. Определение постоянных интегрирования производится на заключитель­ном этапе расчета переходного процесса, когда остальные составляющие реше­ния уже найдены. Постоянные интегрирования определяются путем подста­новки в решение для искомой функции соответствующих начальных условий. Пусть решение для искомой функции i(t) содержит только одну постоян­ную интегрирования:

Постоянная интегрирования находится путем подстановки в решение на­чального условия для самой функции, т.е. i(0):

. Пусть решение для искомой функции i(t) содержит две постоянных ин­тегрирования и имеет вид:

Постоянные интегрирования в этом случае находятся путем подстановки в решение начальных условий для самой функции i(0) и для ее первой произ­водной :

В результате совместного решения этой системы уравнений определяют искомые постоянные интегрирования А₁ и А₂ . Последовательность выполнения отдельных этапов расчета переходных процессов классическим методом показана ниже в виде диаграммы.

 

Примечания: 1. Выполнение всех этапов, обозначенных в диаграмме клетками, является обязательным и необходимым.

2. Выполнение первых пяти этапов, находящихся в верхнем горизонталь­ном ряду диаграммы, может производиться в любой последовательности, так как они не зависят друг от друга.

Пример. Для схемы рис. 132 с заданными параметрами элементов: Е=100 В, R=50 Ом, R₁=20 Ом, R₂=30 Ом, С=83,5 мкФ, определить ток i₁ после комму­тации.

 

1)Общий вид решения для искомой функции:

2)Определение установившейся составляющей из расчета схемы после коммутации:

А

3)Характеристическое уравнение и его корень:

, с^-1

4)Независимое начальное условие u_с(0) из расчета схемы до коммутации:

В

5)Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации:

(1)

(2)

(3)

6)Начальное условие i₁(0), необходимое для определения постоянной ин­тегрирования из уравнения (1):

А

7)Определение постоянной интегрирования:

А

8)Решение для искомой функции:

9)Графическая диаграмма искомой функции i₁(t) показана на рис. 133:

 

9. Операторный метод расчета переходных процессов

Если система дифференциальных уравнений, которыми описывается пе­реходной процесс в схеме, решается операционным методом, то и сам метод расчета переходного процесса также называется операционным или оператор­ным. Сущность операторного метода состоит в том, что на 1-ом этапе действи­тельные функции времени i(t), u(t), называемые оригиналами, заменяются неко­торыми новыми функциями I(p),U(p), называемыми операторными изображе­ниями. Соответствие между оригиналом функции f(t) и ее операторным изобра­жением F(p) устанавливается на основе прямого преобразования интеграла Ла­пласа:

или ,

где Û - знак соответствия; p=s+jw - комплексный оператор Лапласа. Если s = 0, то p= jw, и преобразование Лапласа превращается в преобра­зование Фурье, которое лежит в основе комплексного метода расчета цепей пе­ременного тока. Преобразование Лапласа позволяет заменить операции 2-го рода над ори­гиналами функций (дифференцирование и интегрирование) на операции 1-го рода (умножение и деление) над операторными изображениями этих функций. Расчет переходных процессов операторным методом условно выполня­ется в 3 этапа. На 1-м этапе расчета система дифференциальных уравнений, составлен­ная по законам Кирхгофа для оригиналов функций, после применения преобра­зования Лапласа превращается в систему алгебраических уравнений для опера­торных изображений этих функций. На 2-ом этапе выполняется решение системы алгебраических оператор­ных уравнений относительно искомой функции, в результате чего получают выражение искомой функции в операторной форме F(p). На заключительном 3-м этапе выполняется обратный переход от найден­ного операторного решения для искомой функции F(p) к соответствующей ей функции времени f(t), т. е. Выполняется переход от изображения функции F(p)к ее оригиналу f(t). Теоретически обратный переход от операторного изображения функции F(p)к ее оригиналу f(t) устанавливается на основе обратного преобразования Лапласа:

.

На практике для обратного перехода используются более простые и удоб­ные методы, а именно: формула разложения и таблицы соответствия.

33. Метод начальных параметров для определения перемещений при изгибе. Универсальные уравнения углов поворотов и прогибов для балки, имеющей несколько грузовых участков. (см. в тетради).

В этой статье будут рассмотрены всю нюансы метода начальных параметров на нескольких примерах балок работающих на изгиб. Начнем со знакомством с универсальной формулой, которая используется в этом методе. Возьмем балку, нагруженную сосредоточенной силой и моментом, а также распределенной нагрузкой.

Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки.

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат.

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа, тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа придет с опытом решения задач на метод начальных параметров. После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем формулу для определения прогиба (вертикального перемещения) свободного торца балки:
Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать. E – модуль упругости, I – момент инерции, V_k – прогиб сечения K, V₀ – прогиб сечения О, ₀ – угол поворота сечения О. Основных закономерностях этой формулы и как записать ее для любого сечения, для любой балки постоянного сечения. Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В ней всегда учитывается прогиб сечения совпадающего с нашей базой EIV₀.

Произведение EIθ₀ всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого высчитывается, в нашем примере это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках у нас расстояния от базы до сечения отнимается расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом.

В случае с моментами скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелки и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы пытаемся вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало. Причем не важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения. Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил.

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: V_K, V₀ и θ₀. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть V₀=0 и θ₀=0, это и есть так называемыеначальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K. Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в следующей статье посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах. Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров. Как известно, при изгибе поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью. Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

сли на балку действует сложная нагрузка (рис. VII. 4), то в этом случае на разных участках закон изменения изгибающих моментов будет выражаться различными уравнениями. Дифференциальное уравнение изогнутой оси придется составлять для каждого участка.

Число постоянных интегрирования будет равно удвоенному числу участков. Для определения этих постоянных всегда можно составить достаточное число уравнений, используя условия на опорах балки и условия на концах смежных участков, где прогибы и углы поворота равны между собой. Однако такой способ решения очень сложен. Более простой способ решения получается, если вместо неопределенного интегрирования уравнения (VII.5) применить способ определенного интегрирования. При этом удается достигнуть удобной графоаналитической интерпретации решения.

Рассмотрим снова дифференциальное уравнение (VII.5). Проинтегрируем его один раз в пределах от нуля до z, приняв пока ЕI = const:

(VII.12)

где dA = Mdz – дифференциал площади эпюры М (рис. VII.5).

Выполнив интегрирование, получим из (VII. 12)

или (VII.13)

Здесь А (z) =А' – отсеченная площадь эпюры М, т.е. площадь эпюры, расположенная между началом координат и текущим сечением, в котором определяются перемещения; А (0) – отсеченная площадь для сечения, проходящего через начало координат, очевидно, равная 0. Уравнение (VI 1.13) перепишем в виде (VII.14)

Проинтегрируем это уравнение от 0 до z:

. (VII.15)

Здесь dS = A(z) dz – дифференциал статического момента отсеченной площади эпюры М. После интегрирования из (VII.15) получим

(VII. 16)

где статический момент отсеченной площади эпюры М относительно текущего сечения; S(0) – статический момент отсеченной площади эпюры М относительно сечения, проходящего через начало координат. Он равен нулю, так как A(0) =0.

Таким образом, для определения угловых и линейных перемещений при изгибе имеем формулы (VII.13) и (VII.16).

Если балка имеет различную жесткость на разных участках, то вместо формул (VII.13) и (VII.16) аналогично получим

(VII.17)

(VII.18)

где А'_red – приведенная отсеченная площадь эпюры моментов, т. е. эпюры, ординаты которой поделены на EI. S¢_red – статический момент относительно текущего сечения приведенной отсеченной площади эпюры моментов.

В табл. VII.1 приведены наиболее часто встречающиеся эпюры изгибающих моментов с указанием их площадей и положения центра тяжести (z_с).

Таблица VII.1

Вид эпюры	Площадь эпюры	Расстояние от центра тяжести zс
	hl	½ l
	½ hl	2/3 l
	1/3 hl	¾ l
	2/3 hl	5/8 l

 

Правило знаков при пользовании формулами (VII.13) и (VII.16), а также формулами (VII.17) и (VII.18) следующее: 

площадь А' принимается положительной, если эпюра М положительна;

площадь А' принимается отрицательной, если эпюра М отрицательна.

cтатический момент S¢_m.n принимается положительным, если А' положительна; статический момент S¢_m.nсчитается отрицательным, если А' отрицательна. Если жесткость балки постоянна, то формулы (VII.13) и (VI1.16) можно представить в аналитической форме. Сделаем это для трех типов внешних сил, представленных на рис. VII.4. Строим эпюры изгибающих моментов от каждой нагрузки от-дельно. По формулам (VII.13) и (VII.16) получим непосредственно следующие формулы, вычисляя площади и статические моменты (относительно текущего сечения) отсеченных площадей эпюр:

(VI1.19)

(VI1.20)

При одновременном действии нескольких внешних сил уравнения для определения углов поворота и прогибов (на основании принципа независимости действия сил) имеют следующий вид:

(VI1.21)

(VII.22)

Эти уравнения называют универсальными уравнениями изогнутой оси балки. В них включены со своими знаками все внешние силы (включая опорные реакции), расположенные между началом координат и сечением с абсциссой z, в котором определяются перемещения. Внешние силы, показанные на рис. VII.4, включают в универсальные уравнения со знаком плюс, противоположно направленные внешние силы – со знаком минус.

Важно заметить, что последний член этих уравнений справедлив только в том случае, если распределенная нагрузка не обрывается ранее того сечения, где определяется u или J. Если же нагрузка обрывается, то следует продолжить ее до данного сечения, одновременно добавив нагрузку, равную по абсолютному значению, но обратного направления (рис. VII.6). Недостаток универсальных уравнений состоит в том, что их нельзя непосредственно использовать для определения перемещений в балках, имеющих различную жесткость ЕI на разных участках. В этих случаях следует применять общий метод определения перемещений – метод Мора (см. дальше) или пользоваться формулами (VII.17) и (VII.18).

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться: