Основные теоретические положения. При вращении твердого тела все его точки движутся по окружностям

 

При вращении твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения, и имеют одинаковою угловую скорость .

Угловая скорость – это физическая величина равная первой производной от угла поворота точек по времени:

.

Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением – это физическая величина, равная первой производной от угловой скорости по времени:

 или .

Линейные скорость и ускорение точек тела при вращении различны и зависят от расстояния до оси вращения. Связь угловых и линейных характеристик можно получить из соотношений:

;

,

где – линейный путь точек при вращении, R – радиус вращения.

Скорость и ускорение – величины векторные, и их направление определяется по правилу векторного произведения:

;

 

.

Важные законы динамики вращательного движения связаны с понятиями момента сил  и момента импульса .

Моментом силы  относительно неподвижной точки  (начала) называется величина, определяемая векторным произведением радиуса вектора  на силу , т.е.

(т. А – точка приложения силы на рис. 2.1).

По аналогии момент импульса:

.

Модули векторов момента силы и момента импульса равны соответственно:

,

,

где  – угол между векторами  и радиус-вектором .

Величина  называется плечом силы(импульса).

Моменты сил и импульса относительно неподвижной оси являются скалярными величинами и численно равны проекциям векторов  и  на эту ось в предположении, что начало (т. ) лежит на рассматриваемой оси.

Моменты  и  связаны уравнением , которое называется уравнением моментов.

При вращении вокруг неподвижной оси момент импульса отдельной –той точки равен , а, соответственно, момент импульса тела будет равен

,

где величина  называется моментом инерции тела относительно данной оси вращения.

Так как угловая скорость является векторной величиной, вектор момента импульса равен .

Уравнения моментов будет иметь вид:

.

Это уравнение называется основным законом динамики вращательного движения (аналог второго закона Ньютона при поступательном движении).

Как видно из приведенных выше уравнений, момент инерции материальной точки – это физическая величина, численно равная произведению массы точки на квадрат расстояния до оси вращения:

.

Для твердого тела выражение для момента инерции получается суммированием:

,

т.е. момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции точек тела относительно той же оси.

Заменив суммирование интегрированием, получим формулу для вычисления моментов инерции:

.

Вычисление интеграла представляет собой, вообще говоря, очень сложную задачу. Задача значительно упрощается для однородных тел правильной геометрической формы.

Например, вычислим момент инерции тонкого диска радиусом  и массой  относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Рассмотрим тонкое кольцо с внутренним радиусом  и толщиной . Площадь тонкого кольца , а масса , где – толщина диска. Тогда момент инерции всего диска определяется интегралом:

,

где – масса тела.

Момент инерции является аналогом массы и, следовательно, характеризует инертные свойства тела при вращательном движении.

Момент инерции тела зависит от положения оси, относительно которой рассматривается его вращение. Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно любой параллельной оси равен моменту инерции его относительно оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной , где – расстояние между осями:

,

где  – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Лабораторная работа 2.1

МАЯТНИК МАКСВЕЛЛА

 

Цель работы: Определить момент инерции маятника Максвелла динамическим способом и сравнить его с теоретическим значением.

Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, электронный секундомер, сменные кольца.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: