Распределение нормальных и касательных напряжений по сечению балки при поперечном изгибе. Условие прочности при поперечном изгибе. Рациональные формы поперечных сечений балок при изгибе.

При поперечном изгибе в сечении балки помимо изгибающего момента ( ) возникает поперечная сила ( ). Поэтому в поперечном сечении при поперечном изгибе наряду с нормальными напряжениями ( ) возникают и касательные напряжения ( ). На основании закона парности касательные напряжения возникают и в продольных сечениях балки. Вследствие этого при поперечном изгибе отмечаются сдвиги продольных слоев балки относительно друг друга. При поперечном изгибе гипотеза плоских сечений нарушается, поскольку поперечные сечения балки искривляются. Исследования показали: если балка является достаточно длинной, влияние искривления поперечного сечения на значения нормальных напряжений невелико, поэтому влиянием сдвигов на закон распределения нормальных напряжений при изгибе пренебрегают, формула нормальных напряжений при поперечном изгибе: . Проанализируем формулу Журавского:

 Поперечная сила ( ) для конкретного сечения и момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси являются постоянными величинами, поэтому касательные напряженияизменяются по высоте поперечного сечения по тому же закону, что и отношение статического момента отсеченной части поперечного сечения ( ) к ширине поперечного сечения ( ), в котором они вычисляются. Во всех точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии y от нейтральной линии (по всей ширине сечения ), касательные напряжения при поперечном изгибе одинаковы. В самых удаленных от нейтральной оси точках поперечного сечения касательные напряжения при поперечном изгибе равны 0, поскольку в этом случае . Наибольшие касательные напряжения возникают в точках поперечного сечения, расположенных на нейтральной оси. Напомним, что в этих точках нормальные напряжения равны нулю.

И при чистом растяжении – сжатии и при чистом кручении каждое из напряженных состояний полностью характеризуется одним параметром. В первом случае это единственное ненулевое главное напряжение, во втором два равные по модулю главные напряжения. Эти напряженные состояния относительно легко создаются в образцах при лабораторных исследованиях, когда определяют предельные значения упомянутых параметров для различных материалов. При чистом изгибе, когда все продольные волокна материала балки работают на растяжение сжатие, условие прочности является условием прочности для наиболее напряженных крайних волокон:

σ_max = M / W ≤ [σ] . Это же условие является необходимым и достаточным для большинства относительно длинных (L / B > 5) балок. Относительно короткие тонкостенные широкополые балки (например, флоры с присоединёнными поясками обшивки днища и настила двойного дна) следует подвергать более детальной проверке прочности:

- в сечении с наибольшим изгибающим моментом по условию (7.19);

- в сечении с наибольшей поперечной силой по условию прочности на сдвиг;

- в сечении с опасной комбинацией изгибающего момента и поперечной силы по условию

σ_экв = ≤ [σ], (7.20)

где σ_экв – так называемые эквивалентные напряжения, определяемые по одной изтеорий прочности. В расчётах судовых конструкций обычно применяют теорию наибольших касательных напряжений, для которой при упрощенном плоском напряженном состоянии, реализуемом при изгибе балок

σ_экв = (σ²+4𝜏²)^0.5 (7.21)

Построить эпюры поперечных сил Q_Y и изгибающего момента M_X (см. рис.1).

Решение.

1) Проведем две оси, параллельные оси балки (одну для эпюры Q_Y, вторую для эпюры M_X).

2) Балка имеет один участок загружения.

3) Строим эпюру Q_Y. Сделаем сечение (1), отбросим жесткую заделку. Учитывая правило знаков, получим . В сечении (2) получим . Силы , так как сила F поворачивает оставшуюся часть балки вокруг сечения по часовой стрелке (рис.2,а).

Положительные значения поперечной силы откладывают всегда выше оси. Соединим их прямой линией, поставим знак, эпюру заштрихуем, обозначим.

4) Строим эпюру М_Х. Сделав сечение и отбросив часть с жесткой заделкой, сосчитаем момент от силы F относительно сделанного сечения. Получим . Для эпюры изгибающих моментов принимается следующее правило: значения моментов откладываются от оси в сторону растянутого волокна. Из рис.2,б, следует, что сила F растягивает верхние волокна, поэтому полученное значение М_Х откладываем выше оси. Соединяем отложенные значения прямой линией. Знак на эпюре изгибающих моментов можно не ставить. Эпюру штрихуем и обозначаем.

5) Проверка эпюр. К балке не приложена распределенная нагрузка, следовательно, на графиках Q_Y и М_Х имеем прямые линии, причем на эпюре Q_Y это прямая, параллельная оси. На свободном конце балки приложена сосредоточенная сила F = 6кН в этом сечении на эпюре Q_Y образовался скачок, равный 6. Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. Для получения балки минимальной материалоемкости нужно стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем материала работал при напряжениях, равных допускаемым или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение балки при изгибе должно удовлетворять условию равно прочности растянутой и сжатой зон балки. Иными словами необходимо, чтобы наибольшие напряжения растяжения (max ) н наибольшие напряжения сжатия (max ) одновременно достигали допускаемых напряжений и . Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково работающего на растяжение и сжатие: ), условие равно прочности выполняется для сечений, симметричных относительно нейтральной оси. К таким сечениям относится, например, прямоугольное сечение, при котором обеспечено условие равенства . Однако в этом случае материал, равномерно распределенный по высоте сечения, плохо используется в зоне нейтральной оси. Чтобы получить более рациональное сечение, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра горизонтальных массивных листа, соединенные стенкой (вертикальным листом), толщина которой назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости. К двутавра сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение (рис. 26, в).

Рис. 26. Распределение нормальных напряжений в симметричных сечениях

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие (рис. 27):

 которое вытекает из требования

Рис.27. Распределение напряжений несимметричного профиля сечения балки.

Идея рациональности поперечного сечения стержней при изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из рядовых и легированных конструкционных высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение в строительстве, машиностроении, авиационном машиностроении. Широко распространены показанные на рис. 27: а—двутавр, б— швеллер, в — неравнобокий уголок, г—равнобокий уголок. Реже встречаются тавр, таврошвеллер, зетовый профиль и др.

Рис.11. Используемые профили сечений: а) двутавр, б ) швеллер, в) неравнобокий уголок, г) равнобокий уголок

29.Правило знаков для поперечной силы Q и изгибающего момента Mx при изгибе. Посторение эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента Mx (привести пример).

При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов возникающих при изгибе следует придерживаться следующего правила знаков: Правило знаков для поперечных сил. Если внешняя сила стремиться повернуть балку по часовой стрелке, то поперечную силу считаем положительной. Эпюру откладываем выше нулевой линии со знаком плюс. Если сила поворачивает балку против часовой стрелки, то поперечная сила будет отрицательной, и на эпюре будет откладывать ниже нулевой линии.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: