Какой изгиб называется плоским (прямым)? Понятие о чистом изгибе. Определение внутренних силовых факторов и напряжений, возникающие при чистом изгибе. Условие прочности при чистом изгибе.

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается поперечная нагрузка, лежащая в плоскости проходящей через продольную ось (рис.6.1, а). В этой же плоскости располагается изогнутая ось стержня (упругая линия) (рис.6.1, б). Брус, работающий при изгибе, называется балкой. Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой. Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.6.1).

Рис.6.1

Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки. При плоском поперечном изгибе в случае отсутствия осевых нагрузок в поперечных сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент М_x и поперечная сила Q_y. При расчете конструктивных элементов машин поперечная сила в сечении обычно не учитывается ввиду ее малости. При анализе внутренних силовых факторов используют, как описано выше, метод сечений. Разбивая мысленно балку на однородные участки, составляют уравнения равновесия сил для отсеченных частей. из которых находят изгибающие моменты М_x в сечениях.

Знак момента в поперечном сечении определяется по знаку кривизны изогнутой балки (рис.2.7,а). При построен эпюр моментов ординаты откладываются на сжатых волокнах.

	Схема для определения знака изгибающего момента по знаку кривизны балки на рассматриваемом участке: момент положителен, если растянутые волокна внизу

После определения изгибающих моментов в поперечных сечениях балки могут быть исследованы внутренние напряжения. Рассмотрим прямолинейную балку постоянного сечения (рис.2.8), к торцам которой приложены изгибающие моменты М (чистый изгиб).

	Рис.2.8. Напряжения в поперечных сечениях балки при чистом изгибе

В этом случае изгибающий момент в всех поперечных сечениях постоянный М_x = М. Под действием внешних моментов М балка изогнется, при этом все сечения останутся плоскими и нормальными к его оси, однако горизонтальные слои-волкна на выпуклой стороне удлиняются, а на вогнутой - укорачиваются. Слой, совпадающий с осью балки, не изменяет своей длины и поэтому называется нейтральным слоем. При чистом изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения s, которые возрастают по линейному закону по мере удаления от нейтральной линии (продольной нейтральной плоскости), где s = 0. Эта линия перпендикулярна к поперечным сечениям и проходит через их центры тяжести, т.е совпадает с осью балки. Максимальные значения напряжений в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, находятся по формуле

, (2.6)

где осевой момент сопротивления W_x поперечного сечения балки при изгибе относительно оси x (размерность м³), для сечений приводится в справочниках. Значение W_x для основных видов сечений определяется по формулам

• для круглого сечения диаметром d: W_x = 0,1d³ ; (2.7)
• для прямоугольного сечения шириной b и высотой h: W_x = bh²/6 (2.8)

Построение эпюр изгибающих моментов в опасных сечениях

Работа выполняется в такой последовательности: 1) определяются реакции опор; 2) выявляются все внутренние силовые факторы в сечениях на отдельных участках балки; 3) выполняется построение эпюр моментов.Рассмотрим построение эпюр для балки, показанной на рис.2.9.

	Участок 1		Участок 2

 

Рис.2.9. Однопролетная балка, нагруженная поперечной силой и ее эпюра изгибающих моментов в поперечных сечениях

1. Реакции опор из уравнений моментов относительно шарниров А и В составляют

SM _А = 0: R_B = Fa/l и SM _В = 0: R_A = F(1- a)/l .

2. Разбиваем балку на два участка: 1 - от опоры А до силы F, 2 - от опоры В до F. Для определения величин внутренних изгибающих моментов М_х на первом и втором участках запишем уравнения моментов в сечениях на расстоянии z₁ и z₂:

1-й участок при момент М_х1 = R_A∙ z₁ = F(1- a)z₁/l; M_{x max} = F(1- a)a/l при z₁ = а.

2-й участок при момент М_х2 = R_A∙ z₂ - F(z₂ - a); M_{x max} = F(1- a)a/l при z₂ = а.

На опорах при z₁ = 0 и z₂ = l изгибающий момент _max = M_{x min} = 0.

3. Строим эпюру изгибающих моментов.

Проводим горизонтальную ось под схемой балки и на вертикалях, проходящих через опоры А и В, а также по линии действия силы Fоткладываем соответствующие значения момента M_x. Значение M_{x max} откладываем вверх (на сжатых волокнах), - величина положительная. Соединяем эти значения прямыми линиями, поскольку зависимость M_x от координаы сечения z линейная. Условие прочности при изгибе заключается в следующем - рабочее напряжение должно быть меньше или равно допускаемому напряжению, т.е.

где W_x - осевой момент сопротивления (величина, характеризующая способность элементов конструкции сопротивляться деформации изгиба). Осевой момент сопротивления сечения определяется по формулам:

а) для круга (рис. 2.21, а)

б) для кольца (рис. 2.21, б) где с = d_вн /d_н;

в) для прямоугольника (рис. 2.21, в)

При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях бруса возникают два ВСФ — изгибающий момент М_и, который обусловливает возникнове­ние нормального напряжения σ_и, и поперечная сила Q_y, которая обусловли­вает возникновение в этом же сечении касательного напряжения τ_и (рис. 2.22):

Под действием внешних сил ось бруса испытывает линейное перемещение у и угловое перемещение φ (рис. 2.23). Линейные и угловые перемещения опре­деляют по формулам, которые составлены с учетом вида нагрузок, направ­ления их к оси бруса и места приложения к брусу. Эти формулы занесены в специальные таблицы.

Например, если Z = ½ l, то

где EJ_x — жесткость сечения бруса при изгибе.

Условие жесткости при изгибе: рабочее линейное или угловое перемещение должно быть меньше или равно допускаемому линейному или угловому перемещению, т.е.

 

где [у] = (0,05 – 0,001) l [φ] = 0,001 град.

27. Особенности поперечного изгиба. Определение внутренних силовых факторов и нормальных напряжений при поперечном изгибе. Формула Журавского для определения касательных напряжений при поперечном изгибе.

Поперечный изгиб – это такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают не только изгибающие моменты Мх, но и поперечные силы Qу. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения. В этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения. Возникновение касательных напряжений τ сопровождается появлением угловых деформаций. Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения dF получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими. Найдем закон изменения касательных напряжений tzy=t при поперечном изгибе. Определение внутренних силовых факторов: Перед тем как рассматривать методики расчета на прочность и жесткость при изгибе, сначала нужно научиться определять внутренние силовые факторы (ВСФ) при данном виде деформации. Начнем учиться с простейшего примера. Возьмем балку портального крана, о которой упоминалось выше. Предположим, что электрическая таль находится ровно посередине пролета. Очевидно, что это положение тали будет наиболее опасным, в этом месте внутренние силовые факторы будут наибольшими. Давай вычислим поперечную силу и изгибающий момент в наиболее опасном сечении. Только пока что собственный вес балки учитывать не будем. Изображаем расчетную схему: Чтобы посчитать ВСФ сначала нужно определить реакции опор, отбросив внешние связи. Классификация изгибов: Сначала предлагаю ознакомиться с классификацией изгибов. Принято различать следующие виды :

Вид изгиба:	Чистый изгиб	Поперечный изгиб	Косой изгиб	Изгиб с кручением	Продольно-поперечный изгиб
Внутренние силовые факторы появляющиеся при данном виде деформации:	Изгибающий момент.	Изгибающий момент, поперечная сила.	Изгибающий момент, поперечная сила.	Изгибающий и крутящий момент, поперечная сила.	Изгибающий момент, продольная и поперечная сила.
Изображение поперечного сечения с действующими в нем силовыми факторами при данном виде деформации:
Краткое описание данного вида изгиба:	В поперечных сечениях при данном виде деформации появляются исключительно изгибающие моменты.	Самый распространенный вид изгиба, при котором в поперечных сечениях появляются изгибающие моменты и поперечные силы.	При косом изгибе силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных центральных осей.	Это вид деформации при котором помимо изгибающих моментов, в поперечных сечениях возникают крутящие моменты.	Это вид деформации при котором помимо поперечных сил, в поперечных сечениях возникают продольные силы.

Далее будем работать только с двумя первыми типами изгиба. Обо всех остальных видах, будем более подробно говорить в рамках темы – сложное сопротивление. Чистый изгиб: Из приведенной выше классификации ты уже знаешь, что в поперечном сечении при чистом изгибе возникает лишь один внутренний силовой фактор – изгибающий момент. Но как определить его? Чтобы определить его в любом поперечном сечении можно воспользоваться методом сечений (метод Розу). Возьмем балку, жестко защемленную левым концом. Загрузим ее на правом конце сосредоточенным моментом. Формула Журавского для касательных напряжений:

, где Q — поперечная сила; S^*_x — статический момент отсечённой части поперечного сечения относительно оси х, F^* — площадь отсечённой части поперечного сечения, y_c — расстояние от центра отсечённой части поперечного сечения до оси х, J_x — главный осевой момент инерции полного сечения, b_y — ширина сечения в той точке, для которой находится напряжение. Из формулы следует, что касательные напряжения меняются по высоте сечения в соответствии с параболической зависимостью, причём максимальные значения, представляющие интерес, наблюдаются на нейтральной линии, проходящей через центр площади сечения. Например, для прямоугольного сечения b­×h (b, h — ширина и высота сечения соответственно):

,

.

Для круглого поперечного сечения радиуса R:

,

.

В качестве примера ниже представлены распределения касательных напряжений для прямолинейных балок постоянных прямоугольного (b = 2 см, h = 4 см) и круглого поперечных сечения при Q = 10 кН. Красная линия на рисунках соответствует напряжениям в круглом сечении, синяя — в прямоугольном. На левом рисунке сравниваются балки одинаковой массы, на правом — одинакового момента сопротивления изгибу.

 

Поскольку при сгибе кроме изгибающего момента MM возникает поперечная сила QQ, наряду с нормальными напряжениями σσ в сечении будут возникать касательные напряжения ττ, величина которых будет зависеть от значения поперечной силы. По закону парности касательных напряжений, они возникают не только в плоскости сечения YOZYOZ, но и в перпендикулярной плоскости XOZXOZ.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: