Гипотезы, применяемые при расчете на кручение валов круглого и кольцевого поперечных сечений. Формулы для вычисления напряжений и деформаций при кручении круглых валов.

Под кручением стержня понимается такой вид нагружения, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент М_кр, а в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения τ. (Прочие силовые факторы, т.е. N_z, Q_x, Q_y, M_x, M_y – равны нулю). Валом называется – стержень, работающий на кручение. При расчете стержня (вала) на кручение требуется решить две основные задачи: прочность и жесткость. Если система является статически неопределимой, то необходимо раскрыть статическую неопределимость. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент М_кр направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным. Кручение стержней круглого и кольцевого поперечных сечений. Наиболее просто получить решение для вала с круглым поперечным сечением. Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить следующим образом. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол φ как жесткое целое. Данное предположение, заложенное в основу теории кручения круглого стержня, носит название гипотезы плоских сечений. Касательные напряжения τ_ρ в любой точке поперечного сечения стержня, находящейся на расстояние ρ от центра: ,где - полярный момент инерции сечения. Для круглого поперечного сечения: , гдеd – диаметр круга, для стержня кольцевого сечения: , где D и d – наружный и внутренний диаметр соответственно.

Максимальные касательные напряжения при кручении t _max действуют на поверхности сечения (ρ = ρ_max= d/2) и равны: , где:М_кр– крутящий момент в сечении; –(полярный) момент сопротивления сечения. Для стержня круглого и кольцевого сечения полярный момент сопротивления сечения можно определить по формуле - .

Угол закручивания вала длиной l будет равен: , гдеG – модуль сдвига материала (модуль упругости второго рода), величина - называется жесткостью вала при кручении. Если вал состоит из нескольких участков, то угол закручивания всего вала будет равен сумме углов закручивания его участков: . Помимо расчетов на прочность, валы рассчитывают также и на жесткость, ограничивая относительные углы закручивания: некоторой допускаемой величиной -[Θ]. Условие жесткости вала при кручении имеет вид: .

Кручение некруглых стержней: При кручении стержней некруглого сечения (прямоугольных, треугольных, эллиптических, и др.) гипотеза плоских сечений не применима. В данном случае поперечные сечения существенно депланируются, в результате чего заметно меняется картина распределения напряжений. Отметим некоторые особенности законов распределения напряжений в поперечных сечениях некруглой формы:

• если поперечное сечение имеет внешние углы, то в них касательные напряжения должны обращаться в нуль;
• если наружная поверхность бруса при кручении свободна от нагрузок, то касательные напряжения в поперечном сечении, направленные по нормали к контуру также будут равны нулю.

При кручении стержня прямоугольного поперечного сечения c размерами h и b, максимальные касательные напряжения возникают на серединах больших сторон сечения и определяются по формуле: , гдеW= a × b² × h – момент сопротивления кручению, a - коэффициент, зависящий от отношения - h/b. Напряжения на короткой стороне будут: , гдеη - коэффициент, зависящий от отношения - h/b.

Угол закручивания участка стержня прямоугольного сечения: ,где - момент инерции при кручении (не путать с полярным) прямоугольного сечения, где β - коэффициент, зависящий от отношения - h/b. Гипотезы, принимаемые при расчете на кручение:

1) сечения, плоские до деформации, остаются плоскими, и после деформации (гипотеза Бернулли, гипотеза плоских сечений);

2) все радиусы данного сечения остаются прямыми (не искривляются) и поворачиваются на один и тот же угол , то есть каждое сечение поворачивается относительно оси z как жесткий тонкий диск;

3) расстояния между сечениями при деформации не изменяются.

Поскольку крутящий момент Мz — единственный внутренний силовой фактор в поперечном сечении, действующий при этом в плоскости данного сечения, можно предположить, что при кручении в поперечных сечениях вала возни­кают только касательные напряжения (на основе интегральных уравнений равновесия). В сечении вала выделим элементарную площадку dA на расстоянии от продольной оси (ось ) стержня. При кручении на площадке dA, будут действовать касательные напряжения , которые создадут элементарный крутящий момент dM, относительно оси z:

, (5.1)

Тогда полный момент, возникающий во всем сечении, найдем как

, (5.2)

где - касательное напряжение, действующее на элементарной площадке dA, расположенной на произвольном расстоянии (радиусе) от центра сечения. Перпендикулярность вектора касательных напряжений радиусу объясняется отсутствием на поверхности вала касательных напряжений, параллельных его оси, и, соответственно (по закону парности касательных напряжений), отсутствием касательных напряжений вдоль радиуса. Рассмотрим деформацию элемента стержня (вала) длиной dz, выделенного из закручиваемого стержня в произвольной точке с координатой z. Условно примем, что левое сечение элемента dz остается неподвижным, а правое поворачивается на угол , создаваемый за счет закручивания вала на длине dz. Один из радиусов ОB, оставаясь прямым, поворачивается вместе с сечением на угол , при этом точка В переходит в положение В1, а обра­зующая СВ в положение CB1, поворачиваясь на угол - угол сдвига в этой точке вала. Длину дуги BB1, найдем из рассмотрения треугольников OBB1 и CBB1:

,

следовательно

(5.3)

Запишем закон Гука, связывающий касательные напряжения с углом сдвига

(5.4)

Подставим выражение (5.3) в формулу (5.4):

, (5.5)

а полученное выражение (5.5) - в формулу (5.2):

. (5.6)

Так как в полученном выражении (5.6) величины G и , в соответствии с принятыми гипотезами, остаются постоянными по данному сечению, то их можно выне­сти за знак интеграла:

(5.7)

Величина - называется полярным моментом инерции и является геометрической харак­теристикой данного сечения. Таким образом, окончательно можем записать

, (5.8)

или, подставляя (5.5) в (5.7),

. (5.9)

Величина касательных напряжений при кручении определяется следующим образом:

(5.10)

Как видим, касательные напряжения распределены по сечению вала по линейному закону и достигают максимальной величины на поверхности вала (при ):

, (5.11)

где - полярный момент сопротивления.

Легко найти и другие величины, характеризующие дефор­мацию вала при кручении.

Величина называется относительным (погонным) углом закручивания и имеет размер­ность рад/м

Используя выражение (5.8), найдем формулу для определения относительно­го угла закручивания:

(5.12)

Зная формулы для определения относительного угла закручива­ния, можно записать формулу для определения взаимного угла поворота двух сечений, расположенных на расстоянии друг от друга:

(5.13)

Если в пределах участка длиной крутящий момент и геометрические харак­теристики сечения вала остаются постоянными, то угол закручивания можно определить как

(5.14)

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: