Дзундза А. И., Цапов В. А.

М 178   Поверхностный интеграл: учеб.-метод. пособие для студентов по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки). Профиль: Математика и информатика / А. И. Дзундза, В. А. Цапов. – Донецк, ДонНУ, 2017. – 56 с.

 

 

Изложены основные понятия и факты, теоретические положения и рекомендации к решению основных типов задач по теме «Поверхностный интеграл». Пособие содержит задания тематической контрольной работы; теоретические задания для самостоятельного решения, экзаменационные вопросы, индивидуальные задания; примеры типовых задач, к которым приведены обоснованные решения.

Для студентов по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки). Профиль: Математика и информатика.

 

 

УДК 517.212

ББК В 161я73

© Дзундза А. И., 2017

© Цапов В. А., 2017

© ГОУ ВПО «ДонНУ», 2017

Содержание

Предисловие……………………………………………………………………...4

Введение…………………………………………………………………………..7

Основные определения и формулы……………………………………………12

Контрольные вопросы и задания………………………………………………41

Список рекомендованной литературы……………………………………...…43

Варианты индивидуального задания …………………………………………44

Образцы решения задач………………………………………………………..47

 

Предисловие

Математическое образование играет несомненную культурную роль в социальном, научном, техническом и экономическом развитии общества. Специалисты, которые в совершенстве владеют математическими методами, всегда составляли стратегический ресурс нации. Очевидным доказательством этого является широкое использование математических моделей не только в различных естественных науках и технике, но и в производстве, управлении, экономике, сфере быта. Поэтому знания, умения и навыки, полученные в процессе математического образования, являются важным элементом общекультурной и профессионально-ориентированной подготовки будущих специалистов.

В современной научно-педагогической литературе происходит широкое обсуждение проблемы воспитательных и развивающих возможностей математического обучения. Как известно, понятие «воспитывающего обучения» ввёл в педагогическую науку немецкий педагог, философ, психолог Иоганн Фридрих Гербарт (Johann Friedrich Herbart, 1776–1841). Согласно представлениям Гербарта воспитывающее обучение направлено на гармоничное объединение сообщения знаний и пробуждения умственной самостоятельности учащегося. Советский и российский культуролог, философ, педагог М. Каган (1921–2006) относил математику вместе с философией к культурологическим наукам. В. Крутецкий связывал «математическое» развитие человека с развитием общей культуры личности. По его мнению, изучение методов математического познания раскрывает универсальность форм изучения действительности, актуализирует математику как часть общечеловеческой культуры.

Ряд научно-педагогических исследований посвящен разработке условий реализации воспитательной функции фундаментального математического образования через обеспечение межпредметных связей, профессионально-прикладной направленности математических дисциплин, привлечение исторических фактов и сведений. Так, М. Виленкин отмечал, что существует необходимость решить проблему углубления гуманитаризации курса математики, в частности, включения в нее сведений по истории развития математики, ее приложений к социально-экономическим наукам.

Анализ научно-педагогической литературы позволяет сделать вывод, что культурологическая направленность фундаментального математического образования может быть обеспечена через усиление гуманитарных компонентов содержания математического образования в высшей школе. Следовательно, изучение человека, гуманитарной сферы его деятельности как объекта математического познания должно иметь значительную эмоциональную окраску для учащегося, усиливать мировоззренческую ориентацию фундаментального математического образования, способствовать формированию элементов общей культуры личности и ее отдельных проявлений.

Общеизвестно, что современные студенты относятся к так называемому «цифровому поколению». Они неохотно читают книги, не интересуются бумажными носителями информации, большинство информации потребляют с помощью компьютера. Студенты слишком много времени проводят в виртуальном мире, который многим из них кажется красочным, ярким, удобным. По нашему мнению, в ближайшем будущем «цифровое поколение» будет испытывать острую потребность в духовных началах, в развитии социокультурной сферы именно из-за перегруженности информационно-цифровыми коммуникациями. Безусловно, такое положение усиливается общей напряженностью в обществе, незащищенностью от угроз сети Интернет.

Математическое обучение имеет широчайшие возможности влияния на личностную сферу студентов, поскольку позволяет продемонстрировать, что интеллектуальное, эстетическое, эмоциональное наслаждение доставляет не только искусство, но и радость творчества в других сферах деятельности. Решение задачи или доказательство теоремы различными методами, сравнение этих методов по красоте и оригинальности приемов, изящество и «мощь» формулы или теоремы – все это дает повод к личностным переживаниям. Студенты должны почувствовать стройность математики, изящество внутренних связей в ней, красоту формул, доказательств, гармонию пространственных фигур.

Нет другой науки, требующей такой строгости рассуждений, которая необходима в математике. Привыкая каждое предложение строго доказывать, студенты приучаются к «основательности» своих суждений, привыкают выводить одно предложение из другого. Они приобретают способность мыслить логически. Логика, которая применяется в математике, лежит в основе рассуждений, имеющих место не только в самых разных учебных дисциплинах (физике, химии, истории), но и в человеческих отношениях. Общение с преподавателем, товарищами должно стать для студента образцом логической стройности, завершенности и обоснованности заключений. Математика обладает не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой, приближающейся к настоящему совершенству, которое свойственно только самым лучшим образцам искусства (Б. Рассел).

Воспитательный потенциал математики является эффективным средством творческого развития личности представителей «цифрового поколения». К сожалению, этим вопросам на занятиях по «негуманитарным» дисциплинам уделяется недостаточно внимания. Это обусловлено рядом причин. Во-первых, в методических пособиях этот вопрос почти не рассматривается, а преподаватель не всегда имеет четкое представление о воспитательных возможностях математических дисциплин. Во-вторых, даже те задачи, которые содержат в себе определенный воспитательный потенциал, при отсутствии методических рекомендаций используются однобоко, обычно только для формирования определенных знаний, умений и навыков и развития логического мышления. Мы считаем, что наряду с предметами гуманитарного цикла естественнонаучные учебные дисциплины позволяют использовать дополнительные воспитательные средства, способствующие развитию интеллектуальной, эстетической, эмоционально-чувственной, нравственной сферы представителей «цифрового поколения».

Воспитательный потенциал математики подчеркивают, прежде всего, сами ее создатели. С. Пуассон считал, что жизнь украшается двумя вещами: возможностью изучать математику и возможностью ее преподавать. Г. Харди, говоря о доминирующем побуждении к научному творчеству вообще и к математическому в частности, указывает на интеллектуальную любознательность, профессиональное достоинство и честолюбие исследователя. Чисто математическим стимулом он считает тот, который является результатом способности к эстетической оценке математики. Наверное, трудно найти образованного человека, абсолютно нечуткого к эстетической и эмоциональной стороне математики. Однако быть уверенным, что математик, подобно художнику или поэту, создает прекрасные узоры, – на это готов только тот, кому красота математики представляется как безусловная и несомненная реальность и кто в общении с этой красотой обретает смысл, цель существования. Об этом Г. Харди сказал, что «в мире нет места для некрасивой математики».

Глубокая и важная черта математических задач заключается в том, что подавляющее большинство их имеет творческий характер. Если в других отраслях знания выполнение задания чаще всего требует от студентов в основном репродуктивных знаний и навыков, решение математической задачи, как правило, предусматривает изобретение специального метода, который ведет к поставленной цели и тем самым становится – пусть очень скромным – творческим актом. Именно этот творческий, исследовательский характер математических задач, возможность применить свой интеллект, больше всего притягивает к себе студентов. Тот, кто испытал радость творческого достижения, никогда уже не пожалеет усилий, чтобы снова эту радость испытать. Недооценка воспитательного потенциала математического образования ведет к значительным потерям в содержании образования. Анализ программ по математическим дисциплинам показывает, что, к сожалению, воспитательные задачи не всегда отражены в целях учебных дисциплин. Хотя воспитательная составляющая должна присутствовать в содержании обучения любой дисциплине, в частности, естественнонаучной, и должна быть выделена дидактически.

В содержании данного учебно-методического пособия актуализируется воспитательный потенциал математического обучения, направленный на формирование общей культуры, расширение плоскости взаимодействия «цифрового поколения» с реальным (а не виртуальным) миром.

Введение

В учебно-методическом пособии изложены основные понятия и факты, теоретические положения и рекомендации к решению основных типов задач по теме «Поверхностный интеграл». Пособие содержит задания тематической контрольной работы; теоретические задания для самостоятельного решения, экзаменационные вопросы, индивидуальные задания; примеры типовых задач, к которым приведены обоснованные решения. Изучение материала пособия облегчит процесс усвоения материала и подготовки к экзамену, поможет систематизировать знания и умения.

Курс математического анализа является основной фундаментальной дисциплиной для студентов 1–2 курсов направления «Математика». Это связано не столько с большим объёмом изучаемого материала, сколько с тем, что изучая именно этот предмет, бывшие школьники познают базовые законы математики. Они сталкиваются с очень большим количеством определений, свойств, теорем, лемм, утверждений, следствий, признаков и пр., плохо себе представляя связи в содержании этих понятий и их характерные особенности, отличия друг от друга. Для большинства студентов младших курсов непривычно разделение занятий на лекции и практические (лабораторные) занятия. Зачастую лекторы поддерживают высокий темп изложения материала. Большинство теорем (а также и свойств) содержат доказательство, и лектор уверен, что студенты их все должны помнить, понимая даже нюансы доказательств, а не просто заучить наизусть. Практические занятия посвящены решению большого количества различных по тематике и методам решения задач. И хотя для многих заданий предлагаются готовые схемы решения, большой объем достаточно сложной информации в курсе математического анализа у многих студентов вызывает затруднения. Конечно, к 3–4 курсу придёт понимание, что эта дисциплина важна, и далеко не самая сложная. Но в начале учёбы студентам необходима поддержка, помощь и понимание преподавателей.

В учебно-методическом пособии знания структурируются в соответствии с природой как декларативные, декларативно-процедурные и процедурные. Под декларативными знаниями мы понимаем те знания, в которых содержатся представления о сущности, структуре, свойствах тех или иных понятий. Эти знания являются фактическими, описательными, информационными, они несут в себе информацию о фактах и свойствах определенной предметной области. С точки зрения доступности в Интернете, декларативными являются такие знания, которые содержатся в памяти информационно-коммуникационной системы так, что они легко доступны после соответствующего обращения к определенному полю памяти. Под декларативно-процедурными знаниями мы понимаем общепринятые, стандартизированные методы, алгоритмы широко доступные в Интернете в виде пакетов прикладных программ, текстов доказательства известных теорем и пр. Процедурные знания характеризуются трансформационной и управляющей природой. Они содержат средства, методы преобразования декларативных знаний, способы получения новой информации. Это различные процедуры, алгоритмы, методы, формализованные цепочки логических умозаключений. С точки зрения доступности в Интернете, процедурные знания в явном виде не содержатся в памяти информационно-коммуникационной системы, они присутствуют в виде описаний алгоритмов, процедур, инструкций, методик, с помощью которых можно трансформировать декларативные или декларативно-процедурные знания в процедурные.

Например, на web-ресурсах https: //www.kontrolnaya-rabota.ru/s/, http: //math.semestr.ru/, http: //ru.onlinemschool.com/, http: //matematikam.ru/ предоставляется возможность решать в режиме онлайн интегралы, брать производные, пределы практически для любых функций, вычислять сумму ряда. Решение задач выполняется автоматически компьютерной программой. Все указанные онлайн-калькуляторы выдают ответ с подробным пошаговым решением, которое позволяет повторить алгоритм решения задачи и закрепить пройденный материал. Используйте возможность научиться считать быстро, но не забывайте о том, что при необходимости вы должны уметь все решения проверить вручную.

Современный мир пронизан информационными потоками. Мы считаем, что не имеет смысла бороться в образовании с проникновением Интернета. Поэтому допускаем возможность пользования информацией из внешних источников на занятиях, во время самостоятельной работы и даже при проведении контрольных мероприятий (контрольных, зачетов, экзаменов). При этом мы выделили список вопросов, содержащий декларативные знания, которые должен знать наизусть студент данной специальности, и пометили их значком СТОП-ИНТЕРНЕТ.                   

Остальные контрольные вопросы постарались наполнить проверкой процедурных знаний и не ограничивать доступ учащихся к внешним источникам.

Осознавая свою роль как ближайших помощников студентов, мы открыты к диалогу не только в рамках занятий, но и вне аудиторий, в том числе и в социальных сетях. Страницу Вконтакте можно найти по адресу https: //vk.com/id9540575. А можно и вступить в наши сообщества Математика – это просто! https: //vk.com/math_it_easy и История математики. https: //vk.com/histmath  Данное учебно-методическое пособие будет размещено на этих ресурсах.

 

В математическом анализе каждый новый объект, как правило, изучается в соответствии с общей логической схемой:

1. Задачи, приводящие к новому понятию (по возможности).

2. Определение понятия.

3. Теорема существования или примеры, подтверждающие, что данный объект существует.

4. Перечисление свойств данного объекта (желательно с доказательством).

5. Вывод формул для вычисления параметров данного объекта.

6. Описание круга задач, при решении которых используется данный объект. Примеры.

Применяя эту схему при изучении разделов математического анализа, студенты приучаются не только структурировать материал, но и устанавливать логические связи между различными объектами, их знания перестают быть разрозненными.

Остановимся на основных понятиях.

Определение – это логическая операция, в процессе которой раскрывается содержание понятия, указываются отличительные существенные признаки определяемого объекта. Это можно проделать: а) через ближайшее известное понятие и указав видовые отличия; б) указав на происхождение предмета или способ, которым данный предмет создается; в) указав, как из некоторых исходных объектов строится определяемый объект.

Доказываемые утверждения в математике называют «теоремами», а недоказываемые – гипотезами. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.

Теорема обычно состоит из условия и заключения. Лемма – это вспомогательная теорема. Она доказывает некоторое положение, которое потом уже используется для доказательства основной теоремы.

Просьба не путать с Дилеммой!

Свойство – качество, признак, составляющий отличительную особенность объекта. В математике обычно свойство доказывается, а поэтому свойство – это ещё одна теорема.

Следствие (из теоремы) – новая теорема, при доказательстве которой определяющую роль играет утверждение предыдущей теоремы и которая позволяет более полно трактовать содержание данной теоремы.

Схема решения задач (проверки наличия у данного объекта определенного свойства или доказательство наличия данного свойства) – пошаговая инструкция по выполнению задания. К сожалению, далеко не все известные схемы решения достаточно детально прописаны, поэтому крайне желательно участие педагога при формировании умений использования той или иной схемы решения задач.

Доказательство – рассуждение с целью обоснования истинности
какого-либо утверждения (теоремы).

Основные методы, используемые при построении доказательств: прямое доказательство, математическая индукция и её обобщения, доказательство от противного, контрапозиция, конструктивное построение, исчерпывание вариантов, установление биекции и др.

Прямое доказательство предусматривает применение только непосредственного дедуктивного вывода из считающихся верными утверждений-посылок (аксиом, ранее доказанных лемм и теорем), без использования суждений с отрицанием каких-либо утверждений: исходя из условия теоремы логическими непротиворечивыми рассуждениями получают утверждение теоремы.

Математическая индукция – умозаключение относительно натурального ряда, идея которого заключается в утверждении некоторого закона для всех натуральных чисел, исходя из фактов его выполнения для единицы и следования истинности для каждого последующего числа. Метод математической индукции естественным образом может быть применён для любых «счётных» совокупностей объектов.

Доказательство от противного – вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения. Доказательство проводится таким образом. Сначала принимают предположение, что утверждение теоремы неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение, которое заведомо ложно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение теоремы.

Закон контрапозиции – закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание  этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»).

Метод конструктивного построения используется для доказательства утверждений типа «теорем существования», в которых формулируется в качестве результата наличие какого-либо объекта, например, существование числа, удовлетворяющего каким-либо условиям. Заключается в непосредственном нахождении искомого объекта с использованием методов соответствующей формальной системы или контекста соответствующего раздела. В этом случае доказательство фактически представляет собой алгоритм (метод) построения указанного объекта.

Доказательство методом установления биекции применяется для установления утверждений о сопоставимости совокупности с какой-либо другой совокупностью и состоит в построении взаимно-однозначного соответствия между изучаемым множеством и множеством с известными свойствами. Такие теоремы принято называть «критериями», в них предполагается доказательство необходимого и достаточного условий.

Исчерпывание вариантов. В некоторых случаях для доказательства утверждения перебираются все возможные варианты совокупности, относительно которой сформулировано утверждение, или все возможные варианты разбиваются на конечное число классов, представляющих частные случаи, относительно каждого из которых доказательство проводится отдельно. Как правило, доказательство методом исчерпывания вариантов состоит из двух этапов:

а) установление всех возможных частных случаев и доказательства, что других частных случаев нет;

б) доказательство каждого частного случая.

 

Если доказательство теоремы получается не сразу, это может быть потому, что вы подходите к нему неправильно. Приведем некоторые эффективные методы доказательства, которые помогут вам двигаться в правильном направлении.

* Доказательство от очевидного: «Доказательство так ясно, что его не стоит приводить».

* Доказательство на основе общего соглашения: «Все за? …»

* Доказательство силой воображения: «Ну, мы представим, что это верно».

* Доказательство из удобства: «Было бы очень хорошо, если бы это было верно, так что…»

* Доказательство по необходимости: «Это должно быть истинным, иначе рухнули бы все основания математики».

* Доказательство от правдоподобия: «Это хорошо звучит, так что оно должно быть верным».

* Доказательство путем запугивания: «Не будьте глупцами, конечно же, это верно».

* Доказательство от нехватки времени: «Из-за нехватки времени я оставляю доказательство этого вам».

* Доказательство отсрочкой: «Доказательство этого слишком длинное и трудное, поэтому оно приведено в приложении».

* Доказательство по определению: «Мы определим, что это верно».

* Доказательство отсутствием интереса: «Кто-нибудь действительно хочет увидеть это? »

* Доказательство с помощью логики: «Если это на листе с задачами, то это должно быть верно».

* Доказательство авторитетом: «Ну, Билл Гейтс говорит, что это правда, поэтому так и должно быть».

* Доказательство накопленными доказательствами: «Долгие и усердные поиски не выявили контрпримеров».

* Доказательство путем отсрочки: «Мы докажем это в конце курса».

* Доказательство демонстрацией уверенности: «Тривиально».

* Доказательство наречиями: «Как совершенно ясно, вышеупомянутое элементарное утверждение, очевидно, справедливо».

* Доказательство важностью: большое количество полезных следствий выводится из доказываемого утверждения.

«И чё? » – два слова, о которые разбиваются все доказательства.
«И то» – два слова, вновь спасающие все доказательства.

Основные определения и формулы

В этом разделе в основном представлены декларативные знания, имеющиеся в свободном доступе как на электронных носителях (Интернет), так и на бумажных (учебники, пособия). Это определения, свойства, формулировки теорем, схемы исследования функций с целью установления определённых свойств. Мы постарались проиллюстрировать данный материал примерами на вычисление, на доказательство, на исследование. Это примеры процедурных или декларативно-процедурных знаний. Для формирования процедурных знаний предназначены и задачи для самостоятельного решения. Представлены примеры доказательств теорем конструктивным методом и прямым доказательством. Контрольные и экзаменационные задания предполагают возможность пользоваться внешними источниками информации (Интернет, конспект, справочник…) за исключением списка специально указанных вопросов.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: