А. И. Дзундза, В. А. Цапов

Стр 1 из 6Следующая ⇒

А. И. Дзундза, В. А. Цапов

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

Учебно-методическое пособие

Донецк

ГОУ ВПО «ДонНУ»

2017

УДК 517.212

ББК В 161я73

М 178

Авторы–составители:

А. И. Дзундза, д-р пед. наук, проф.,

В. А. Цапов, канд. физ.-мат. наук, доц.

Рецензенты:

Н. В. Коваленко, канд. физ.-мат. наук, доц.,

П. А. Машаров, канд. физ.-мат. наук, доц.

Рекомендовано к изданию ученым советом факультета математики и информационных технологий. Протокол № от г.

Дзундза А. И., Цапов В. А.

М 178 Поверхностный интеграл: учеб.-метод. пособие для студентов по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки). Профиль: Математика и информатика / А. И. Дзундза, В. А. Цапов. – Донецк, ДонНУ, 2017. – 56 с.

Изложены основные понятия и факты, теоретические положения и рекомендации к решению основных типов задач по теме «Поверхностный интеграл». Пособие содержит задания тематической контрольной работы; теоретические задания для самостоятельного решения, экзаменационные вопросы, индивидуальные задания; примеры типовых задач, к которым приведены обоснованные решения.

Для студентов по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки). Профиль: Математика и информатика.

УДК 517.212

ББК В 161я73

Содержание

Предисловие……………………………………………………………………...4

Введение…………………………………………………………………………..7

Основные определения и формулы……………………………………………12

Контрольные вопросы и задания………………………………………………41

Список рекомендованной литературы……………………………………...…43

Варианты индивидуального задания …………………………………………44

Образцы решения задач………………………………………………………..47

Предисловие

Математическое образование играет несомненную культурную роль в социальном, научном, техническом и экономическом развитии общества. Специалисты, которые в совершенстве владеют математическими методами, всегда составляли стратегический ресурс нации. Очевидным доказательством этого является широкое использование математических моделей не только в различных естественных науках и технике, но и в производстве, управлении, экономике, сфере быта. Поэтому знания, умения и навыки, полученные в процессе математического образования, являются важным элементом общекультурной и профессионально-ориентированной подготовки будущих специалистов.

В современной научно-педагогической литературе происходит широкое обсуждение проблемы воспитательных и развивающих возможностей математического обучения. Как известно, понятие «воспитывающего обучения» ввёл в педагогическую науку немецкий педагог, философ, психолог Иоганн Фридрих Гербарт (Johann Friedrich Herbart, 1776–1841). Согласно представлениям Гербарта воспитывающее обучение направлено на гармоничное объединение сообщения знаний и пробуждения умственной самостоятельности учащегося. Советский и российский культуролог, философ, педагог М. Каган (1921–2006) относил математику вместе с философией к культурологическим наукам. В. Крутецкий связывал «математическое» развитие человека с развитием общей культуры личности. По его мнению, изучение методов математического познания раскрывает универсальность форм изучения действительности, актуализирует математику как часть общечеловеческой культуры.

Ряд научно-педагогических исследований посвящен разработке условий реализации воспитательной функции фундаментального математического образования через обеспечение межпредметных связей, профессионально-прикладной направленности математических дисциплин, привлечение исторических фактов и сведений. Так, М. Виленкин отмечал, что существует необходимость решить проблему углубления гуманитаризации курса математики, в частности, включения в нее сведений по истории развития математики, ее приложений к социально-экономическим наукам.

Анализ научно-педагогической литературы позволяет сделать вывод, что культурологическая направленность фундаментального математического образования может быть обеспечена через усиление гуманитарных компонентов содержания математического образования в высшей школе. Следовательно, изучение человека, гуманитарной сферы его деятельности как объекта математического познания должно иметь значительную эмоциональную окраску для учащегося, усиливать мировоззренческую ориентацию фундаментального математического образования, способствовать формированию элементов общей культуры личности и ее отдельных проявлений.

Общеизвестно, что современные студенты относятся к так называемому «цифровому поколению». Они неохотно читают книги, не интересуются бумажными носителями информации, большинство информации потребляют с помощью компьютера. Студенты слишком много времени проводят в виртуальном мире, который многим из них кажется красочным, ярким, удобным. По нашему мнению, в ближайшем будущем «цифровое поколение» будет испытывать острую потребность в духовных началах, в развитии социокультурной сферы именно из-за перегруженности информационно-цифровыми коммуникациями. Безусловно, такое положение усиливается общей напряженностью в обществе, незащищенностью от угроз сети Интернет.

Математическое обучение имеет широчайшие возможности влияния на личностную сферу студентов, поскольку позволяет продемонстрировать, что интеллектуальное, эстетическое, эмоциональное наслаждение доставляет не только искусство, но и радость творчества в других сферах деятельности. Решение задачи или доказательство теоремы различными методами, сравнение этих методов по красоте и оригинальности приемов, изящество и «мощь» формулы или теоремы – все это дает повод к личностным переживаниям. Студенты должны почувствовать стройность математики, изящество внутренних связей в ней, красоту формул, доказательств, гармонию пространственных фигур.

Нет другой науки, требующей такой строгости рассуждений, которая необходима в математике. Привыкая каждое предложение строго доказывать, студенты приучаются к «основательности» своих суждений, привыкают выводить одно предложение из другого. Они приобретают способность мыслить логически. Логика, которая применяется в математике, лежит в основе рассуждений, имеющих место не только в самых разных учебных дисциплинах (физике, химии, истории), но и в человеческих отношениях. Общение с преподавателем, товарищами должно стать для студента образцом логической стройности, завершенности и обоснованности заключений. Математика обладает не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой, приближающейся к настоящему совершенству, которое свойственно только самым лучшим образцам искусства (Б. Рассел).

Воспитательный потенциал математики является эффективным средством творческого развития личности представителей «цифрового поколения». К сожалению, этим вопросам на занятиях по «негуманитарным» дисциплинам уделяется недостаточно внимания. Это обусловлено рядом причин. Во-первых, в методических пособиях этот вопрос почти не рассматривается, а преподаватель не всегда имеет четкое представление о воспитательных возможностях математических дисциплин. Во-вторых, даже те задачи, которые содержат в себе определенный воспитательный потенциал, при отсутствии методических рекомендаций используются однобоко, обычно только для формирования определенных знаний, умений и навыков и развития логического мышления. Мы считаем, что наряду с предметами гуманитарного цикла естественнонаучные учебные дисциплины позволяют использовать дополнительные воспитательные средства, способствующие развитию интеллектуальной, эстетической, эмоционально-чувственной, нравственной сферы представителей «цифрового поколения».

Воспитательный потенциал математики подчеркивают, прежде всего, сами ее создатели. С. Пуассон считал, что жизнь украшается двумя вещами: возможностью изучать математику и возможностью ее преподавать. Г. Харди, говоря о доминирующем побуждении к научному творчеству вообще и к математическому в частности, указывает на интеллектуальную любознательность, профессиональное достоинство и честолюбие исследователя. Чисто математическим стимулом он считает тот, который является результатом способности к эстетической оценке математики. Наверное, трудно найти образованного человека, абсолютно нечуткого к эстетической и эмоциональной стороне математики. Однако быть уверенным, что математик, подобно художнику или поэту, создает прекрасные узоры, – на это готов только тот, кому красота математики представляется как безусловная и несомненная реальность и кто в общении с этой красотой обретает смысл, цель существования. Об этом Г. Харди сказал, что «в мире нет места для некрасивой математики».

Глубокая и важная черта математических задач заключается в том, что подавляющее большинство их имеет творческий характер. Если в других отраслях знания выполнение задания чаще всего требует от студентов в основном репродуктивных знаний и навыков, решение математической задачи, как правило, предусматривает изобретение специального метода, который ведет к поставленной цели и тем самым становится – пусть очень скромным – творческим актом. Именно этот творческий, исследовательский характер математических задач, возможность применить свой интеллект, больше всего притягивает к себе студентов. Тот, кто испытал радость творческого достижения, никогда уже не пожалеет усилий, чтобы снова эту радость испытать. Недооценка воспитательного потенциала математического образования ведет к значительным потерям в содержании образования. Анализ программ по математическим дисциплинам показывает, что, к сожалению, воспитательные задачи не всегда отражены в целях учебных дисциплин. Хотя воспитательная составляющая должна присутствовать в содержании обучения любой дисциплине, в частности, естественнонаучной, и должна быть выделена дидактически.

В содержании данного учебно-методического пособия актуализируется воспитательный потенциал математического обучения, направленный на формирование общей культуры, расширение плоскости взаимодействия «цифрового поколения» с реальным (а не виртуальным) миром.

Введение

В учебно-методическом пособии изложены основные понятия и факты, теоретические положения и рекомендации к решению основных типов задач по теме «Поверхностный интеграл». Пособие содержит задания тематической контрольной работы; теоретические задания для самостоятельного решения, экзаменационные вопросы, индивидуальные задания; примеры типовых задач, к которым приведены обоснованные решения. Изучение материала пособия облегчит процесс усвоения материала и подготовки к экзамену, поможет систематизировать знания и умения.

Курс математического анализа является основной фундаментальной дисциплиной для студентов 1–2 курсов направления «Математика». Это связано не столько с большим объёмом изучаемого материала, сколько с тем, что изучая именно этот предмет, бывшие школьники познают базовые законы математики. Они сталкиваются с очень большим количеством определений, свойств, теорем, лемм, утверждений, следствий, признаков и пр., плохо себе представляя связи в содержании этих понятий и их характерные особенности, отличия друг от друга. Для большинства студентов младших курсов непривычно разделение занятий на лекции и практические (лабораторные) занятия. Зачастую лекторы поддерживают высокий темп изложения материала. Большинство теорем (а также и свойств) содержат доказательство, и лектор уверен, что студенты их все должны помнить, понимая даже нюансы доказательств, а не просто заучить наизусть. Практические занятия посвящены решению большого количества различных по тематике и методам решения задач. И хотя для многих заданий предлагаются готовые схемы решения, большой объем достаточно сложной информации в курсе математического анализа у многих студентов вызывает затруднения. Конечно, к 3–4 курсу придёт понимание, что эта дисциплина важна, и далеко не самая сложная. Но в начале учёбы студентам необходима поддержка, помощь и понимание преподавателей.

В учебно-методическом пособии знания структурируются в соответствии с природой как декларативные, декларативно-процедурные и процедурные. Под декларативными знаниями мы понимаем те знания, в которых содержатся представления о сущности, структуре, свойствах тех или иных понятий. Эти знания являются фактическими, описательными, информационными, они несут в себе информацию о фактах и свойствах определенной предметной области. С точки зрения доступности в Интернете, декларативными являются такие знания, которые содержатся в памяти информационно-коммуникационной системы так, что они легко доступны после соответствующего обращения к определенному полю памяти. Под декларативно-процедурными знаниями мы понимаем общепринятые, стандартизированные методы, алгоритмы широко доступные в Интернете в виде пакетов прикладных программ, текстов доказательства известных теорем и пр. Процедурные знания характеризуются трансформационной и управляющей природой. Они содержат средства, методы преобразования декларативных знаний, способы получения новой информации. Это различные процедуры, алгоритмы, методы, формализованные цепочки логических умозаключений. С точки зрения доступности в Интернете, процедурные знания в явном виде не содержатся в памяти информационно-коммуникационной системы, они присутствуют в виде описаний алгоритмов, процедур, инструкций, методик, с помощью которых можно трансформировать декларативные или декларативно-процедурные знания в процедурные.

Например, на web-ресурсах https: //www.kontrolnaya-rabota.ru/s/, http: //math.semestr.ru/, http: //ru.onlinemschool.com/, http: //matematikam.ru/ предоставляется возможность решать в режиме онлайн интегралы, брать производные, пределы практически для любых функций, вычислять сумму ряда. Решение задач выполняется автоматически компьютерной программой. Все указанные онлайн-калькуляторы выдают ответ с подробным пошаговым решением, которое позволяет повторить алгоритм решения задачи и закрепить пройденный материал. Используйте возможность научиться считать быстро, но не забывайте о том, что при необходимости вы должны уметь все решения проверить вручную.

Современный мир пронизан информационными потоками. Мы считаем, что не имеет смысла бороться в образовании с проникновением Интернета. Поэтому допускаем возможность пользования информацией из внешних источников на занятиях, во время самостоятельной работы и даже при проведении контрольных мероприятий (контрольных, зачетов, экзаменов). При этом мы выделили список вопросов, содержащий декларативные знания, которые должен знать наизусть студент данной специальности, и пометили их значком СТОП-ИНТЕРНЕТ.

Остальные контрольные вопросы постарались наполнить проверкой процедурных знаний и не ограничивать доступ учащихся к внешним источникам.

Осознавая свою роль как ближайших помощников студентов, мы открыты к диалогу не только в рамках занятий, но и вне аудиторий, в том числе и в социальных сетях. Страницу Вконтакте можно найти по адресу https: //vk.com/id9540575. А можно и вступить в наши сообщества Математика – это просто! https: //vk.com/math_it_easy и История математики. https: //vk.com/histmath Данное учебно-методическое пособие будет размещено на этих ресурсах.

В математическом анализе каждый новый объект, как правило, изучается в соответствии с общей логической схемой:

1. Задачи, приводящие к новому понятию (по возможности).

2. Определение понятия.

3. Теорема существования или примеры, подтверждающие, что данный объект существует.

4. Перечисление свойств данного объекта (желательно с доказательством).

5. Вывод формул для вычисления параметров данного объекта.

6. Описание круга задач, при решении которых используется данный объект. Примеры.

Применяя эту схему при изучении разделов математического анализа, студенты приучаются не только структурировать материал, но и устанавливать логические связи между различными объектами, их знания перестают быть разрозненными.

Остановимся на основных понятиях.

Определение – это логическая операция, в процессе которой раскрывается содержание понятия, указываются отличительные существенные признаки определяемого объекта. Это можно проделать: а) через ближайшее известное понятие и указав видовые отличия; б) указав на происхождение предмета или способ, которым данный предмет создается; в) указав, как из некоторых исходных объектов строится определяемый объект.

Доказываемые утверждения в математике называют «теоремами», а недоказываемые – гипотезами. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.

Теорема обычно состоит из условия и заключения. Лемма – это вспомогательная теорема. Она доказывает некоторое положение, которое потом уже используется для доказательства основной теоремы.

Просьба не путать с Дилеммой!

Свойство – качество, признак, составляющий отличительную особенность объекта. В математике обычно свойство доказывается, а поэтому свойство – это ещё одна теорема.

Следствие (из теоремы) – новая теорема, при доказательстве которой определяющую роль играет утверждение предыдущей теоремы и которая позволяет более полно трактовать содержание данной теоремы.

Схема решения задач (проверки наличия у данного объекта определенного свойства или доказательство наличия данного свойства) – пошаговая инструкция по выполнению задания. К сожалению, далеко не все известные схемы решения достаточно детально прописаны, поэтому крайне желательно участие педагога при формировании умений использования той или иной схемы решения задач.

Доказательство – рассуждение с целью обоснования истинности
какого-либо утверждения (теоремы).

Основные методы, используемые при построении доказательств: прямое доказательство, математическая индукция и её обобщения, доказательство от противного, контрапозиция, конструктивное построение, исчерпывание вариантов, установление биекции и др.

Прямое доказательство предусматривает применение только непосредственного дедуктивного вывода из считающихся верными утверждений-посылок (аксиом, ранее доказанных лемм и теорем), без использования суждений с отрицанием каких-либо утверждений: исходя из условия теоремы логическими непротиворечивыми рассуждениями получают утверждение теоремы.

Математическая индукция – умозаключение относительно натурального ряда, идея которого заключается в утверждении некоторого закона для всех натуральных чисел, исходя из фактов его выполнения для единицы и следования истинности для каждого последующего числа. Метод математической индукции естественным образом может быть применён для любых «счётных» совокупностей объектов.

Доказательство от противного – вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения. Доказательство проводится таким образом. Сначала принимают предположение, что утверждение теоремы неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение, которое заведомо ложно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение теоремы.

Закон контрапозиции – закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»).

Метод конструктивного построения используется для доказательства утверждений типа «теорем существования», в которых формулируется в качестве результата наличие какого-либо объекта, например, существование числа, удовлетворяющего каким-либо условиям. Заключается в непосредственном нахождении искомого объекта с использованием методов соответствующей формальной системы или контекста соответствующего раздела. В этом случае доказательство фактически представляет собой алгоритм (метод) построения указанного объекта.

Доказательство методом установления биекции применяется для установления утверждений о сопоставимости совокупности с какой-либо другой совокупностью и состоит в построении взаимно-однозначного соответствия между изучаемым множеством и множеством с известными свойствами. Такие теоремы принято называть «критериями», в них предполагается доказательство необходимого и достаточного условий.

Исчерпывание вариантов. В некоторых случаях для доказательства утверждения перебираются все возможные варианты совокупности, относительно которой сформулировано утверждение, или все возможные варианты разбиваются на конечное число классов, представляющих частные случаи, относительно каждого из которых доказательство проводится отдельно. Как правило, доказательство методом исчерпывания вариантов состоит из двух этапов:

а) установление всех возможных частных случаев и доказательства, что других частных случаев нет;

б) доказательство каждого частного случая.

Если доказательство теоремы получается не сразу, это может быть потому, что вы подходите к нему неправильно. Приведем некоторые эффективные методы доказательства, которые помогут вам двигаться в правильном направлении.

* Доказательство от очевидного: «Доказательство так ясно, что его не стоит приводить».

* Доказательство на основе общего соглашения: «Все за? …»

* Доказательство силой воображения: «Ну, мы представим, что это верно».

* Доказательство из удобства: «Было бы очень хорошо, если бы это было верно, так что…»

* Доказательство по необходимости: «Это должно быть истинным, иначе рухнули бы все основания математики».

* Доказательство от правдоподобия: «Это хорошо звучит, так что оно должно быть верным».

* Доказательство путем запугивания: «Не будьте глупцами, конечно же, это верно».

* Доказательство от нехватки времени: «Из-за нехватки времени я оставляю доказательство этого вам».

* Доказательство отсрочкой: «Доказательство этого слишком длинное и трудное, поэтому оно приведено в приложении».

* Доказательство по определению: «Мы определим, что это верно».

* Доказательство отсутствием интереса: «Кто-нибудь действительно хочет увидеть это? »

* Доказательство с помощью логики: «Если это на листе с задачами, то это должно быть верно».

* Доказательство авторитетом: «Ну, Билл Гейтс говорит, что это правда, поэтому так и должно быть».

* Доказательство накопленными доказательствами: «Долгие и усердные поиски не выявили контрпримеров».

* Доказательство путем отсрочки: «Мы докажем это в конце курса».

* Доказательство демонстрацией уверенности: «Тривиально».

* Доказательство наречиями: «Как совершенно ясно, вышеупомянутое элементарное утверждение, очевидно, справедливо».

* Доказательство важностью: большое количество полезных следствий выводится из доказываемого утверждения.

«И чё? » – два слова, о которые разбиваются все доказательства.
«И то» – два слова, вновь спасающие все доказательства.

Основные определения и формулы

В этом разделе в основном представлены декларативные знания, имеющиеся в свободном доступе как на электронных носителях (Интернет), так и на бумажных (учебники, пособия). Это определения, свойства, формулировки теорем, схемы исследования функций с целью установления определённых свойств. Мы постарались проиллюстрировать данный материал примерами на вычисление, на доказательство, на исследование. Это примеры процедурных или декларативно-процедурных знаний. Для формирования процедурных знаний предназначены и задачи для самостоятельного решения. Представлены примеры доказательств теорем конструктивным методом и прямым доказательством. Контрольные и экзаменационные задания предполагают возможность пользоваться внешними источниками информации (Интернет, конспект, справочник…) за исключением списка специально указанных вопросов.

Площадь поверхности

Понятие площади кривой поверхности имеет аналогию с понятием длины кривой. Длину незамкнутой дуги мы определяли как предел периметра вписанной в дугу ломаной, при условии, что длины всех её сторон стремятся к нулю. В случае кривой поверхности естественно было бы рассматривать вписанную в неё многогранную поверхность и определять площадь кривой поверхности как предел площади этой многогранной поверхности, при условии, что диаметры всех граней стремятся к нулю. Но в конце 19 столетия Герман Амандус Шварц (1843 - 1921) привёл пример поверхности, вписанной в прямой круговой цилиндр, для которой предел площади не существует (Пример Шварца смотри в Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления [1, т.3, стр. 249-250]).

Этот пример вынуждает нас иначе подойти к определению площади поверхности. Сначала определим это понятие для поверхности , заданной явным уравнением , где – непрерывная функция, обладающая непрерывными производными в некоторой квадрируемой (измеримой) области . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части непрерывными кривыми. Под диаметром множества понимается точная верхняя грань расстояний между точками этого множества. Диаметр всего разбиения – это наибольший из диаметров получившихся частей. Обозначают его .

В каждой полученной части поверхности выберем точку и рассмотрим касательную плоскость к поверхности в этой точке. Выбранные точки породят набор касательных плоскостей, пересечения которых ограничат многоугольники, которые образуют «панцирь» на поверхности . Этот «панцирь» состоит из плоских многоугольников и, следовательно, имеет площадь, равную сумме площадей его многоугольников.

Если при стремлении к нулю диаметра разбиения площади «панцирей» имеют конечный предел, то он и называется площадью поверхности. Это определение позволяет легко найти формулу для вычисления площади поверхности. А именно, рассмотрим плоский многоугольник, нормаль к которому имеет направляющие косинусы . Можем считать, что .

Без ограничения общности, достаточно рассматривать прямоугольник, причем, для простоты, считаем, что его проекция на плоскость есть прямоугольник со сторонами , а сам он имеет стороны .

Тогда и ( ). В общем случае .

Если нормали выбирались в точках , то пусть – их направляющие косинусы. Согласно сказанному выше, площадь всего «панциря» есть .

Определение. Площадью элементарной гладкой поверхности с явным заданием называется конечный предел , если он существует (и как всегда при определении интегральных сумм, предел не должен зависеть от способа разбиения и от выбора точек). Поверхность в этом случае называется измеримой (квадрируемой), а площадь поверхности обозначается через .

Сумма является интегральной суммой для двойного интеграла , поэтому

Замечание. Заметим, что если элементарная гладкая поверхность с явным заданием лежит в координатной плоскости (или любой другой), то, как следует из определения, она измерима (квадрируема) и её площадь – жорданова мера плоской области .

Предположим теперь что поверхность, заданная параметрически, представляет собой конечное объединение частей, каждая из которых может быть задана явным уравнением. Рассмотрим одну из частей, для которой , . Площадь этой части, по доказанному выше, равна . Перейдем в этом интеграле к переменным , учитывая, что якобиан перехода – это как раз определитель , а , и пусть области соответствует область на плоскости . Тогда по теореме о замене переменных . Легко проверить, что в случае уравнения или получится интеграл такого же вида: .

Объединяя все полученные части, получаем общую площадь , где – вся область изменения параметров .

Отметим, что выражение можно преобразовать к более удобному для вычислений виду. Числа суть координаты вектора . Поэтому – квадрат модуля вектора . Напомним, что модуль векторного произведения равен ( – угол между и ). Значит, .

Принято обозначать

;

Итак,

и формула для площади поверхности, заданной параметрически, такова: .

Пример. Вычислить площадь части гиперболического параболоида , вырезанной из него цилиндром .

Решение. Имеем поверхность , где . Поскольку функция является непрерывно дифференцируемой в , то – элементарная гладкая поверхность. Граница области является окружностью (гладкой линией в ), поэтому – измеримая по Жордану область.

Площадь указанной части гиперболического параболоида будет вычисляться по формуле

Переходя к полярным координатам, получим

Поверхностный интеграл по элементу поверхности (первого рода)

Поверхностный интеграл первого рода является таким же обобщением двойного интеграла, как криволинейный интеграл первого рода по отношению к определённому интегралу.

Задача о вычислении массы материальной поверхности. К понятию поверхностного интеграла приводит, например, задача вычисления массы, распределённой по поверхности с переменной поверхностной плотностью . Для нахождения этой массы разбивают поверхность на части и выбирают в каждой из них по точке . Если эти части достаточно малы, то их массы приближённо равны , а масса всей поверхности будет приближённо равна . Это значение тем ближе к точному, чем меньше части . Поэтому точное значение массы поверхности есть

где предел берётся при условии, что размеры всех частей (и их площади ) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики.

А теперь сформулируем понятие поверхностного интеграла по элементу площади (первого рода).

Определение. Пусть – измеримая двусторонняя поверхность в трёхмерном пространстве , имеющая площадь , а – непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность с помощью непрерывных кривых, сетью линий разобьём на участков , не имеющих общих внутренних точек (рис. 4).

Площади «элементарных» участков обозначим , , а наибольший из диаметров этих участков – через . На каждом «элементарном» участке произвольным образом выберем по точке . Значение функции в точке умножим

Рис. 4 – Построение интегральной суммы на площадь поверхности : , и сложим все полученные произведения.

Сумма

называется интегральной суммой для функции по поверхности . Для данной функции можно составить бесчисленное множество интегральных сумм по поверхности .

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности существует конечный предел интегральных сумм , не зависящий от способа разбиения поверхности на «элементарные» участки и от выбора точек , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается символом

Отметим, что в определении интеграла первого рода сторона поверхности не участвует. Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого рода – рассмотренная нами задача о нахождении массы поверхности , поверхностная плотность которой в точке равна .

Приведём простейшие достаточные условия существования поверхностного интеграла первого рода.

Теорема. Пусть функция непрерывна на ограниченной гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности с гладкой (или кусочно-гладкой) границей. Тогда поверхностный интеграл 1-го рода по этой поверхности существует.

Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между криволинейным и поверхностным интегралами второго рода.

Теорема. Пусть – гладкая ориентированная двусторонняя поверхность (то есть направление нормали выбрано) и – кусочно-гладкая кривая, ограничивающая , причем мы считаем направление обхода положительным. Пусть функции , , – непрерывно дифференцируемые. Тогда имеет место формула Стокса

Доказательство. Предположим, что наша поверхность задаётся параметрически где ( – некоторая область на плоскости ). Тогда для кривой параметризация примет вид , где параметризация проекции кривой на плоскость : (разумеется, здесь – непрерывно дифференцируемые функции).

Вычислим, например, . Перейдём от криволинейного интеграла к определённому

Так как сложная функция, то и наш интеграл примет вид

Но . Тогда, с учётом параметризации кривой наш определённый интеграл равен криволинейному по плоской кривой

Мы перешли от интеграла по пространственной дуге к интегралу по плоской дуге . Так как , то к плоской кривой применим формулу Грина: .

Рассмотрим подынтегральное выражение

Так как вторые смешанные производные функции непрерывны, то последние слагаемые сократятся. Имеем

и мы приходим к двойному интегралу

Осталось воспользоваться формулой

из теоремы 2 на 34 странице, а именно , :

При этом выбор стороны поверхности согласован с направлением обхода контура , так как именно эту сторону характеризует выбор знака определителей .

При помощи круговой перестановки переменных и получаются аналогичные равенства для функций и , удовлетворяющим тем же условиям что и :

Сложим полученные равенства

Формула Стокса доказана.

Замечание 1. При замене поверхностного интеграла второго рода на поверхностный интеграл первого рода получим равносильную формулировку:

Замечание 2. В случае кривой , лежащей в плоскости и функций , , удовлетворяющих условиям теоремы, формула Стокса совпадает с формулой Грина.

Следовательно, формула Грина является частным случаем формулы Стокса.

Замечание 3. Формулы в правой части запомнить непросто. Поэтому удобно записать подынтегральное выражение в виде определителя

Разумеется, это не совсем обычный определитель. Ведь во второй строке его стоят операторы дифференцирования. Поэтому условимся считать, что мы понимаем под этим определителем его формальное разложение по первой строке, причем произведение, например, оператора на функцию есть и т.п. То есть формула Стокса устанавливает связь между интегралом по поверхности и криволинейным интегралом по контуру, ограничивающему эту поверхность.

Формула Стокса выражает криволинейный интеграл по контуру через интеграл по поверхности , «натянутой» на этот контур. Сторона поверхности и направление обхода контура взаимно определяют друг друга. Вообще говоря, формула Стокса имеет место для любой незамкнутой, ограниченной контуром поверхности , состоящей из конечного числа поверхностей рассмотренного вида, а также для поверхностей, обладающих указанными свойствами, относительно других координатных плоскостей.

Воспользуемся формулой Стокса для переноса на пространственные криволинейные интегралы (поверхностные интегралы) результатов об условиях независимости криволинейного интеграла от кривой интегрирования, полученных для плоского случая с помощью формулы Грина (12 теорем).

Определение 2. (Аналогичное определению односвязности плоской области) Область называется поверхностно односвязной, если для любой замкнутой кусочно-гладкой линии , лежащей в , найдется кусочно-гладкая поверхность , границей которой является .

Примерами поверхностно односвязных областей являются шар, область, заключенная между двумя концентрическими сферами, пространство . Примером области, которая не является поверхностно односвязной, является тор.

Сформулируем теорему об эквивалентности четырех утверждений, аналогичную теореме для приложения теоремы Грина при изучении криволинейных интегралов.

Теорема (12 теорем). Пусть функции , , – непрерывно дифференцируемы в поверхностно односвязной области . Тогда следующие утверждения равносильны:

I Выполняются равенства: , , в .

II Для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой .

III Для любых двух точек и значение интеграла , не зависит от выбора кусочно-гладкой кривой , соединяющей точки и в .

IV Выражение является полным дифференциалом некоторой функции , определенной в и такой, что .

В этом случае для любой кривой .

Пример. Вычислить вдоль линии ограничивающей поверхность Рис. 11 – Параболоид (рис. 11).

Решение. Проекцией поверхности на плоскость будет круг . Воспользовавшись формулой Стокса, получаем:

Переходя к полярным координатам, получим

Образец контрольной работы

1) Вычислить площадь поверхности конуса , где .

2) Вычислить , где S – сфера .

3) Найти , где S – внешняя сторона части цилиндра , , , .

4) Используя формулу Стокса, найти , где Г – эллипс , .

5) Используя формулу Гаусса-Остроградского, найти , где S – внешняя сторона тетраэдра , , , .

Экзаменационные вопросы по данной теме

Образцы решения задач

1. Вычислить поверхностный интеграл I-го рода где – полусфера

Решение. Интегрирование проводится по верхней полусфере . Поскольку в нашем случае , то по формуле находим:

где - круг . Переходя в интеграле к полярным координатам, получаем:

Так как ,

то

2. Вычислить поверхностный интеграл ІІ-го рода где – внешняя сторона сферы .

Решение. Рассмотрим интеграл ; его можно представить в виде суммы интегралов по верхней и нижней внешних сторонах полусферы. Обозначим их соответственно і : .

На поверхности выполняется равенство , а на поверхности – равенство . Пусть – проекция поверхности на плоскость . Поверхность проектируется на со стороны внешней нормали, которая создает с положительным направлением оси тупой угол, поэтому при замене интеграла по этой поверхности двойным по области следует перед последним взять знак «‑ ». В результате получаем:

Из очевидного равенства окончательно находим: .

3. С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить поверхностный интеграл , где – внешняя сторона куба

Решение. Применяя формулу Остроградского, получаем:

4. Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл , где – круг, , , с движением против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси

Решение. Применив формулу Стокса и взяв в ней в качестве поверхности круг радиуса , лежащий в плоскости , получим:

где , , – направляющие косинусы нормали к поверхности – плоскости . Поскольку нормаль к этой плоскости образует с положительным направлением оси острый угол, то в каждой из формул для вычисления , , перед радикалом возьмем знак «+».

Очевидно, благодаря чему имеем:

5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , .

Решение. Параболоид вращения и плоскость пересекаются по кривой, причем уравнение проекции этой кривой на плоскость имеет вид . А значит

Заменяя в интеграле переменные по формулам получаем

6. Найти площадь части поверхности конуса заключенного внутри цилиндра

Решение. Поверхность, площадь которой требуется найти, вырезают цилиндром из конической поверхности . Цилиндр пересекается с плоскостью по окружности , которая является границей области интегрирования в двойном интеграле, равном численному значению площади поверхности.

Для функции имеем ; поэтому потому что интеграл равен по величине площади круга единичного радиуса.

7. Найти площадь части поверхности параболоида , заключенного внутри цилиндра

Решение. Из условия задачи заключаем, что поверхность симметрична относительно оси (потому что ее сечения плоскостями являются кругами с центрами, лежащими на оси ) и что . Цилиндрическая поверхность симметрична относительно плоскости и пересекается с плоскостью по кривой, уравнение которой в полярных координатах имеет вид . Четвертый элемент части поверхности, вырезанной из параболоида цилиндром, проецируется на плоскость в замкнутую область , ограниченную лучом и частью кривой Так как , то, учитывая приведенные выше рассуждения, имеем:

Перейдя в двойном интеграле к полярным координатам, получим:

8. Найти координаты и центра масс области, ограниченной параболами:

Решение. Точки плоской фигуры симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла, поэтому центр тяжести находится на этой биссектрисе.

Итак, (так как центр тяжести находится на биссектрисе ).

Старинные русские меры объёма

Древнейшая (возможно первая) «международная» мера объёма – горсть (ладонь с пальцами, сложенные лодочкой). Большая (добрая, хорошая) горсть – сложена так, что вмещает больший объём. Пригоршня – две ладони, соединённые вместе.

Первыми мерами объема являлись обычные для хозяйственной практики сосуды и другие вместилища, которые после достижения некоторого единства объемов стали употребляться в качестве мерила количества зерна, вина и пр. при операциях товарообмена.

Для мер жидкости чаще всего употреблялись бочка, ведро, корчага.

Бочарная посуда (то есть, для жидких и сыпучих), отличалась разнообразием названий в зависимости от места производства (баклажка, баклуша, бочаты), от размера и объема – бадия, пудовка, сороковка), своего основного назначения (смоляная, солевая, винная, дегтярная) и используемой для их изготовления древесины (дуб, сосна, липа, осина). Готовая бочарная продукция подразделялась на ведра, кадки, чаны, бочонки и бочки.

Бочка, как мера жидкостей, применялась в основном в процессе торговли с иностранцами, которым запрещалось вести розничную торговлю вином на малые меры. Равнялась 40 ведрам (492 л) Материал для изготовления бочки выбирали в зависимости от её назначения: дуб – для пива и растительных масел, ель – под воду, липа – для молока и мёда. Чаще всего в крестьянском быту использовались небольшие бочки и бочонки от 5-и до 120-и литров. Большие бочки вмещали до сорока вёдер (сороковки) Бочки использовали так же и для стирки (отбивки) белья (рис. 12). Рис. 12 – Бочка

Бочка, как мера жидкостей применялась в основном в процессе торговли с иностранцами, которым запрещалось вести розничную торговлю вином на малые меры.

Мерная бочка «... из краю в край полтора аршина, а поперек-аршин, а мерить вверх, как ведетца, поларшина».

Ушат – высота посудины – 30-35 сантиметров, диаметр – 40 сантиметров, объем – 2 ведра или 22-25 литров (рис. 13). Рис. 12 – Ушат

Ендова – деревянная или металлическая утварь (часто, украшенная орнаментом), используемая для подачи к столу напитков. Представляла собой невысокую чашу с носиком. Металлическая ендова изготавливалась из меди или латуни. Деревянные ендовы изготавливали из осины, липы или берёзы (рис. 13).

Кожаный мешок (бурдюк) – до 60 л.

Ведро – основная русская дометрическая мера объема жидкостей (рис. 14). Рис. 13 – Ендова

Ведро = 1/40 бочки = 10 кружек = 30 фунтов воды = 20 водочных бутылок (0, 6) = 16 винных бутылок (0, 75) = 100 чарок = 200 шкаликов = 12 литров.

Ведро – железная, деревянная или кожаная посуда, преимущественно цилиндрической формы, с ушками или дужкой для ношения. В обиходе, два ведра на коромысле должны быть «в подъём женщине». До середины XVII в. в ведре содержалось 12 кружек, во второй половине XVII в. так называемое казённое ведро содержало 10 кружек, а в кружке – 10 чарок, так что, в ведро входило 100 чарок. Затем, по указу 1652 года чарки сделали Рис. 14 – Ведро втрое больше по сравнению с прежними («чарки в три чарки»). В торговое ведро вмещалось 8 кружек. Значение ведра было переменным, а значение кружки неизменным, в 3 фунта воды (1228, 5 грамма).

Корчага – 1 1/2 – 1 3/4 ведра.

Четверть (четвёртая часть ведра) = 3 литра (раньше это была узкогорлая стеклянная бутылка).

Мера « бутылка » появилась в России при Петре I.

Русская бутылка = 1/20 ведра = 1/2 штофа = 5 чарок = 0, 6 литра (поллитровка появилась позже – в двадцатые годы XX века)

Поскольку в ведре вмещалось 20 бутылок (20 по 0, 6 = 12 л), а в торговле счет шёл на ведра, то ящик, по устоявшейся традиции, до сих пор вмещает 20 бутылок.

Для вина русская бутылка была больше – 0, 75 литра.

В России производить стекло заводским способом начали с 1635 года. К этому же времени относится и выпуск стеклянных сосудов. Первую отечественную бутылку выпустили на заводе, который был построен на территории современной подмосковной станции Истра, и продукция была, вначале, предназначена исключительно для аптекарей, с их микстурами.

За границей, стандартная бутылка вмещает одну шестую галлона – в разных странах это составляет от 0, 63 до 0, 76 литра

Плоская бутылка называется флягою.

Штоф (от нем. Stof) = 1/10 ведра = 10 чаркам = 1, 23 л. Появился при Петре I. Служил мерой объема всех алкогольных напитков. По форме штоф был похож на четверть (рис. 15). Рис. 15 – Штоф

Кружка (слово означает – «для пития по кругу») = Елизаветы Петровны

10 чаркам = 1, 23 л.

Современный граненый стакан раньше назывался «досканом» («строганые доски»), состоящим из обвязанных верёвкой ладов-дощечек, вокруг деревянного донца.

Чарка (рус. мера жидкости) = 1/10 штофа = 2 шкаликам = 0, 123 л.

Стопка = 1/6 бутылки = 100 грамм. Считалась величиной разовой дозы приёма.

Шкалик (народное название – «косушка», от слова «косить», по характерному движению руки) = 1/2 чарки = 0, 06 л.

Устав о вине 1781 года устанавливал в каждом питейном заведении иметь «засвидетельствованные в Казённой палате меры».

Меры объема имели две области применения для сыпучих тел и для жидкостей. В древней Руси основная система мер для сыпучих тел выражалась следующей схемой:

1 кадь = 2 половникам = 4 четвертям = 8 осминам.

Кадь вмещала 14 пудов ржи (пуд XVI - XVII вв.) т.е. 229, 32 кг, отсюда половник равен 7 пудам ржи, четверть – 3 1/2 пуда ржи, осьмина – 1 3/4 пуда ржи.

Кадь и ее доли употреблялись в эпоху Киевской Руси повсеместно (рис. 16). Рис. 16 – Кадь

Значение четверти изменилось с течением времени: в XVI веке хлебная четверть вмещала 4 пуда ржи, а в XVII веке – 6 пудов ржи (5 пудов муки). В конце XVII века фигурирует уже «московская осьмипудовая четверть». За короткое время значение четверти увеличилось в два раза.

В торговой практике и в быту по-прежнему употреблялись особые меры объема сыпучих тел и жидкостей. У Л.Ф.Магницкого указаны следующие меры сыпучих тел («хлебные меры»): ласт – 12 четвертей, четверть, осьмина, полосьмина и четверик; меры жидкостей («винные меры»): бочка(40 ведер), ведро, полведра, четверть ведра, «осмуха» и «крушка» (1/16 ведра).

«Указом 1835 г. были легализованы следующие системы мер сыпучих тел:

четверть = 2 получетвертям = 8 четверикам = 64 гарнцам;

Гарнец определен как объем, вмещавший 8 фунтов перегнанной очищенной воды. Дополнительно были указаны осьмина (1/2 четверти), полуосьмина и полугарнец.