Список рекомендованной литературы. О сновная литература

О сновная литература

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория Знаний, 2003. – Т. 1. 680 с., Т. 2. 864 с., Т. 3. 728 с. (а также все издания с 1968 г.).

2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: в 3 т. / Л. Д. Кудрявцев. – М.: Высшая школа, 1988–1999. – Т. 1. 712 с., Т. 2. 576 с., Т. 3. 352 с. (а также все издания с 1981 г.).

3. Кудрявцев Л. Д. Сборник задач по математическому анализу / Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов и др. – Т. 2. Интегралы. Ряды. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 504 с. (а также все издания с 1984 г.).

 

Дополнительная литература

1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б. П. Демидович. – М.: Наука, 1990. – 624 с.

2. Зорич В. А. Математический анализ: в 2 ч. / В. А. Зорич. – М.: МЦНМО, 2002. – Ч. 1. – 664 с., Ч. 2. – 794 с. (а также все издания с 1981 г.).

3. Ильин В. А. Математический анализ: в 2 ч. / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. – М.: Проспект: Изд-во Моск. ун-та,
2004–2006. – Ч. 1. – 672 с., Ч. 2. – 368 с. (а также все издания с 1979 г.).

4. Гелбаум Б. Контрпримеры в анализе / Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. – М.: Мир, 1967. – 251 с.

5. Дороговцев А. Я. Математичний аналіз / А. Я. Дороговцев. – К.: Либідь, 1994. – Т. 1–2. – 304 с.

6. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа / Г. М. Фихтенгольц. – Изд. 4-е, стер. – М.: Лань, 2004. – Ч. 1. – 440 с., Ч. 2. – 463 с.

 

Варианты индивидуального задания

Задание 1. Вычислить поверхностный интеграл I-го рода.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

 

Задание 2. Вычислить поверхностный интеграл II-го рода; считая, что поверхность ориентирована внешним образом

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

 

Задание 3. Найти площадь части поверхности

3.1.  отсеченной

3.2.  отсеченной

3.3.  отсеченной

3.4.  отсеченной

3.5.  отсеченной

3.6.  отсеченной

3.7.  отсеченной

3.8.  отсеченной

3.9.  отсеченной

3.10.  отсеченной

 

Задание 4. С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить интегралы (поверхности ориентированы внутренним образом).

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

 

Задание 5. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по формуле Стокса (движение вдоль контура в положительном направлении).

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.  сечение куба со стороной  плоскостью

5.7.

5.8.

5.9.  треугольник с вершинами в точках

5.10.

 

Задание 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

Задание 7. Вычислить площадь поверхности

7.1.  расположенной в конусе

7.2.  расположенной в цилиндре

7.3.  расположенной в конусе

7.4.  расположенной в цилиндре

7.5.  расположенной в цилиндре

7.6.  расположенной в цилиндре

7.7.  расположенной между плоскостями

7.8.  расположенной в цилиндре

7.9.  расположенной между плоскостями

7.10.  расположенной в цилиндре

 

Образцы решения задач

1. Вычислить поверхностный интеграл I-го рода  где  – полусфера

Решение. Интегрирование проводится по верхней полусфере . Поскольку в нашем случае , то по формуле  находим:

,

где  - круг . Переходя в интеграле к полярным координатам, получаем:

Так как ,

то

 

2. Вычислить поверхностный интеграл ІІ-го рода  где  – внешняя сторона сферы .

Решение. Рассмотрим интеграл ; его можно представить в виде суммы интегралов по верхней и нижней внешних сторонах полусферы. Обозначим их соответственно  і : .

На поверхности  выполняется равенство , а на поверхности  – равенство . Пусть  – проекция поверхности  на плоскость . Поверхность  проектируется на  со стороны внешней нормали, которая создает с положительным направлением оси  тупой угол, поэтому при замене интеграла по этой поверхности двойным по области  следует перед последним взять знак «‑ ». В результате получаем:

.

Из очевидного равенства  окончательно находим: .

 

3. С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить поверхностный интеграл , где  – внешняя сторона куба

Решение. Применяя формулу Остроградского, получаем:

 

4. Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл , где  – круг, , , с движением против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси  

Решение. Применив формулу Стокса и взяв в ней в качестве поверхности  круг радиуса , лежащий в плоскости , получим:

где , ,  – направляющие косинусы нормали к поверхности  – плоскости . Поскольку нормаль к этой плоскости образует с положительным направлением оси  острый угол, то в каждой из формул для вычисления , ,  перед радикалом возьмем знак «+».

Очевидно,  благодаря чему имеем:

 

5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , .

Решение. Параболоид вращения  и плоскость  пересекаются по кривой, причем уравнение проекции этой кривой на плоскость  имеет вид . А значит

Заменяя в интеграле переменные по формулам  получаем

6. Найти площадь части поверхности конуса  заключенного внутри цилиндра

Решение. Поверхность, площадь которой требуется найти, вырезают цилиндром из конической поверхности . Цилиндр пересекается с плоскостью  по окружности , которая является границей области интегрирования в двойном интеграле, равном численному значению площади поверхности.

Для функции  имеем ; поэтому  потому что интеграл  равен по величине площади круга единичного радиуса.

7. Найти площадь части поверхности параболоида , заключенного внутри цилиндра

Решение. Из условия задачи заключаем, что поверхность  симметрична относительно оси  (потому что ее сечения плоскостями  являются кругами с центрами, лежащими на оси ) и что . Цилиндрическая поверхность симметрична относительно плоскости  и пересекается с плоскостью  по кривой, уравнение которой в полярных координатах имеет вид . Четвертый элемент части поверхности, вырезанной из параболоида цилиндром, проецируется на плоскость  в замкнутую область , ограниченную лучом  и частью кривой  Так как , то, учитывая приведенные выше рассуждения, имеем:

.

Перейдя в двойном интеграле к полярным координатам, получим:

 

8. Найти координаты  и  центра масс области, ограниченной параболами:

Решение. Точки плоской фигуры симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла, поэтому центр тяжести находится на этой биссектрисе.

 Итак,  (так как центр тяжести находится на биссектрисе ).

 Старинные русские меры объёма

Древнейшая (возможно первая) «международная» мера объёма – горсть (ладонь с пальцами, сложенные лодочкой). Большая (добрая, хорошая) горсть – сложена так, что вмещает больший объём. Пригоршня – две ладони, соединённые вместе.

Первыми мерами объема являлись обычные для хозяйственной практики сосуды и другие вместилища, которые после достижения некоторого единства объемов стали употребляться в качестве мерила количества зерна, вина и пр. при операциях товарообмена.

Для мер жидкости чаще всего употреблялись бочка, ведро, корчага.

Бочарная посуда (то есть, для жидких и сыпучих), отличалась разнообразием названий в зависимости от места производства (баклажка, баклуша, бочаты), от размера и объема – бадия, пудовка, сороковка), своего основного назначения (смоляная, солевая, винная, дегтярная) и используемой для их изготовления древесины (дуб, сосна, липа, осина). Готовая бочарная продукция подразделялась на ведра, кадки, чаны, бочонки и бочки.

Бочка, как мера жидкостей, применялась в основном в процессе торговли с иностранцами, которым запрещалось вести розничную торговлю вином на малые меры. Равнялась 40 ведрам (492 л) Материал для изготовления бочки выбирали в зависимости от её назначения: дуб – для пива и растительных масел, ель – под воду, липа – для молока и мёда. Чаще всего в крестьянском быту использовались небольшие бочки и бочонки от 5-и до 120-и литров. Большие бочки вмещали до сорока вёдер (сороковки) Бочки использовали так же и для стирки (отбивки) белья (рис. 12).                           Рис. 12 – Бочка

Бочка, как мера жидкостей применялась в основном в процессе торговли с иностранцами, которым запрещалось вести розничную торговлю вином на малые меры.

Мерная бочка «... из краю в край полтора аршина, а поперек-аршин, а мерить вверх, как ведетца, поларшина».

Ушат – высота посудины – 30-35 сантиметров, диаметр – 40 сантиметров, объем – 2 ведра или 22-25 литров (рис. 13).     Рис. 12 – Ушат

Ендова – деревянная или металлическая утварь (часто, украшенная орнаментом), используемая для подачи к столу напитков. Представляла собой невысокую чашу с носиком. Металлическая ендова изготавливалась из меди или латуни. Деревянные ендовы изготавливали из осины, липы или берёзы (рис. 13).

Кожаный мешок (бурдюк) – до 60 л.

Ведро – основная русская дометрическая мера объема жидкостей (рис. 14).                                       Рис. 13 – Ендова

Ведро = 1/40 бочки = 10 кружек = 30 фунтов воды = 20 водочных бутылок (0, 6) = 16 винных бутылок (0, 75) = 100 чарок = 200 шкаликов = 12 литров.

Ведро – железная, деревянная или кожаная посуда, преимущественно цилиндрической формы, с ушками или дужкой для ношения. В обиходе, два ведра на коромысле должны быть «в подъём женщине». До середины XVII в. в ведре содержалось 12 кружек, во второй половине XVII в. так называемое казённое ведро содержало 10 кружек, а в кружке – 10 чарок, так что, в ведро входило 100 чарок. Затем, по указу 1652 года чарки сделали Рис. 14 – Ведро втрое больше по сравнению с прежними («чарки в три чарки»). В торговое ведро вмещалось 8 кружек. Значение ведра было переменным, а значение кружки неизменным, в 3 фунта воды (1228, 5 грамма).

Корчага – 1 1/2 – 1 3/4 ведра.

Четверть (четвёртая часть ведра) = 3 литра (раньше это была узкогорлая стеклянная бутылка).

Мера « бутылка » появилась в России при Петре I.

Русская бутылка = 1/20 ведра = 1/2 штофа = 5 чарок = 0, 6 литра (поллитровка появилась позже – в двадцатые годы XX века)

Поскольку в ведре вмещалось 20 бутылок (20 по 0, 6 = 12 л), а в торговле счет шёл на ведра, то ящик, по устоявшейся традиции, до сих пор вмещает 20 бутылок.

Для вина русская бутылка была больше – 0, 75 литра.

В России производить стекло заводским способом начали с 1635 года. К этому же времени относится и выпуск стеклянных сосудов. Первую отечественную бутылку выпустили на заводе, который был построен на территории современной подмосковной станции Истра, и продукция была, вначале, предназначена исключительно для аптекарей, с их микстурами.

За границей, стандартная бутылка вмещает одну шестую галлона – в разных странах это составляет от 0, 63 до 0, 76 литра

Плоская бутылка называется флягою.

Штоф (от нем. Stof) = 1/10 ведра = 10 чаркам = 1, 23 л. Появился при Петре I. Служил мерой объема всех алкогольных напитков. По форме штоф был похож на четверть (рис. 15).                                                                                      Рис. 15 – Штоф

Кружка (слово означает – «для пития по кругу») = Елизаветы Петровны

10 чаркам = 1, 23 л.

Современный граненый стакан раньше назывался «досканом» («строганые доски»), состоящим из обвязанных верёвкой ладов-дощечек, вокруг деревянного донца.

Чарка (рус. мера жидкости) = 1/10 штофа = 2 шкаликам = 0, 123 л.

Стопка = 1/6 бутылки = 100 грамм. Считалась величиной разовой дозы приёма.

Шкалик (народное название – «косушка», от слова «косить», по характерному движению руки) = 1/2 чарки = 0, 06 л.

Устав о вине 1781 года устанавливал в каждом питейном заведении иметь «засвидетельствованные в Казённой палате меры».

 

Меры объема имели две области применения для сыпучих тел и для жидкостей. В древней Руси основная система мер для сыпучих тел выражалась следующей схемой:

1 кадь = 2 половникам = 4 четвертям = 8 осминам.

Кадь вмещала 14 пудов ржи (пуд XVI - XVII вв.) т.е. 229, 32 кг, отсюда половник равен 7 пудам ржи, четверть – 3 1/2 пуда ржи, осьмина – 1 3/4 пуда ржи.

Кадь и ее доли употреблялись в эпоху Киевской Руси повсеместно (рис. 16).                                                                   Рис. 16 – Кадь

Значение четверти изменилось с течением времени: в XVI веке хлебная четверть вмещала 4 пуда ржи, а в XVII веке – 6 пудов ржи (5 пудов муки). В конце XVII века фигурирует уже «московская осьмипудовая четверть». За короткое время значение четверти увеличилось в два раза.

В торговой практике и в быту по-прежнему употреблялись особые меры объема сыпучих тел и жидкостей. У Л.Ф.Магницкого указаны следующие меры сыпучих тел («хлебные меры»): ласт – 12 четвертей, четверть, осьмина, полосьмина и четверик; меры жидкостей («винные меры»): бочка(40 ведер), ведро, полведра, четверть ведра, «осмуха» и «крушка» (1/16 ведра).

«Указом 1835 г. были легализованы следующие системы мер сыпучих тел:

четверть = 2 получетвертям = 8 четверикам = 64 гарнцам;

Гарнец определен как объем, вмещавший 8 фунтов перегнанной очищенной воды. Дополнительно были указаны осьмина (1/2 четверти), полуосьмина и полугарнец.

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: